瞬变电磁测井原理研究Ⅲ:电磁波

臧德福,朱留方,张付明,沈建国,沈永进,王振雷

(1.中石化胜利石油工程有限公司测井公司,山东 东营 257096; 2.天津大学电子信息工程学院功率超声实验室,天津 300072)

0 引 言

瞬变电磁测井在井内完成,所满足的Maxwell方程包含电磁波的传播[1-4],其瞬态激发波形的频率成分丰富,这些频率的电磁波在井内的传播特征以及对瞬变电磁测井的影响是瞬变电磁测井研究必须解决的基本问题。在讨论感应测井的精确解时给出的势函数解析表达式是推迟势,描述电磁波的传播特征,将推迟势展开以后得到了势函数的实部和虚部[1]。进一步用级数展开后发现,实部的第1项是直接耦合场——一次场;虚部的第1项是二次场——没有用Doll几何因子描述。从这些推导过程看,感应测井可以用电磁波传播特征刻画,或者是描述电磁波传播的推迟势的简化。那么电磁感应与电磁波之间有什么样的联系和区别？瞬变电磁测井所测量到的瞬态波形到底是电磁波的传播结果还是电磁感应的结果呢？

波动声学是声波测井的理论基础[5-6],可以用二维谱研究声波在井内的传播特性,并在仪器设计和资料处理方面发挥重要的指导作用,使声波测井仪器从长源距声波、阵列声波、偶极子声波到正交偶极子声波形成了系列测井仪器。

电磁波动理论从Maxwell方程出发,用电磁波的波动特性研究电磁场的响应。本文将声波测井通常使用的解析方法[5-6]引入瞬变电磁测井,给出了裸眼井(柱状分层)模型的二维谱,从二维谱中获得了井内电磁波的传播速度随频率的变化特征,对比低频和高频段的电磁波传播速度发现,高频段主要以电磁波传播为主;低频段电磁波的传播受地层电导率影响,频率越低传播速度越慢。这些结果从电磁波传播的角度再现了瞬变电磁测井响应的特征,为全面理解瞬变电磁测井原理提供了另外一条途径。

1 无限大均匀介质的电磁波速度

对于无限大均匀介质的无源区,简谐波ei ω t激发时,由Maxwell方程得到满足描述电磁场势函数A的波动方程

(1)

(2)

(3)

式中,α为相位常数;β为衰减常数。

电磁波波长为λ=2π/α,传播速度为

(4)

传播速度与频率有关,频率越低,速度越小。图1是无限大均匀介质电磁波慢度U(类似于声波时差,是速度v的倒数)随频率的变化曲线。从图1可见,当频率大于50 MHz以后,慢度趋于常数;与理想介质相似;小于50 MHz时,慢度随频率变化比较大,特别是在0～20 MHz频段内,随着频率增加,其慢度曲线随频率变化明显,频率越低,慢度越大,传播速度越慢。

图1 无限大均匀介质的电磁波慢度(时差)随频率的变化

2 裸眼井模型及其解

假设裸眼井边界是一长圆柱液-固界面,井里是液体,外面是固体。轴线上有一发射线圈,其轴线与井轴重合。建立柱坐标系,其z轴与圆柱的轴线重合,井半径为a,井内液体的电阻率为σ1,介电常数为ε1,井外固体的电阻率为σ2,介电常数为ε2(见图2)。井内液体和井外固体均没有铁磁介质,磁导率均为μ,发射线圈中心位于坐标原点,激发的电磁场在圆柱内、外的分布轴对称。

图2 裸眼井柱状模型

对于轴对称电磁场,势函数只有圆周方向的分量Aθ,利用势函数Aθ可以得到电磁感应强度B和圆周方向的电场强度Eθ

B=

(5)

(6)

设井内液体圆周方向的势函数为φ,井外固体圆周方向的势函数为ψ。根据边界条件,电场强度的切向分量连续,Eθ1=Eθ2;或电磁感应强度的法向分量连续,Br1=Br2。可以得到

φ|r=a=ψ|r=a

(7)

再根据边界上磁场强度的切向分量连续,Hz1=Hz2。可得到

(8)

由上述边界条件可得到井内液体的电磁场分布

(9)

