功能梯度热障涂层热应力的有限体积法研究

龚京风，张文平，宣领宽，明平剑，韩春旭

（1.武汉理工大学能源与动力工程学院，湖北武汉430063；2.哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江哈尔滨150001）

功能梯度热障涂层热应力的有限体积法研究

龚京风1，2，张文平2，宣领宽2，明平剑2，韩春旭2

（1.武汉理工大学能源与动力工程学院，湖北武汉430063；2.哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江哈尔滨150001）

为了研究功能梯度热障涂层（TBC）热应力问题，改进了交错格点型有限体积方法（SCV-FVM）。运用交错网格技术，待解变量定义在单元节点上，物性参数定义在单元中心上。计算功能梯度圆盘的应力场，结果与理论解吻合良好，验证方法的正确性。通过与有限元结果及高阶功能梯度理论（HOTFGM）结果对比发现，SCV-FVM可以有效避免物性参数变化引起的人工数值不连续。研究功能梯度TBC热应力问题，分析涂层厚度变化对热应力场的影响，通过与ANSYS计算结果对比验证数值模拟的正确性。

热障涂层；功能梯度；有限体积法；交错网格；应力场

在内燃机部件表面喷涂热障涂层（TBC）是发展低散热发动机的重要手段。TBC通常由粘结底层和陶瓷顶层组成，由于材料属性的突变，在分层界面上产生应力集中。采用功能梯度材料（FGM），使材料属性逐渐变化，可以有效缓解应力集中问题，同时增强材料粘结强度。准确预测功能梯度TBC热力性能是设计优化涂层结构和材料分布的前提。

目前，关于功能梯度TBC热力性能的研究主要基于试验［1-5］和数值模拟［6-11］。其中，数值模拟主要利用有限元商用软件，如ADINA［8］、ANSYS［7，10-11］。由于有限元方法（FEM）需要计算并存储大型刚度矩阵，计算量和内存消耗较大［12］。另外，TBC属于非均匀材料，对物性参数的不合理处理可能产生人工数值不连续问题［13-15］。为了克服这一问题，Santare和Lambros［16］将梯度单元引入传统FEM中，而Aboudi等人［17］提出高阶功能梯度理论（HOTFGM）。2种方法及其发展形式均能够有效减轻不连续问题，但不能完全避免［10，13-20］。

本文旨在发展一种能有效预测功能梯度TBC热力性能的数值方法。格点型有限体积法（CVFVM）兼有FVM的守恒性和FEM的灵活性，是FEM的一种有效补充方法。文献［12］将交错网格技术引入CV-FVM提出SCV-FVM，采用时间推进法解离散的平衡方程，因此该方法仅适用于动力学问题。本文进一步发展SCV-FVM用于研究稳态热应力问题，利用隐格式耦合法求解离散的热弹性方程。通过数值算例验证发展的SCV-FVM预测热应力场的准确性和对人工不连续问题的有效性，进而研究功能梯度TBC热应力问题。

1 热应力控制方程

考虑二维各向同性线弹性材料稳态热应力问题，基于计算域内任意控制体微元S给出热应力基本方程及边界条件。

1.1 热传导控制方程

不考虑内热源，稳态热传导方程为

式中：k和T分别为热传导系数和温度。考虑3种边界条件

式中：TB为边界LD上给定的温度（Dirichlet边界）；qB为边界LN上给定的法向热流密度（Neumann边界）；hB和T∞分别为边界LR上给定的对流换热系数和环境温度（Robin边界）。nα（α＝x，y）为边界单位外法线矢量n的分量。

1.2 平衡方程

忽略体积力，根据牛顿第二定律得到平衡方程：

式中：σ为应力张量。本构方程和几何方程为

式中：σαβ，εαβ和uα分别为应力张量σ、应变张量ε、位移矢量u的分量。a为热膨胀系数，Tr为参考温度。G和λ为拉姆系数，Γ为热系数，根据不同条件由杨氏模量E和泊松比μ计算得到：

