初中学生数学反思能力的培养

蒋国芳

【摘 要】中学生数学反思能力是中学生在数学思维活动中对自己数学认知过程的自我意识、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节的能力。数学课堂上教师主导教学和学生自身的非智力因素阻碍了学生反思能力的发展。笔者通过数学教学和数学解题两条途径来提升学生的数学反思能力。从而激发学生的创造潜能，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程。提高中学生数学反思能力有助于学生在反思中成长，在反思中真正的学会学习。

【关键词】初中学生数学；反思能力；培养；教学；解题

一、影响初中学生数学反思能力发展的因素分析

1.来自客体的原因：教师主导教学阻碍了学生反思能力的发展

目前课堂教学中，教师们存在的一些问题直接影响课堂效率。

（1）满堂灌阻碍学生对知识的获取。老师上课讲的多，满堂灌，只怕学生没有掌握，不敢放手让学生参与课堂教学。问题的解法选择最简单的方法传授，很少从几种不同的方法中去选择、比较、反思。教师满堂灌，学生被动学，压抑学生的学习的天性，剥夺学生学习的主动性。

（2）教师套路式解题教学影响了学生的思维发展。经验丰富的老师，能够把一些典型的题目归纳提炼出统一模式的解法，让学生记住这些套路，要求学生碰到类似的题目用这一套路去解决。对知识的理解力求一步到位，很少暴露自己对问题的思考过程，更少暴露通过反思错误想法从中调整思路，最终解决这个问题的思维过程。

2.主体固有的原因：非智力因素阻碍反思思维的发展

畏难情绪是学生对学习活动中存在的困难不敢正确地面对，甚至逃避困难，在较难的问题面前束手无策。有些学生在做作业时碰上难一点的题目，一看题目有点复杂，读不懂题意，想了几分钟想不出来，他们放弃独立思考，转向求助老师和同学，自己不愿深入思考问题，依赖性很强。

（1）从教学实践意义上讲：“教会学生学习”已成为当今世界教育改革的重要口号，教学的实质就是教师引导学生学习。教师要让学生理解学习过程，让学生不仅明确学习什么，而且明白应该怎样去学习。那么，教学中应如何促进学生积极参与学习过程，认真学习数学呢？引导学生正确反思就是一种很好的方法。

（2）《普通高中数学新课程标准（实验）》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题，不断地经历直观感知，反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”。同时提出，评价应关注学生“能否不断反思数学学习过程，并改进学习方法”。

总之，从影响数学反思能力形成的因素分析来看，学生反思能力缺失主要是缺乏反思的动力，反思的方法和反思的时间造成的。另外，缺乏毅力和对反思的误解也是不可忽视的因素。

二、初中学生数学学习反思能力启迪

中学生数学反思能力就是中学生在数学思维活动中对自己数学认知过程的自我意识、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节的能力。

所谓反思，就是从一个新的角度，多层次、多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考。反思是一个内在否定的认识过程，反思是一种辩证的思维方式，反思是一种具有创新意义的理想境界，反思是过渡并到达真理的桥梁。只有学会反思，一个人才能不断矫正错误，不断探索和走向新的境界。

尽管初中生开始能够有意识地调节、支配、检查和分析自己的思维过程，在学习上和生活上有更大的独立性和自觉性，但批判性还是不够的，容易产生片面性和表面性；初中学生在运算过程中虽能自觉地检查和发现错误并进行纠正，但是不善于寻找错误的原因，也不能及时地调整解题步骤和方法。

三、如何培养中学生数学反思能力

（一）数学教学中反思能力的培养

在数学教学中注重学生反思能力的培养，有利于学生提高主体意识，自主地进行学习，有效地进行自我教育，在人生的成长过程中不断提高各方面素质，不断完善自己。所以我以培养学生数学反思能力为中心，让其具有独立思考的能力，勇于创新的精神。

1.创设情境，在“思维失衡”中触发反思能力

反思能力的引导，有赖于教师根据学生的具体情况，有针对性地设计反思问题，以引起学生的进一步思考。下面是笔者一次试卷讲评课中的一个教学片段：

如图，抛物线y=ax2+bx（a>0）与双曲线y= k-x 相交于点A，B. 已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4. 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C.

