不确定时滞状态饱和系统的稳定性分析与综合

杨 瑾，景 丽

（沈阳师范大学 数学与系统科学学院，沈阳 110034）

饱和系统是在实际工程控制问题中普遍存在的一类非线性控制系统。在大多数的实际控制系统中，无论是执行器或系统状态等工作参数都受到上下界的限制，如机器零件可承受的工作参数，锅炉的炉温，水位的高度等都要受到上下界限的限制，这就是非线性饱和控制系统所研究的问题。对饱和系统的研究包括状态饱和［1－6］，执行器饱和［7－11］等。目前，对状态饱和系统的研究都集中在对其稳定性的研究上。

针对不确定系统的稳定性研究引起了众多学者的关注，并取得了一定的研究成果［4－8，12－16］。目前，对于系统的不确定项有两种形式的限定，其一是不确定项为已知系统矩阵的线性组合［4，12］，其二是不确定项满足范数有界不确定结构［13－16］。控制系统普遍存在滞后现象，若忽略对滞后现象的考虑，那么系统的稳定性和动态性能将大大改变。滞后现象是影响系统动态性改变的根本原因，可见，对时滞系统进行研究也有其实际的应用价值［7－9，13－16］。因此，针对不确定时滞系统进行研究是十分必要的。

本文采用处理状态饱和函数的凸组合方法及控制系统的Lyapunov稳定性理论，研究不确定时滞状态饱和系统的稳定性问题，给出了系统大范围渐近稳定的充分条件。通过变量变换和矩阵理论，系统稳定的充分条件化为线性矩阵不等式形式，同时给出了系统的状态反馈控制器的设计方法。最后，使用Matlab软件进行仿真，验证了结论的有效性和可行性。

1 问题描述

考虑不确定时滞连续状态饱和系统：

其中：x∈Dn＝｛x｜x＝（x1，x2，…，xn）∈Rn：－1≤xi≤1，i＝1，2，…，n｝⊆Rn是状态向量；A＝（aij）∈Rn×n是已知的实矩阵；ΔA＝HF（t）E＝（Δaij（t））∈Rn×n具有范数有界不确定结构，这里，H、E是已知的适维实矩阵，F（t）是Lebesgue可测不确定矩阵，且满足不等式FT（t）F（t）≤I；h（·）为状态饱和函数，具有式（2）的形式：

在系统（1）中，状态变量被定义在单位矩形域Dn中，当且仅当状态变量＝1，并且满足＋Δaij）xj（t）＋aτijxj（t－τ））xi＞0时，状态饱和限制才发生作用。

引理1 考虑如下的非线性系统

其中，f（0）＝0，假设系统（3）的状态轨线都在ℑ内，如果存在函数V（x）：ℑ→R，使得φ1（‖x‖）＜V（x）＜φ2（‖x‖），∀x∈ℑ，并且≤－φ3（‖x‖），∀x∈ℑ，其中φ1，φ2，φ3都是K－函数，则系统（3）在原点大范围渐近稳定。（系统在原点大范围渐近稳定是指系统的吸引域为ℑ）

令Dn是有对角元素是1或0的对角矩阵组合的集合，则Dn包含2n个元素，令Di∈Dn，并定义＝I－Di。

引理3［5］设G＝（gij）∈Rn×n是对角占优矩阵，且对角元素为负，即gii＜0，（i＝1，2，…，n），则

其中L∈Rn。

2 主要结论

定理1 如果存在正定对称矩阵X∈Rn×n、Z∈Rn×n和矩阵Y∈Rn×n以及正实数ε，使得

证明 选取Lyapunov函数

其中P、Q∈Rn×n为正定对称矩阵，于是沿着系统（1）有

设G＝（gij）∈Rn×n是对角元素为负的对角占优矩阵，由引理3，可知

其中Di、（i＝1，2，…，2n）如引理2所定义的。

令＝Di（A＋ΔA）＋，则

根据引理1可知，若

则˙V（x（t））＜0，那么系统（1）在原点大范围渐近稳定。

由Schur引理，式（5）等价于

由于，矩阵ΔA具有范数有界不确定结构，式（6）成立等价于

将式（7）左、右分别乘以P－1，即得由Schur引理，式（8）成立等价于

令P－1＝X，GP－1＝GX＝Y，Q－1＝Z，λ－1＝ε，且G＝YX－1是行对角元素为负的对角占优矩阵，式（9）化为式（4），不等式（4）为线性矩阵不等式，即可使用Matlab软件进行求解。

3 系统状态反馈控制器的设计

考虑下面的状态饱和系统的控制器设计问题：

其中：矩阵B＝（bij）∈Rn×m；K＝（kij）∈Rm×n；其他参数同系统（1）。

定理2 考虑系统（10）在线性状态反馈控制器为u（t）＝Kx（t）＝WX－1x（t）作用下，如果存在正定对称矩阵X∈Rn×n、Z∈Rn×n和矩阵Y∈Rn×n，W∈Rm×n以及正实数ε，使得

证明 将u（t）＝Kx（t）代入到式（10）中，系统（10）改写为

在定理1的证明中将式（9）改写为

将式（13）化为式（11），不等式（11）为线性矩阵不等式，即可通过 Matlab软件进行求解，并且系统（10）渐近稳定的线性状态反馈控制器为u（t）＝Kx（t）＝WX－1x（t）。

4 仿真算例

设系统（10）中的矩阵参数为

利用MATLAB工具箱中的feasp函数求解不等式（11），得到

同时得到

由矩阵G是对角元素为负的对角占优矩阵，状态反馈

图1 系统（10）状态反馈控制后的状态轨迹

5 结 语

本文研究带有不确定项的时滞状态饱和系统，选择适当的Lyapunov函数，并将非线性状态饱和函数表示成凸组合的形式，给出系统在原点大范围渐近稳定的充分条件，将其表示成线性矩阵不等式（LMI）的形式，同时给出了系统状态反馈控制器的设计方法，通过Matlab软件进行仿真，验证结果的有效性和可行性。

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