有限时域内部分缺货的变质品生产-定价策略研究

段永瑞，李贵萍，霍佳震

（同济大学经济与管理学院，上海200092）

有限时域内部分缺货的变质品生产-定价策略研究

段永瑞，李贵萍，霍佳震

（同济大学经济与管理学院，上海200092）

研究有限时域内对变质产品同时安排生产计划和制定定价策略的问题。有限时域被划分成同等长度的多个周期，产品以固定的生产率间歇生产，并以固定的速率发生变质。需求同时依赖于时间和产品价格，在每个周期内都允许缺货且短缺量部分延迟订购。目的是要寻求一个使有限时域内系统的平均利润最大化的生产计划和定价策略。在算例中，分别讨论了需求随时间增大和减小两种不同的需求模式，采用Box复合算法，通过数值计算求得相应的最优生产计划和定价策略。分析表明：对于成长期或销售季初的产品，系统应采用“小批量多批次”的生产方式；而对于衰退期或销售季末的产品，应采用“大批量小批次”的生产方式。此外，不同类型的产品在不同需求模式下的定价策略有所不同：对于有限时域较短或变质率较高的产品，处于衰退期或销售季末的定价要低于成长期或销售季初的定价；相反，对于有限时域相对较长或变质率较低的产品，在衰退期或销售季末的最优定价要高于在成长期或销售季初的定价。

有限时域；变质品；部分缺货；生产；定价

1 引言

随着时代的发展和科技的进步，产品的流行趋势不断变化、更新速度不断加快，导致很多产品表现出了生命周期越来越短、品种数目越来越多的特点。比如时尚类、季节性产品和IT产品等，它们的计划时域或销售周期一般都是有限的，因此，有限时域对生产或库存控制的影响就变得越来越重要。此外，由于计划时域或销售周期有限，这类产品如果不能在规定的期限内送达顾客手中，那么在存储过程中就会由于腐败、破损或更有竞争力的新产品出现等原因，致使其价值不断减少，即在一定程度上会表现出“变质”的特性。变质产品的库存研究是库存控制领域的一个重要分支。Raafat［1］，Goyal和Giri［2］对早期变质产品库存策略的相关研究给出了很好的综述。综上，研究有限时域内变质产品的生产或库存控制问题变得更加迫切、更具现实意义。

Ghare和Schrader［3］首先假设需求为常数，提出了一个有限时域内常数变质产品的库存补货模型。随后，Covert和Phillip［4］在考虑变化的变质率基础上对Ghare等［3］的模型进行了扩展。Shah［5］通过引入允许缺货的机制进一步对以上模型做了一般化处理。不难发现这些模型有一个共同的假设：需求为常数。事实上，对于处于生命周期成熟阶段的产品，常数需求具有一定代表意义。但对于其他一些非成熟期的产品，其需求随时间会发生变化。比如处在生命周期成长阶段的产品或季节性、流行性产品在销售季初时，随着人们对其性能的逐渐了解以及对相应品牌的认可或是对流行的跟随，需求会逐渐增大；反之，如果产品处于生命周期的衰退阶段或者是在其销售季末时，由于技术更新、消费者需求改变或流行的更替等原因，需求会随时间而不断减小。鉴于对现实情况的考虑，时变需求的概念逐渐被运用到库存模型的构建中。Dave和Patel［6］构建了一个有限时域内需求线性时变且变质率为常数的库存补货模型。而Chakrabarti和Chaudhuri［7］在有限时域内考虑了线性时变需求、常数变质率以及完全延迟订购的情况。Papachristos和Skouri［8］建立了一个有限时域内的连续盘点库存模型，假设需求是与时间相关的任意连续的对数凹函数，产品的变质率为常数，允许缺货且部分延迟订购率是顾客等待时间的负指数函数。郑惠莉和达庆利［9］提出了一个有限销售期内需求和采购价格均为时变，等周期且各周期服务水平相同，缺货时短缺量完全拖后的EOQ模型。郑惠莉和达庆利［10］做了进一步的扩展，考虑了等周期且每个周期内服务水平可不同的情况。罗兵、杨帅和李宇雨［11］在郑惠莉等［9］的基础上提出了综合考虑物品变质和存货影响销售率情况下的最优采购策略。罗兵、杨帅和熊中楷［12］进一步考虑时变短缺量拖后率以及资金时间价值等因素对变质物品库存管理的影响，建立了相应的EOQ模型。黄波、孟卫东和熊中楷［13］考虑物品变质速度与保管时间线性相关，在有限销售期内建立了一种在短缺量部分拖后条件下，需求随时间指数增长、销售和采购价格均随时间指数下降的变质物品EOQ模型。