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积.若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由。

在讲评第（3）小题的时候，让学生思考，面积相等的两个三角形，△ABC和△ABD有什么特点？（有一条公共的底边AB），那点D在哪里该怎么找呢？（过点C作AB的平行线CD交拋物线于点D）。所以只要求出直线AB的解析式，再求出直线CD的解析式，然后与抛物线的解析式构成方程组求解就可以了。突然包某同学举手，说：“老师，我还有不同的解法。设点D的坐标为（x，x2+3x），连AD，BD，过点D作铅垂高DE交AB于点E，则E的坐标为（x，2x+2），所以S△ABD=S△BDE+S△ADE= 1-2×3×（x2+x-12）=15，解出方程即可。这时潘某同学举手，说：”老师，为什么点D一定是在AB的左侧呢？不可以在AB的右侧吗？”“谁能来解释一下？”我又把这个问题抛给了学生。“因为抛物线的顶点到直线AB的距离比点C到直线AB的距离短，所以在AB的右侧不存在。”有好几个同学脱口而出。“那下次如果碰到抛物线的顶点到直线AB的距离比点C到直线AB的距离长的时候，直线AB右侧的点D的坐标又该怎么求呢？”潘某同学继续追问。我说：“这个问题问得太好了，请大家独立思考一下。”大概过了两分钟左右，有几个同学举手了，我没有马上让他们回答，而是留点时间和空间给那些还在冥思苦想的同学。又过了3分钟，举手的同学越来越多了，我叫了刘某同学，他说：“不管点D是在AB的左侧还是右侧，过点D作AB的平行线与y轴的交点M1或M2到AB与y轴的交点N的距离是相等的，所以就可以得到M2的坐标，再求出直线BD2的解析式，与抛物线的解析式构成方程组就可以了。

【分析】“留下最有营养的部分让孩子们自己吃吧！”这其实也是培养反思能力的一种手段。初中生受经验思维的影响，思维容易雷同，缺乏探索精神。因而要多鼓励学生敢于发表不同的见解。提高思维的档次，这样一来，问题变难了，可是真正投入学习的人数却大量增加。好的不喊，认真思索；差的睁大眼睛，想个究竟。时间延缓，思维被提升。

有一位学者提出：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生自己提问题”。从这节课上我欣喜地看到：善于培养学生的思维，不仅可以活跃课堂的气氛，而且使学生更加喜欢思考问题，发表自己的见解，学生会一次次地超越自我，创造奇迹。所以，我们现在的教学更重要的是如何去引导学生来提问，并重视学生的提问。学生能主动提问，不仅能激发学生的求知欲和发展学生独特的个性思维，而且在教与学方面具有一些不可替代的作用。引导学生在数学探究中提出问题，进行自主探究，对于培养学生的数学素养有更重要的意义。

2.一题多解，在“同中求异”中培养反思能力

培养反思能力可以通过变式训练，强化灵活思维来达到。

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离。

这是一次试卷讲评课上的一个片段，我让甲同学上来讲评上面这道题目的解题方法，他说：“过点M作MN⊥AC于点N，由折叠可知∠BAM=∠BAM，由AB∥MN可得∠BAM=∠AMN，所以∠BAM=∠AMN，设AN=x，则MN=x，因为AC=2AB=2AB=6，所以CN=6-x，由△CMN∽△CAB可得x-3 =6-6x，计算出x即可。”这时乙同学说可以用三角函数来解。由折叠可知∠ABM=∠B，所以tan∠ABM=tanB，即M-NN-B' = A-AC-B，∴3-xx= 6-3 。丙同学说还可以用面积法来解。因为B是AC的中点，所以S△AB'M= 1-3 S△ABC，即 1-2×3x= 1-3×1-2×3×6。台下响起了热烈的掌声，大家都说这个方法好。一题多解的讨论把课堂又一次地推向了高潮，学生的思维更活跃了，表现欲也更强了。这让我真正体会了“交换一个苹果，各得一个苹果；交换一种思想，各得两种思想”的内涵。

