Matlab分析连续控制系统的根轨迹

万萍

摘 要 借助于国际上流行的控制系统计算机辅助设计软件matlab对连续控制系统进行分析，首先以自动控制原理为基础，对连续控制系统进行分析，建立传递函数模型，分析系统的根轨迹。

关键词 控制系统；matlab；函数模型；根轨迹

中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2014）07-0182-01

1 系统的传递函数模型

连续时间系统用微分方程描述。对于单输入单输出（SISO）系统数学模的一般形式为：

any（n）（t）+an-1y（n-1）（t）+…+a0y（0）（t）=bmu（m）（t）+bm-1u（m-1）（t）+…+b0u（0）（t）

其中，y和u分别为系统的输入与输出；ai与bi分别表示输入和输出各导数项系数。

1.1 模型介绍

传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。对于一个SISO连续系统，系统相应的微分方程如上式所示，对此微分方程作Laplace变换，则该连续系统的传递函数为：

1.2 模型建立

在matlab中，用函数tf可以建立一个连续系统传递函数模型，其调用格式为sys=tf（num，den）其中，num为传递函数分子系统向量，den为传递函数分母系数向量。

例1：连续系统的传递函数为G（s）=（s+5）/（s2+s+6）

用MATLAB建立该系统传递函数模型和运行结果如下：

num=[1，5]； Transfer function：

den=[1，1，6]； s+5

sys=tf（num，den） s^2 + s + 6

2 控制系统的根轨迹分析

经典控制系统经常用传递函数来描述，系统设计往往借助于系统频率特性，根轨迹法是最常用的方法。本节将就连续控制系统的根轨迹方程，根轨迹图的绘制以及根轨迹在matlab中的实现来分析连续控制系统的根轨迹。

根轨迹的一般定义是：当系统中某参数（通常指开环增益）由0时，系统死循环极点在S平面上运动的轨迹。

2.1 根轨迹方程

若系统开环传递函数为G（s）H（s），则系统死循环特征方程为：1+G（s）H（s）=0

以零极点的形式，上式可写成

此即为根轨迹方程。式中Zi（i=1，2，…，m）为系统的开环零点，Pi（i=1，2，…，n）为系统的开环极点，K为系统的根开环增益。满足根轨迹方程的所有s值必然都是系统可能的死循环极点；对于每一个死循环极点，系统都有相应的增益值。

2.2 根轨迹的MATLAB实现

MATLAB中有三个函数用于根轨迹绘制和分析，它们分别是rlocus、rlocfind和sgrid。函数rlocus的调用格式为（sys为系统的开环模型）：

rlocus（num，den）；rlocus（num，den，k）；

rlocus（sys） 绘制根轨迹图；r= rlocus（sys）返回系统死循环特征根值r；[r，k]=rlocus（sys）返回系统增益。

例2、已知某系统的开环传递函数为G（s）H（s）=K/s（s+1），增加零点后的传递函数分别为G（s）H（s）=K（s+2）/s（s+1）和G（s）H（s）=K（s+0.5）/s（s+1），试讨论对根轨迹和系统性能的影响。

MATLAB程序如下：

clc

clear

num1=[1]； %原系统

den1=[1 1 0]；

subplot（3，1，1）；

rlocus（num1，den1）

num2=[1 5]； %增加零点z=5

den2=[1 1 0]；

subplot（3，1，2）；

rlocus（num2，den2）

num3=[1 0.5]； %增加零点z=0.5

den3=[1 1 0]；

subplot（3，1，3）；

rlocus（num3，den3）

3 结论

应用matlab进行对线性连续控制系统的根轨迹的分析可以更加形象、快捷地展现参数变化对系统性能的影响，使我们加快、加深对自动控制理论的理解与接受，更加直观的了解控制系统中的各种响应及其分析方法。

参考文献

[1]黄坚.自动控制原理及其应用[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]郑阿奇，曹戈，赵阳.MATLAB实用教程[M].北京：电子工业出版社，2004.endprint