正则化模型下图像处理的算法设计与实现

王欣欣

（武汉理工大学，湖北 武汉 430070）

1 国内外研究现状

用迭代方法处理各种反问题已有悠久的历史。但是研究表明，使用迭代方法求解反问题，有时会出现所谓的“半收敛”现象，即在迭代的早期阶段，近似解可稳定地得到改进，展现出“自正则化”效应，但当迭代次数超过某个阈值后便会趋向于发散。因而，使用迭代法求解的关键是要寻找一个恰当的终止原则，在迭代次数和原始数据误差水平之间找到平衡值。研究表明，迭代指数，即迭代步数正好起到正则化参数的作用，而这个终止准则对应着正则化参数的某种选择方法。并且使用迭代方法求解还有很多优点，因此，在正则化问题求解中通常选用迭代的方法，常用的迭代方法有：Landweber 迭代法、VanCittert 迭代方法、最速下降方法和迭代Tikhonov 正则化的求解方法，以及正则化方法的快速数值实现。

2 基于解空间分解的GMRES 算法及图像复原应用

2.1 正则化模型与图像复原

设F 和U 分别表示度量空间，度量为ργ和ρμ，算子A：F 到U 映F到U，则该问题变为线性反问题（当A 为线性算子时），或非线性反问题（当A 为非线性算子时）。“不适定性”（病态性）是所有反问题所具有的一个共同的特性。一般情况下，不适定性是反问题本身的固有特征：如果问题的先验信息是未知的，那么就无法得到理想的结果。因此，我们应该尽可能多的收集先验信息，最大限度的复原原问题。通常，人们将求解反问题(不适定问题)的理论和方法称为正则化方法。对于图像处理问题，由于涉及到大规模的方程组求解，法方程的维数太大，此时再应用代数方法求解就会遇到一些难以实现的技术问题，而选用正则化方法不但可以克服上述缺点，还具有某些优点，当问题从无穷维度变到有限维度时，迭代求解不会影响系数结构，而且能够起到节约运算空间的效果。这些优势在大规模计算中非常有利。

对于图像恢复的病态性问题，利用正则化思想进行图像复原时，需要利用先验信息，构造某种约束条件，使用数理统计方法，将图像复原这一不适定问题转变成适定问题，进而使得近似解满足适定性的三项约束，这也是正则化方法的优势所在。

2.2 解空间分解的广义极小残量算法

在对线性方程组Ax=b，A 紧算子，进行求解时，为了尽可能减少存储空间和计算开销，Krylov 子空间迭代法是求行之有效的方法。当系数矩阵A 对称正定，共扼梯度法(CG)或预共辘梯度法(PCG)可快速准确求解该方程组的近似解；当A 对称但不正定时，极小残量法或预极小残量法则能有效求解方程组。对于一般的非对称矩阵，常采用广义极小残量法、共扼梯度法来求解。GMRES 算法利用Arnold 过程产生Krylov 子空间Kj 的正交基，Arnold 过程中每次迭代运算，都要调用所有前面的迭代所产生的正交基来生成下一个正交基。

2.3 光学图像复原结果

对于方程Ax=b，利用基于解空间分解的加速GMRES 算法迭代求解。计算步骤如下：

Step1.置初始值x0=0，并令δ=10-8；

Step2.用解空间分解的加速GMRES 算法迭代求解式Ax=b，在第j 步的值为xj；

图像复原实验中处理的是256*256 尺寸的0-255 灰度级的liftingbody 图像。用改进信噪比来衡量算法的复原性能。从复原之后的对比效果看，共扼梯度法(CG)并不能有效的抑制模糊退化，复原结果仍然比较模糊，图像边缘有振铃波纹出现。解空间分解的加速GMRES算法复原结果的边界纹路比较清晰，很好的显示出原图像边缘细节部分，与此同时，振铃波纹因为加窗处理得到有效抑制，整体视觉效果很好。

3 线性代数方法与图像复原应用

在涉及到复杂矩阵和向量的离散图像复原模型中，可以从线性代数方法中得到一种效率较高的求解方法，常用的方法是约束最小二乘法。对约束最小二乘法进行改进，根据先验信息，把正则化思想和约束最小二乘法等有机结合在一起，并将其运用到离散图像复原中，得到的约束最小二乘的空域迭代法可以出色的抑制噪声，而且在噪声很强是也可以得到很好地复原结果。

将正则化思想与约束最小二乘法相结合，继而复原退化图像。通过对噪声能量的限制来使用正则化理论，运用空域迭代时很好的抑制了噪声放大现象，同时克服了病态性，而且计算速度得到了提升。实验数据表明，本方法更适合复原污染程度较大的图像，但不适合复原模糊程度较大的图像。

4 总结与展望

图像复原近年来受到了越来越广泛的关注，正则化方法理论的发展也越来越得到完善，许多学者从模型上、理论上、应用上分别展开了对于正则化的图像复原的深入研究，本文的研究虽然力求有较强的实用性，但是由于受到多方面的限制，在理论和工程应用等方面仍存在很多的待丰富和改进之处，需要在以后的工作中继续深入研究。

首先，要加深对观测图像的先验信息的挖掘，因为如果能够有效利用先验信息，就能极大的改善估计精度以及问题的病态性。要充分的利用各种先验知识，构造更加精确地目标泛函，设计出更加优良的算法，同时要充分分析现有正则化参数的选择方法，结合各个方法的优缺点，构造出更加高效的正则化算子；要注意噪声扩大与图像复原的平衡，充分利用成像时的分段平滑性质，去除图像边缘模糊和振铃现象。其次，要注重正则化图像复原方法与其他图像复原方法的有机结合。现阶段，神经网络、小波分析和遗传算法等新式的算法在图像复原方面取得了极大的进展，如果能够将这些理论结合在一起，形成优势互补，一定能得到性能更好的图像处理算法。

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［2］邹谋炎.反卷积和信号复原[M].北京：国防工业出版社，2001.

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