平面应变

平面应力

考虑2种边界条件

式中：uαB为边界LD上给定的位移（Dirichlet边界）；tαB为边界LN上给定的法向应力（Neumann边界）。简支边界可由上述2种边界条件组合得到。

2 数值方法

本文基于CV-FVM发展适用于功能梯度TBC热应力问题的数值方法。围绕单元节点依次连接相邻单元中心及边长中点建立控制体，如图1所示。单元由实线围成，其节点用空心圆点表示。控制体由虚线围成，其中心及边长中点用实心圆点表示。

图1 网格单元及控制体示意图Fig.1 Sketch map of grids and control volumes

采用交错网格技术，从而将物性参数的空间变化引入离散过程。待解变量定义在单元节点上，并假设变量在控制体内均匀分布。物性参数定义在单元中心并假设均匀分布，则物性参数在控制体内是变化的，如图1所示。

2.1 热传导方程的离散

采用高斯公式将方程写为式中：L为控制体的边。采用FEM的思想，利用型函数离散方程

式中：nc为当前节点周围的单元总数，ncni为第i个单元内的节点个数。三角形单元内，ncni＝3；四边形单元内，ncni＝4。N为型函数。下标i代表第i个单元中心的变量值，下标ij代表第i个单元内第j个节点上的变量值。

对于边界上的节点，相应的控制方程离散需要考虑边界条件的影响。对于Dirichlet边界上的节点，其温度直接根据式给定。对于Neumann边界和Robin边界上的节点，将式（3）和（4）代入方程（13）得

2.2 平衡方程的离散

将式（6）和（7）代入方程（5）得利用高斯公式及型函数，方程（15）可离散写为

式中：Liα为积分线Li在α方向上的投影长度。

对于Dirichlet边界上的节点，其位移直接根据式（10）给定。对于Neumann边界上的节点，平衡方程的积分利用式（11）得

离散方程（14）和（17）中的型函数积分及积分线长度的计算可参考文献［12］。

2.3 数值求解

将仅与网格几何形状有关的型函数积分及积分线长度作为几何常数处理，计算一次并存储，减少计算量。离散的平衡方程（17）中涉及2个方向的位移，采用耦合解法同时求解，避免迭代，从而一次计算获得整个热应力场。采用Fortran语言编程实现数值模拟。

3 FGM应力问题

适用于功能梯度TBC热应力问题的数值方法，必须能够准确计算FGM应力场。为了评价SCVFVM对FGM应力问题的适用性，计算文献［15］中的平面应变FGM圆盘应力场，几何模型见图2。圆盘内径ri＝0.025 4 m，受到法向压力pi＝68.95 MPa。圆盘外径ro＝0.050 8 m，受到法向压力po＝6.89 MPa。圆盘泊松比为常数μ＝0.22，杨氏模量沿径向变化E＝E0r2，其中E0＝300 GPa，r为半径。

图2 FGM圆盘示意图Fig.2 Sketch map of the FGM disk

选取圆盘的1／4作为计算域，网格划分与文献［15］相同。图3为不同方法得到的计算结果，其中Q4代表4节点四边形单元，Q8代表8节点四边形单元。通过比较可以看出SCV-FVM结果与理论解吻合良好，且能够有效避免应力场的不连续，而HOTFGM理论及传统FEM不能。另外，SCV-FVM结果与理论解误差在边界附近相对较大，这是由插值误差引起的。SCV-FVM以位移为求解变量，单元中心的应力根据式（6）和（7）计算，然后插值得到节点应力，从而引入误差。

图3 FGM圆盘计算结果Fig.3 Results of the FGM disk

4 功能梯度TBC热应力问题

将本文发展的SCV-FVM用于研究含FGM层的平面应变TBC热力性能，计算模型见图4，材料属性见表1。其中第3层（L3）为FGM层，其物性参数变化规律为

式中：P代表任意物性参数，Pa、Pb分别为陶瓷顶层L4和粘结层L2的物性参数。

表1 功能梯度TBC材料属性Table 1 Material properties of the functionally graded TBC

图4 功能梯度TBC计算模型示意图Fig.4 Sketch map of the functionally graded TBC

TBC下表面温度Td＝25℃，上表面温度沿x方向变化Tu＝1 325cos20（|x-1|）+25℃，左右表面绝热。参考温度Tr＝0℃。TBC下表面简支，其余自由。采用均匀四边形单元划分计算域，网格总数为5 000。