式中,第1项为直达波;第2项为广义反射波;M为发射线圈激发的磁偶极子;系数B1为

(10)

直达波不包含井外固体(地层)的电参数(电导率、介电常数)信息,直接考虑包含地层信息的广义反射波,即式(9)的第2项。描述井内电磁场特性的表达式为l1B1I0(l1r),它是波数k和频率f的函数,以波数k和频率f为自变量构成k—f平面。将表达式l1B1I0(l1r)的值绘制在k—f平面上,得到二维谱;将二维谱的极大值取出,得到极大值位置的分布;将极大值位置的波数k除以频率f得到相应的相慢度,相慢度是随频率变化的曲线。

3 裸眼井的二维谱

设井半径a为0.1 m,井内泥浆电导率σ=1,相对介电常数εr=50[ε0=1/36π×10-9C3/(N·m2)],井外固体是无限大地层,其电导率σ=1/30 S/m,相对介电常数εr=10,井内液体和地层的相对磁导率为1。井内液体的电磁波速度在高频段的常数为V1,地层的为V2。

图3是井内瞬变电磁响应的二维谱,颜色表示二维谱模的幅度,幅度比较大的位置表示其响应比较大,幅度连成的线表示能够在井中传播的电磁波。将二维谱幅度的极大值绘出得到图4,这些极大值位置连成了曲线。这些曲线刻画了井内能够传播的电磁波的模式,即模式波,并描述了模式波的传播速度特征。因为曲线的斜率k/f表示慢度(即测井时差,是传播速度的倒数)。图4中的2条接近直线的曲线V1、V2是无限大均匀介质的电磁波传播速度。V1曲线代表井内泥浆的电磁波速度,V2曲线代表井外地层的电磁波速度。从图4可见,在k—f平面上,井内所能够传播的电磁波只在一定的区域内存在,随着频率的增加每条曲线逐渐与V1平行,速度与井内液体的速度相等,在与V2相交的位置截止,每个截止位置对应1个频率,称为截止频率。截止频率以下对应的模式波消失。在截止频率以上,传播速度随频率连续减小,最后与V1相等。

图3 裸眼井内电磁波传播的二维谱

图4 裸眼井内电磁波传播的二维谱的极大值分布

从图3、图4可以看出,最上面有一个波与V1曲线重合,即在整个频段都有与井内泥浆的电磁波速度相等的波存在;只有在截止频率附近才能出现与V2重合的电磁波,即与地层的电磁波传播速度相等;大于截止频率以后,其分布与V2岔开,随着频率的增加,从V2连续变化到V1,其速度随频率连续变化,不是常数。井内液体中这类波对应于圆柱形波导管中的模式波,是圆柱边界条件对电磁波多次反射以后形成的。对于半径为0.1 m的理想圆波导,其截止频率高达1 800 MHz。图3所示的二维谱中的模式波截止频率比较低,最低达20 MHz,这是由于裸眼井地层模型不是理想介质,井内导电的泥浆和井外具有一定电导率的地层共同导致截止频率降低。

图5是将图4中每个极大值的位置坐标——波数k与频率f相除以后所得到的慢度U=k/f随频率的变化曲线。在频率小于20 MHz时,井中幅度比较大的模式波的传播速度与V1重合,以井内泥浆的电磁波速度传播。在20～250 MHz的频段内,有2个模式波,第2个模式波只是在40 MHz、120 MHz附近与V2相交或者重合,以地层的电磁波速度传播,随着频率的增加,其时差连续增加最终与V1重合。在250 MHz以后又出现了第3个模式波,在250～360 MHz范围内,其模式与V2重合,以地层的电磁波传播速度传播。大于360 MHz以后,时差开始增加,最后与V1重合。在510 MHz和760 MHz位置出现一段与V2重合的模式波。该模式波与其他连续的模式波不相交,独立存在,是井筒的固有频率所致,类似于声波测井中的共振波,其分布是离散的。在这2个模式波的附近分别有相应连续的模式波。这些模式波也有一段频率区间与V2重合。在V2的上、下两边均是连续的模式波,慢度随着频率的增加而增加。

