双光栅色散_汇合光谱成像效应的计算机模拟与实现

廖宗勐，张卫平

(广西大学 物理科学与工程技术学院，南宁 530004)

双光栅色散_汇合光谱成像效应的计算机模拟与实现

廖宗勐，张卫平

(广西大学 物理科学与工程技术学院，南宁 530004)

根据双光栅色散_汇合光谱衍射成像系统光路与光栅方程，用Python程序语言编写了双光栅衍射成像过程的模拟实验程序。文中给出了计算式、算法流程以及图形用户界面（Graphical User Interface，GUI）的设计，所编写的程序不仅能模拟实际的双光栅色散_汇合光谱衍射成像实验，得到相关的实验数据，还能演示双光栅衍射成像过程中的光路变化与成像效果。

双光栅成像；光栅衍射成像；汇合光谱；色散_汇合光谱

光栅是广为应用的重要光学元件，具有典型的光衍射特性。讲授光栅知识，使学生们充分掌握光栅的衍射特性及其衍射规律是《物理光学》教学的重要内容之一。而现有教科书[1_4]普遍只是讲述光栅衍射特性下的色散、分光效应，未涉及光栅的汇合光谱效应[5]，因而这种讲述未能够充分反映光栅衍射特性。新颖的双光栅色散_汇合光谱成像效应[5_6]综合体现了光栅的分光、色散、汇合光谱效应，充分地反映了光栅的衍射特性，故将其引入物理教学，对于学生充分认识光栅，开拓思维有良好作用。

2001年，张卫平等人报道了双光栅色散_汇合光谱成像(也称为双光栅成像、双光栅传递图像)现象后[6]，又对该现象进行了深入研究，取得了“国际先进”的科研成果[7]，并将该成果融入大学本科光学课程的教学，还创建并开出了相关实验[8_10]。然而在教学实践中发现，由于双光栅成像同时兼有光栅的色散与汇合光谱效应，通过单纯地讲授或阅读教材不能使学生很好地理解相关知识，因此，本文利用计算机模拟实验的方法帮助解决上述问题。利用Python语言及其Tkinter模块编写带有图形用户界面(GUI)的双光栅衍射模拟实验程序，同时给出成像光路图与物光波经过两光栅衍射后的各级光谱图像，包括汇合光谱图像，动态再现了整个双光栅色散_汇合光谱成像过程。该程序用于教学，能有效帮助学生们深入认识光栅的衍射特性，更好地掌握光学衍射知识。

1 光栅的汇合光谱与双光栅衍射成像效应

光栅不仅有色散效应，还具有汇合光谱效应。光栅的汇合光谱是指按光谱排列的不同波长的光以不同的入射角入射到光栅上，经光栅衍射后得到有相同衍射角的光束的现象，是光栅色散的逆效应。

若将两光栅组合为一系统，让不同波长的物光经过第一片光栅被色散形成物光谱后，使其中某一级按光谱排列的光进入第二片光栅并满足某衍射级光谱汇合条件，则获得汇合光谱光束，从该光束中可以看到该物体的清晰图像，这就是双光栅色散_汇合光谱成像(或称为双光栅衍射成像)效应，该效应具有“隔屏观物”效果。

为了使被用于汇合成像的衍射光亮度高、质量好(失真最小)，光栅G1应置于这样的位置：使得衍射光的入射角与衍射角相等，而光栅G2应放置在光栅G1的衍射光束的中心轨迹上的适当位置。成像光路如图1所示，O是白光照明的物体;G1与G2是平行放置的平面透射光栅;P是挡光板。图2中清晰的箭头像是经G1与G2两光栅衍射后形成的汇合光谱图像。

2 双光栅色散_汇合光谱成像效应的模拟算法

2.1 双光栅色散_汇合光谱成像模拟计算方法

本文模拟双光栅系统衍射成像的实际实验过程：选择好两光栅，先安放好光栅G1，使得其某级衍射光的入射角与衍射角相等，然后沿着光栅G1的该级衍射光束的中心轨迹上移动光栅G2，直至观察到双光栅色散_汇合光谱成像效应。计算时，由复色物光波中抽样三波长光线(三色光线)，依据光栅方程进行光线追迹计算。由于经过第二片光栅后的汇合光束只在特殊情况下有完全相同的出射角(亦称汇合角)φ，而通常出射光并非总是完全汇合(各光的出射角并非完全相同)，为此我们提出两种判断光谱汇合的计算模型，本文采用第二种模型。

1)设来自光栅G1的不同波长i的光在光栅G2同一点出射的各衍射角为计算比较光栅G2不同Z位置下的当各φi与平均出射角φi平均差值之和(即Σ(φi_φi平均))最小时为汇合;

2)设来自光栅G1的不同波长i的光在光栅G2上以相同角度出射的各光位置为计算比较光栅G2不同Z位置下的Yi，当各Yi与它们的平均值的差值之和(即Σ(Yi_Yi平均))最小时为汇合。