当金属底层L1厚度为Δy1＝0.2 m，L2厚度为Δy2＝0.1 m，L3厚度为Δy3＝0.5 m，L4厚度为Δy4＝0.2 m时，热应力场云图如图5所示。由于L1和L2交界面处物性参数突变，存在应力集中现象（图5（c））。FGM层L3起到过渡作用，L2、L3及L3、L4交界面处没有应力集中。SCV-FVM计算结果没有出现应力不连续现象。比较SCV-FVM与ANSYS在y＝0.5 m处的计算结果（见图6），两者吻合良好，验证本文方法的正确性。

图5 TBC热应力场（Δy1＝0.2 m，Δy2＝0.1 m，Δy3＝0.5 m，Δy4＝0.2 m）Fig.5 The thermoelastic field of the TBC（Δy1＝0.2 m，Δy2＝0.1 m，Δy3＝0.5 m，Δy4＝0.2 m）

保持Δy2＝0.1 m，Δy4＝0.2 m，Δy1+Δy3＝0.7 m，改变Δy3研究FGM层厚度对TBC热应力场的影响，见图6。随着Δy3的增加，位移ux及温度T增大。合理选择FGM层厚度，能够有效减小应力幅值，使应力分布更光滑，如Δy3＝0.5 m和Δy3＝0.4 m。不合理的FGM层厚度不但不能改善应力分布，甚至使应力幅值比无FGM层时大得多，如Δy3＝0.3 m和Δy3＝0.2 m。

图6 TBC中y＝0.5 m处的热应力曲线Fig.6 The curves of variables at y＝0.5 m in the TBC

4 结束语

本文发展SCV-FVM，采用交错网格技术，使得SCV-FVM适用于不均匀材料稳态热应力分析。计算FGM圆盘应力场，结果与理论解吻合良好，通过与文献对比发现SCV-FGM能够有效避免不合理的应力不连续现象。基于SCV-FVM进一步研究功能梯度TBC热应力问题，分析涂层厚度对TBC热力性能的影响。计算得到的热应力场不存人工数值不连续现象，结果与ANSYS吻合良好，表明SCV-FVM可以用作TBC设计阶段的数值预测工具，作为FEM的有效补充方法。

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Research on the finite volume method for the thermoelastic stress analysis of thermal barrier coatings

GONG Jingfeng1，2，ZHANG Wenping2，XUAN Lingkuan2，MING Pingjian2，HAN Chunxun2
（1.School of Energy and Power Engineering，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China；2.College of Power and Energy Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

In order to analyze the thermoelastic performance of a thermal barrier coating with a functionally graded material（FGM）layer，the staggered grid finite volume method（SCV-FVM）has been developed.The staggered grid technique was adopted by defining variables at the vertex and material properties at the cell center.SCV-FVM was applied to predict the stress of an FGM disk.The results agree well with the theoretical solution which validates its accuracy.The comparisons between the results from SCV-FVM，the conventional finite element method and the higher order theory functionally graded method（HOTFGM）show that SCV-FVM can avoid the stress discontinuity caused by the change in the matter parameters.The thermoelastic performance of functionally graded TBC was investigated.The obtained results are consistent with the ANSYS results which validates the simulations.The effects of the thickness have been discussed.

thermal barrier coating；functionally graded；finite volume method；staggered grid；stress field

10.3969／j.issn.1006-7043.201306012

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201306012.html

O343.1

A

1006-7043（2014）06-0713-06

2013-06-03.网络出版时间：2014-05-14 15：49：09.

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（HEUCF130302）.

龚京风（1986-），女，博士研究生；张文平（1956-），男，教授，博士生导师.

张文平，E-mail：zhangwenping＠hrbeu.edu.cn.