【分析】

①好处：一题多解充分调动了学生思维的积极性，提高了他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；锻炼了学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；开阔了思路，发挥了学生的创造性。

②符合新课标的要求。新课标提出：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。我觉得一题多解正是在这种理念支配下的思维活动，面对相同的数学问题，学生对生活的感悟程度、认知水平、思考问题的角度不同，就会生成各种各样的“原生态问题”（即在现有数学水平的基础上，对数学问题的认识程度，感悟到可能用到的知识、方法、思想、技巧等）。

③反思：一题多解是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。但如果对学生通过多向思维求得的一些较为复杂的解法不提倡，不鼓励，甚至还批评，责备学生，这样就会挫伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣，不利于培养学生的创造能力。实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥，不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于促进其思维的发展，提高创造能力。我们就越应当给予肯定和鼓励。对于学生“别出心裁”，“独辟蹊徑”的解题方法，我们给以表扬和鼓励。

3. 多题一解，在“异中求同”中加强反思能力

换一个角度，不同的题目，方法相同，也是反思能力加强的手段。

这是我在上《三等角型相似三角形》这个内容时的一个教学片段。我先出示了下面这道探究题：如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8 cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B. 设BP=x，CM=y.求 y与x的函数解析式，并写出x的取值范围。

①启发式：这一问学生很顺利的就完成了，我对题目进行了变式：若点P为射线CB上一动点（不与点C、B重合），且保持∠APM=∠ABC.，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围.

②激励式：解完后我对学生说：“这道题目还可以怎么变？老师实在是想不出来了。你们有没有好的变式？”这时同学们跃跃欲试，有的说可以把条件变一下，有的说可以把等腰三角形换成是其它图形。

③自主合作式：我说：“同学们说得都很好，老师要求你们在课后把这道题目改编好，可以自己独立完成，也可以小组合作完成，我们下节课再来探究。”在作业中，我发现了几道很精彩的改编题，如下：

变式一：正方形ABCD的边长为6，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°. 当CQ=1时，写出线段BP的长.

变式二：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.

①求证；△ABP∽△DPC

②求AP的长.

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q. 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y， 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

【分析】一题多变如能对基础题加以研究，触类旁通，将收到事半功倍的效果。一题多变是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法，进行思维分析，探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”，能“以少胜多”地巩固基础知识，提高分析问题和解决问题的能力。掌握基本的解题方法和技巧，这对沟通不同知识之间的联系，开拓思路，培养发散思维能力，激发学生的学习兴趣都是十分有益的。

【反思】我在课堂上虽然用了启发式、激励式、自主式、合作式等教学方法引导、培养学生的发散思维能力、挖掘创新潜能、形成探究意识等。但也发现了一些问题：表面上课堂气氛热烈，学生思维活泼，但在课堂“繁荣”的背后，却是少数思维活泼的学生统治课堂的氛围，更多一部分的学生一直处于一种被动接受的状态，即使偶尔能引出思维的共鸣，却也很难激发他们的学习热情，更说不上去主动建构起自己的知识结构和培养能力了。

【改进措施】

（1）教师要在选例上多下功夫，即要精心设计例题。一堂例题教学课成功与否的关键在于学生的参与的程度，而学生的参与程度与例题的选取有密切的关系。切不可为追求“高质量”的“好题”而选题过难，不切合学生的实际水平；也不可为追求学生的课堂的“繁荣活跃”景象而选题过易，不能激发起学生解题的欲望。因此，教师在选题时不仅要以学习的要点为目标，还要兼顾学生的实际情况，只有这样才能提高学生学习的兴趣。有的时候，不妨放权，让学生也参与到选题中。