2.2 双光栅衍射的模拟计算式

按照上述模拟计算方案，在未带入具体数据计算前，先依据光栅方程写出物光波光线追迹计算式，根据光栅方程，不同波长的光经过图1光路的双光栅衍射后满足如下方程：

式中：θ0，λ，θ1，λ分别为波长为λ的光在光栅G1上的入射角与衍射角;θ1，λ，φλ分别为波长为λ的光在光栅G2上的入射角与衍射角，两光栅平行放置使得光在光栅G1上的衍射角等于光在G2上的入射角; d1，d2分别是两片光栅的空间频率;k1，k2分别是光在两片光栅上的衍射级数。

为了形成清晰的汇合像，要求中心波长的光λ2在G1上衍射角等于入射角，且光栅G2位于G1的某级衍射光中心波长光λ2光线轨迹上。根据光栅方程可算出λ2在G1上的衍射角与入射角θ1，λ2，θ0，λ2以及λ2光在G2上的衍射角φλ2：

考察与该衍射光λ2在光栅G2上有同样衍射角(即φ=φλ1=φλ2=φλ3)的另两光，由光栅方程可知这两光λi( i=1，3)在光栅G2上的入射角θ1，λi，在G1上的衍射角等于在光栅G1上的入射角，以及在光栅G1上的入射角θ0，λi：

式(3)和式(4)反映了从O点出发的光线经过图1所示双光栅系统后，那些不同波长但具有与中心波长相同出射角的物光，它们的波长λi及通过两光栅后的衍射光级数k1、k2与衍射角及两光栅空间频率的关系式。

根据直线方程可以计算出这些λi( i=1，2，3)光在光栅G2上的出射点位置：

式(1)～式(5)即物光经过平行放置的双光栅系统衍射后的模拟计算式。对于两光栅非平行放置而是有夹角的情况，模拟计算式有相应的变更。

计算模型中各波长取值为：λ1=350 nm;λ2= 550 nm;λ3=750 nm，中间光线为λ2。计算光路图如图3所示。

图3 计算光路图

2.3 模拟算法流程

计算机的模拟计算过程就是根据输入的参数运行相关数学计算式算出目标量，并对目标量进行最优化的过程。

结合实际，在模拟计算时，应首先设定初始值：不同波长的三物光、两光栅的空间频率与衍射光级数、光栅G1的位置。将这些值输入计算机，代入式(1)～式(5)，对光栅G2位置不断取值进行循环计算，得出对应的光栅G2上以相同角度出射的各波长光线位置再计算出Yi的平均间距，按判断标准判断可得出“汇合”时光栅G2的位置。

具体的算法是：给定一组参数(k1，k2，d1，d2，z1)，以0.01 mm为步长改变光栅G2的位置，按照上述算法计算出相应的各波长出射光线的平均间隔T，T最小即为光汇合，此时可得出光栅G2在双光栅成像时的位置Z2。具体计算流程图如图4所示。

根据上述算法，本文使用Python语言编写了双光栅衍射模拟计算程序。

3 模拟实验软件GUI界面设计

为了直观观察双光栅成像的过程，有必要按照简洁、便于使用的基本原则设计图形用户界面。对于我们的实验来说，主要有三方面需求：一是参数的输入与控制;二是实验现象的观察;三是实验仪器、实验光路直观显示，如图5所示。

图4 计算流程图

图5 双光栅色散_汇合光谱成像模拟实验程序GUI界面

由于一组实验测量过程，空间频率与衍射级数无需改变，对于这些参数的输入设计采用直接屏幕文本窗输入。而在双光栅成像的实验过程中光栅的位置需连续改变直到各色光谱汇合，为便于改变光栅位置，分别对两光栅设计了四个改变光栅位置的控制按钮。其中，两个用于粗调，两个用于微调，还设计了两个改变两光栅夹角的按钮。将这些图形按钮与前述的模拟计算程序建立关联，同时将显示的图像与前述的模拟程序计算结果建立关联，每当有数据改变时，通过回调函数重新计算光路与虚光谱位置，实现图像随参数改变时时更新。

界面有两个图像显示区域，光路图区域用于显示仪器位置与光路，观察区域用于显示观察到的视场现象(虚光谱)。它们都会随着参数与计算结果的改变而做相应的变化，更新光路图与视场图。

根据上述设计，本文用Python语言的Tkinter模块编写带有图形用户界面的模拟软件。

4 双光栅衍射成像模拟实验与成像过程演示

本文的双光栅衍射模拟计算软件可以对双光栅成像实验进行模拟，测量相关参数。该操作过程为：先输入空间频率、衍射级数等固定参数;然后通过点击光栅位置的控制按钮或夹角按钮，改变光栅位置或两光栅的夹角直到看到视场中各色光谱汇合，记下此时光栅位置与像的横向偏移等数据，即测得一组实验数据。我们将程序运算结果与实际实验结果进行了比较，结果表明两者的吻合程度良好。