将图3、图4、图5放大得到图6、图7、图8,其频率区间为0～500 MHz,更清晰地反映了井内液体中能够传播的电磁波的特征。

图5 井内电磁波慢度随频率的变化

图7 裸眼井内电磁波传播的二维谱极大值的分布0～500 MHz

图8 裸眼井内电磁波传播的慢度随频率的变化0～500 MHz

从图8可以看出,在频率低于76 MHz后,上部有一个模式波,其时差曲线与V1重合,反映井内液体的特征。下部还有一个模式波,其慢度比较小,随着频率的降低,慢度迅速增大(图8没有继续计算低频时该波的特征)。这样,其波形形状由于慢度(速度的倒数)随频率的变化而严重变形。因此,在频率低于20 MHz以后,井内电磁波的传播特征已经不再明显,主要由电磁感应现象决定响应的特征。或者说,井内电磁波的传播以严重频散的特征出现。

4 分析与讨论

波动声学理论最终可以给出不同位置的计算波形或者不同时刻的声场分布。其中的二维谱是连接理论计算、声波波形处理和实际应用的有效工具。因为二维谱描述了井内所能够传播的声波的幅度和速度特征。

瞬变电磁测井响应在井内的二维谱同样描述了井内所能够传播的电磁波的幅度和速度特征。当频率大于100 MHz时,二维谱只在一些特定的区域幅度较大,这些区域对应井内电磁波的传播模式,只有在这些特定的频率和波数电磁波才能够在井内传播;在这些能够传播的区域中,只有一些离散的频率段其传播速度才与所探测地层的电磁波速度相等,才能够测量到地层的介电常数。在其他频率段,井内电磁波的传播速度随频率改变。在低频段,井内所测量的电磁波的传播速度随着频率的减小迅速减小,这是因为地层的电磁波传播速度受地层电导率的影响,随着频率的降低迅速减小。因此,用低频可以测量地层的电导率。

电磁波测井与声波测井的主要区别是在无限大均匀介质中,声波的传播速度是常数,有纵波和横波2种,而电磁波的传播速度随频率改变,高频时趋于常数,只有一个值,并且在井中电磁波的频散特征与纵波的特征相似,具有固有频率,在固有频率处,其速度等于地层的电磁波速度,具有截止频率;大于截止频率后,其速度连续从地层的电磁波速度变化到井内液体的速度;低频时受电导率影响,地层和井内液体的电磁波速度随着频率的降低迅速减小,电导率越高,磁导率越大,其速度减小越快,井中传播的电磁波速度也随着井内、外介质的电磁波速度的改变而改变,出现严重的频散特征。这样,其响应时间会比较长,远远大于声波测井。低频电磁波的主要表现为电磁感应现象,从电磁波的角度看电磁感应现象时其传播速度很慢(远远小于声波的速度),所测量的瞬变电磁测井响应波形中,地层电导率将导致波形形状发生变化,电导率信息主要分布在所测量的波形幅度中。

5 结 论

(1) 瞬变电磁测井响应所涉及的频率小于100 Hz,在这段频率范围内,导电介质的波数k0中电导率的影响远远大于介电常数,井内液体和井外固体的电磁波传播速度随频率的降低急剧减小,频散极其严重。

(2) 在裸眼井条件下,其电磁波的频散也同样严重,井内所测量到的电磁波速度也跟着急剧减小,电磁响应主要以电磁感应特征为主。

(3) 与平面电磁波传播相比,瞬变电磁测井响应波形因为频散的影响将严重变形,即低频电磁波的响应与高频的电磁波有本质的区别,高频(大于100 MHz)时电磁波在井中的传播特征与声波测井相似,既有离散的固有频率段(在该频率段,井中的电磁波传播速度保持常数并等于地层的电磁波速度),也有连续的模式波,其传播速度随频率的增加从地层的电磁波速度变化到井内液体的电磁波速度。

参考文献:

[1] 张庚骥. 电法测井 [M]. 北京: 石油工业出版社,1984.

[2] 戈革,谢振全. 宏观电磁场论 [M]. 北京: 石油工业出版社,1980.

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[5] 沈建国. 应用声学——实轴积分方法与二维谱技术 [M]. 天津: 天津大学出版社,2004.

[6] 沈建国. 声波测井原理与技术 [M]. 北京: 石油工业出版社,2009.