（2）在教学过程中，教师应当成为参与者、促进者、调控者。当学生思维有障碍时，给予启示性的提示；当学生回答走题时，给予点拨，必要时提出促使解题深入的发展性意见。同时也可适当地组织课堂讨论，围绕解题过程中出现的问题，设计若干个子问题，让学生发表见解、互相讨论，导引到正确的思路上。

4.质疑提问，在“创造思维”中提升反思能力

亚里斯多德说：“人的思维是从质疑开始的”。质疑问难是探求知识，发现问题的开始，爱因斯坦也说：“提出一个问题比解决一个问题更重要”。因此从学生的好奇好问，求知欲强等特点出发，积极培养学生勤于思考问题、敢于提出问题、善于解决问题的好习惯是培养学生创造性思维的前提。学生解题常默守成规，带来繁琐运算而中途夭折，教学中鼓励学生大胆质疑、大胆想象，寻找新的解题方法，往往会出现“柳暗花明”的现象。

刚开始学生都会是接受式的学习，老师讲什么，就接受什么，很少提出自己的想法或者是质疑。为了激发他们提出问题，我采用了奖励措施：“每周能提出1个问题的可以得到一颗五角星，达到十颗五角星的可以换奖品。”这样，学生提问题的积极性大大增加。一个月后，我又提出了更高的要求：“每周能提出3-5个问题的同学才可以得到一颗五角星。”学生对提出问题已经养成了习惯，我就把提得有深度的问题放在课堂上大家一起探究，这样学生提问的热情更加高涨。而我对学生提问的要求也由“量的增加”转向“质的提升”。

当学生给老师提问成为习惯之后，我又慢慢地引导学生由“给老师提问”转向“给自己提问”，每次做完题后能进行反思，再探究。

例如：王某同学在解完“梯形ABCD中，点E是腰AB上一点，在腰CD上求作一点F，使CF：FD = BE：EA”之后在作业的反思栏内写道：“老师，如果E点在底边上，如何在另一底上找到F，我有一种方法，不知对否？

作法：1. 连结AC；

2. 作EO // DC交AC于O；

3. 作OF // AB交BC于F。

AE∶ED = BF∶FC。

同时，另一位学生在作业本中提出同样的问题，写道：“如果，在梯形ABCD中，点E是底边上一点，那么在另一底边找一点F，使AE∶ED = BF∶FC，应怎样找？”

【分析】两位学生对同一个题目，提出了相同的问题，前者解决了问题，但不能用准确的数学语言表述问题，后者虽没有找到解决问题的方法，但能准确的描述问题，两位学生都良好的运用了直觉思维，这本身就是一种创新能力，我及时公布了两位的猜想，并鼓励他们的这种主动猜想的创新精神，公布之后，同学们反映强烈，并进行了广泛的讨论，并且在讨论中思维更加深刻，问题得到引伸，方法也出现了多种。

教师只有鼓励学生质疑，学生才能变被动接受变为主动探索，学生才能提出新设想、新路子，激活他们的创造性思维。

（二）数学解题中反思能力的培养

1.对题意理解的反思

学生解题追求的第一层次应该是对不对，这是科学性的问题。但学生在平时的解题中经常审题不仔细，看错题目或考虑不全或浮躁产生计算的错误等。例如：若方程（m-1）/（x-1）=x（x-1）的解为正数，则m的取值范围是 。学生在解题时容易只考虑了解是正数，而忽略了分母x-1≠0。

【措施】

（1）提高学生的认识，形成认真读题的意识 。让学生认识审题的重要性，可通过设计专项审题训练、对比实验，潜移默化，有机渗透，让学生自觉体验到题目中每句话都隐藏着重要的数学信息，体验到审题的重要性，并经常教育学生养成审题的好意识，认真审题。