上述模拟实验是通过计算机屏幕界面进行操作的，该用户界面的操作非常简便，不仅准确模拟了双光栅衍射实验的所有过程，而且对各个阶段的实验现象均有显示。通过改变这些参数可以观察相应的实验现象，作出比较分析，从而加深对双光栅色散_汇合光谱成像本质的理解。

模拟软件不仅能模拟实际的双光栅衍射成像实验，得到相关的实验数据，还能通过图形用户界面观察双光栅色散_汇合光谱衍射成像的形成过程。

图6是观察到的视场图，显示了模拟的物光波经双光栅衍射后从色散到汇合再到色散的过程。模拟的相关参数是：G1的空间频率d1=1/100 0 mm;衍射级数k1=1;G1到光源的垂直距离z1= 45.0 cm;G2的空间频率d2=1/500mm;衍射级数k2=_1。在这些参数条件下，光栅G2到光源的垂直距离z2从100 cm变到80 cm，从图像中可以看到，视场中的像从色散逐渐汇合再色散的过程。而各色像完全汇合时z2=90 cm。可以验证，这时各参数满足前面所说的汇合光谱条件方程。

图6 视场图中显示双光栅衍射形成的包括汇合光谱的各级光谱

5 结束语

应用计算机模拟技术开发了带有图像用户界面的双光栅衍射成像模拟实验教学软件。该软件能够在计算机上模拟操作双光栅衍射成像实验并显示成像全过程，使抽象的双光栅消色散成像过程具体地呈现在学生面前，使本不可能在课堂上演示的复杂的双光栅成像实验得以便捷、清晰地展示。让学生直观了解了光栅的色散效应与汇合光谱效应，使他们更深刻、完整地认识光栅衍射特性。

同时，与现实的双光栅衍射实验相比，模拟实验具有操作简单、现象明显、参数可调等特点，学生可以亲自更改实验参数，研究实验现象如何随各参数而变化，寻找成像规律。本文的模拟实验程序是对光学衍射内容教学的有力支持。

[1]Brooker，Geoffrey.Modern classical optics[M].北京：科学出版社，2009：86_98.

[2]赵凯华.新概念物理教程光学[M].北京：高等教育出版社，2004：195_212.

[3]姚启钧.光学教程[M].3版.北京：高等教育出版社，2008：125_147.

[4]Hecht E.Optics：Fourth edition[M].张存林，译.北京：高等教育出版社，2005：481_492.

[5]张卫平，何小荣.光栅的汇合光谱特性与双光栅成象效应[J].中国科学：G辑，2006，36(5)：556_560.

[6]Zhang Weiping，Wei Wenlou.Method for spectrum imaging[J]SPIE，2001，4548：99_102.

[7]广西大学.双光栅衍射传递图像技术及衍射成像仪的开发应用[Z].科学技术成果鉴定证书，桂科鉴字[2010]43号，登记号：201091314.

[8]万玲玉，张卫平，杨庆怡，等.基于双光栅衍射成像效应的光栅实验探讨[J].实验技术与管理，2009，26 (10)：27_31.

[9]张卫平，黄冠琅，罗庭军，等.教学与科研紧密结合创建光栅新实验[J].实验室研究与探索，2011，30 (3)：256;259.

[10]吴伟明，韦文楼，邓文，等.大学物理实验[M].北京：科学出版社，2010：272_274.

Com puter Simulation for the Bi-grating Dispersion and Combination Spectrum Imaging

LIAO Zongmeng，ZHANGWeiping
(College of Physics Science and Technology，Guangxi University，Nanning 530004，China)

Based on the optical system of bi-grating dispersion and combination spectrum imaging and the grating equation，a software program for the simulating experiment of bi-grating diffraction imaging is created with Python.The calculation formula，algorithm flow chart and design of Graphical User Interface(GUI)are presented.The program in this paper can notonly simulate the actual bi-grating dispersion and combination spectrum imaging experiment and obtain the experimental data，but also demonstrate the changes of light path and show the quality of image in the formation process of bi-grating diffraction imaging.

bi-grating imaging;grating diffraction imaging;spectral combination;dispersion-combination spectrum

O436.1

A

10.3969/j.issn.1672_4550.2014.01.003

2013_05_02；修改日期：2013_11_28

国家自然科学基金项目资助（61167001）；新世纪广西高等教育教学改革工程项目（2008B030，2013JGZ100）；广西高等学校特色专业及课程一体化建设项目（GXTSZY204）。

廖宗勐（1989_），男，广西大学2008级本科生，专业方向：数理基础科学专业。

张卫平（1958_），女，教授，主要从事光栅衍射成像及光全息等方面的研究工作。