一道求瞬时功率最大值问题的若干方法研究

滕玉永

摘 要： 本文采用了受力分析、运动分析，数学求导，以及Cauchy不等式等方法，加强学生对物理量最值的理解和求解，让学生认识到求最值方法的多样性，从而培养学生利用物理方法和数学方法求物理量最值的能力；利用gnuplot软件画出重力的功率随θ的变化关系图线，让学生更形象、更直观地认识重力的功率随θ的变化趋势。

关键词： 最值 受力分析 运动分析 求导 Cauchy不等式

例题：如图1所示，以O点为圆心，制作一个半径为R=2m四分之一的光滑圆弧形轨道，质量为m=0.1kg的小球从与O点等高的圆弧最高点滚下。求：小球沿光滑圆弧下滑过程中重力的最大功率为多大（g取10m/s）？

图1 图2

解析：小球沿光滑圆弧下滑过程中重力的功率最大时，如图2所示：设小球所在位置与O点的连线与竖直线所成夹角为θ，小球速度为v，由功能关系得：mgRcosθ=mv （1），所以v= （2），P=mgv=mgvsinθ=mgsinθ （3），代入数据可得：P=mgsinθ=2sinθ （4），则：求重力最大功率的问题转化为求sinθ或cosθsinθ或cosθ（1-cosθ）的最大值问题。

方法一：受力分析和运动分析，丰富原有图形，物理知识求最大值。

知识点类比迁移过程：在高中物理问题中，依据所研究问题的需要，把实际研究对象及其运动状态、受力情况等进行合理抽象，对制约物体客体运动、变化的条件进行取舍，即忽略次要因素，抓住决定性的条件，突出理想客体与主要条件的内在联系。如本题中，解决问题时可以首先突出竖直方向上的运动状态，可以发现竖直方向的速度是先变大再变小；其次突出圆周运动，小球在任意一个位置的法线方向的合力提供向心力，因此可以采用如下步骤：

受力分析和运动分析1：如图3所示：沿光滑圆弧下滑过程中小球受到重力mg和支持力N的作用，v达到最大值时，竖直方向的加速度为零，即竖直方向的合力为零，亦即：mg=Ncosθ可得：N=。

图3 图4

受力分析和运动分析2：小球在下滑过程中，做变速圆周运动（如图4所示）：支持力N与重力G沿法线方向的分力的合力提供向心力。则有：N-mgcosθ=，结合前面（2）式和以上两式可得：-mgcosθ=2mgcosθ，从而得：cosθ=，所以sinθ=，将上两式代入（4）式可得：P=2sinθ=W。

方法二：重构原有知识，创设多种情境，函数求导求最大值。

（一）对cosθsinθ求导，若要cosθsinθ取最大值，需要：

则有：=-sinθ+3cosθsinθ=0

可得：cosθ=，所以sinθ=

与（一）同理代入即可得到结果。

方法三：利用三角函数，联系临界条件，Cauchy不等式求最大值。

Cauchy不等式是数学中的一个非常重要的不等式，求函数最值是Cauchy不等式的基本应用之一。

cosθsin

其中：2cosθ=sinθ时，cosθsinθ取最大值

此时有：P=mgsinθ=2sinθ=2=W。

方法四：利用gnuplot软件，画出重力的功率变化关系图线，形成直观印象。

笔者利用gnuplot软件，画出重力的功率随θ的变化关系图线，虽然该方法无法求出最值，但可以从图像中清晰看出存在最值及重力的功率的变化趋势，让学生更形象、更直观地认识重力的功率随θ的变化趋势，加深对知识的理解与记忆。

通过力的独立作用原理和运动的分解，进行受力分析和运动分析，从具体的物理情景中逐步提炼出常见的物理模型，既符合学生的认知习惯，又有利于对实际物理问题的解决，充分利用所学的物理知识得到重力的最大瞬时功率，可以加深学生对物理知识的理解和掌握。同样，当用物理知识考虑问题有困难时，也可以利用数学所学到的函数求导方法或Cauchy不等式方法求重力的瞬时功率最大值。让学生充分认识到求物理量最值的方法的多样性，从而培养学生利用物理方法和数学方法求物理量最值的能力。