（2）学会“一读、二敲、三述、四拟”的审题方法。“一读”指认真读题，准确提取数学信息；“二敲”就是对数学术语及揭示数量关系的关键词句仔细推敲，注意关键字词，正确理解题意；“三述”就是把题目骨架关键词用自己的语言复述，化繁为简、化难为易，促进学生进一步理解题；“四拟”就是用列表、画图、综合、分析等方法模拟解决问题的情景，清楚表达题意，展示数量关系，形成解题思路。

（3）养成检验的习惯，提高解题准确性。检验计算结果是否正确，检查结果与实际情况是否吻合。在数学教學中必须注意培养学生自觉检验计算结果是否正确的习惯，以提高解题的准确性。

2.对解题过程的反思

学生的解题过程实质上是一个心智活动过程。学生除了自身知识所限外，还不同程度地受一定的心理因素制约。如心理定势的反作用使解题时学生经常机械地照搬过去的经验去解决类似的问题，缺乏思维的灵活性、机敏性、创造性从而导致解题迷茫或失误。

例如：关于x的方程rx2-（2r+7）x+r+7=0有正整数解，求r的整数解。

学生在解这道题目的时候容易产生思维定势，只考虑了该方程是一元二次方程，得到r=1或7，而忽略了当r=0时，该方程是一元一次方程，也有正整数解x=1.

3.对解题结果的反思

著名数学教育家波利亚说：“聪明的人从结果开始”。通过对结果的反思，能發现和纠正运算中的失误之处，或对解题合理性进行检验，找到症结所在，然后做出适当的补充和调整。

例如：如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。问：鸡场的面积能达到150m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

解：设与墙垂直的一边为x米，则x（35-2x）=150，

解之得x1=10，x2= 15-2

有些同学做到这里就会以为做完了，但是他们没有注意到当x= 15-2时，35-2x=20>18，不符合题意，因此要求学生在做完题之后应反思结果的正确性与合理性。

四、初中学生数学反思能力培养的一点成效

通过对学生反思能力培养的探究，笔者深刻感觉到：在教学中应该把思维的过程还给学生，让学生用个性化的语言展示其独具魅力的思维过程，让其体验现实，感悟真谛，引导学生有所思、有所感、有所悟。这样，每一个学生在个性化的数学学习活动中，就一定会扬起思维的风帆，插上思维的翅膀，登上能力的快车。

经过一年时间的反思能力训练，我发现学生因审题不仔细丢分的现象逐渐减少，正确率大大提高。课堂上学习讨论的氛围更浓了，同学们在阐述自己观点的同时也经常会反思其他同学解法的正确性和严密性。学生敢于提问题，发表自己的想法，经常出现一道题目多种解法。学生一个个都变得乐思、巧思、善思，真正地成为了课堂的主人。他们在解题中收获的不仅仅是数学题，还收获了坚持和毅力！

在教学中，教师如能注重数学反思能力的培养，这将有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。因此，在平时的教学活动中，教师应注意使学生在掌握知识的同时，养成多角度思考问题的习惯，培养学生的探索思维、发散思维、求异思维，从而激发学生的创造潜能，“我思故我在。”反思能力的养成激发了学生不断再学习的强烈动机，反思过程拓展了学生的视野，提升了学生学习的能力。相信我们的学生会在反思中成长，在反思中真正的学会学习。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准[M].北京师范大学出版社，2011年版

[2]王奎实.面向新世纪的中学数学教师能力结构初探[J].数学教育学报，1995，（3）

[3]藏立本.引导学生学会思考[J].数学教学通报，2003（3）

[4]曹一鸣，王仲英. 略论数学反思能力的培养 [J]. 中学数学教学参考，2004（9）

[5]周维龙. 数学反思教学的实践[J]. 数学教学通讯，2005.10

[6]鲁锋武.在数学教学中要引导学生反思[J].数学通报，2001（5）

[7]涂荣豹.试论反思性数学学习[J].数学教育学报，2000（4）

[8]韩龙淑，黄玉珍. 数学教学中如何引导学生进行解题学习的反思[J]. 数学教学研究，2006（3）