现实生活中，产品的需求除了与时间相关外也受价格的影响，通常价格越高，需求会越小；反之，则越大。Cohen［14］构建了需求受价格线性影响的定价与补货模型。Chen等［15］提出了一个需求与时间和价格同时相关的变质品库存模型，并在多周期的有限时域内考虑了通货膨胀和时间价值的影响。Chen Xin和Simchi-Levi［16］考虑了一个在有限时域内同时进行定价和库存控制的周期盘点库存模型，假设不同周期内的需求是关于价格的独立随机变量，允许缺货且完全延迟订购。Hsieh和Dye［17］考虑通货膨胀的影响，构建了一个有限时域内变质产品的定价和订购模型，假设需求与时间和价格同时相关并且允许对价格进行周期性上下调整，常数变质率，部分延迟订购且延迟订购率与顾客等待时间相关。彭作和与田澎［18］建立了一个有限销售期内需求是价格的减函数、变质率为常数且考虑货币时间价值的变质商品临时价格折扣模型。

不论假设需求是与时间相关还是对价格敏感，以上文献大多只是考虑有限时域内产品的订购、定价问题或两者的结合，很少涉及生产管理。Sana、Goyal和Chaudhuri［19］在线性时变需求、常数生产率和变质率并且完全延迟订购的假设基础上构建了一个有限时域内变质产品的生产库存模型。Diponegoro和Sarker［20］在固定生产率、需求率以及交货时间的假设基础上研究了有限时域的生产问题。随后，Diponegoro和Sarker［21］进一步将问题拓展到时变需求的情况。Yang［22］构建了有限时域内需求、生产和变质均与时间相关且部分延迟订购的生产库存模型，并给出使系统总成本最小的最优解存在的条件。但以上文献均没有考虑产品定价对需求及生产策略的影响。

本文考虑有限时域内产品的需求同时依赖于时间和价格，部分缺货且部分延迟订购率与等待时间负相关，产品以固定的生产率进行间歇生产并以固定的速率发生变质的生产和定价问题，从生产商的角度出发，探讨在有限时域内如何制定生产计划和定价策略，即有限时域内最优的周期数、每个周期内开始生产和停止生产的时间点以及产品的最优定价，以最大化系统的平均利润。在算例中，分别讨论了需求随时间增大和减小两种不同的需求模式。最后，运用Box复合算法［23］，通过数值计算求解两种需求模式下的最优生产计划和最优定价，并对相关参数的灵敏度进行分析。

2 假设与符号

模型中用到的假设和符号如下：

（1）有限时域H被划分成n个同等长度的周期，那么每个周期的长度为H/n，其中n为决策变量之一。

（2）需求D与时间t和价格p同时线性相关，即D（t，p）=a+bt+cp，其中a≥0，b≠0，c＜0，

t∈［0，H］。当b＞0时，表示需求随时间的变化而增大；当b＜0时，表示需求随时间的变化而减小。

（3）变质率θ为常数。

（4）产品的生产率R有限且为常数，R＞D（t，p）+θI（t），其中I（t）表示t时刻的即时库存水平。

（5）允许缺货且短缺量部分延迟订购。文中采用Abad［24］模型中用到的部分延迟订购率B（τ）= K0e-K1τ，K0＜1，K1≥0，其中B（τ）表示部分延迟订购率，τ表示顾客的等待时间。

（6）A表示生产准备成本，Cp表示单位产品的生产成本，Ch表示单位产品单位时间的库存持有成本，Cs表示单位产品单位时间的缺货成本，Co表示损失一单位需求的机会成本，Cd表示单位产品的变质成本。

3 建立模型

一个生产系统需要同时制定有限时域内的生产计划和定价策略。假设有限时域H被划分成n个同等长度的周期，如图1所示，第i（i=1，2，…，n）个周期的期初库存水平为0，生产从Ti-1时刻开始到t′i时刻结束，这段时间内在满足需求和变质后库存不断累积并在t′i时刻达到最大，在时间段［t′i，ti］内累积的库存在需求和变质的作用下逐渐下降并在ti时刻下降到0。接着发生缺货，缺货量在时间段［ti，Si］内积累。在Si时刻生产重新开始，在时间段［Si，Ti］内累积的缺货量和当前的需求均被满足，在周期末（即Ti时刻）库存水平变为0，新的周期开始。生产与库存以同样的模式从第1个周期开始不断重复直到第n个周期结束。目的是最大化系统在有限时域内的平均利润，即决定在有限时域H内，n取多少？t′i和Si分别为多少？以及产品的最优定价p为多少？

图1 第i个周期内库存随时间变化示意图

由于一个周期内不发生缺货的时间越长，顾客需求的满足率就越高，即服务水平越高，所以在文献中常用不发生缺货的时间段在一个周期内所占的比例来表示系统的服务水平［19］。如图1所示，对于第i个周期［Ti-1，Ti］，在时间段［Ti-1，ti］内没有缺货发生，那么用r表示服务水平，则

此外，为了方便计算，分别令：

由（1）-（3）以及假设，可得：

当t∈［Ti-1，t′i］时，即时库存水平I（t）满足：

当t∈［t′i，ti］时，I（t）满足：

从ti时刻开始发生缺货，假设对于未被满足的需求，系统采用“先到先得”的原则，即先到的需求在有货时将先被满足。如图1所示，在时间段［ti，Si］内没有进行生产，只有延迟订购的需求，所以当t∈［ti，Si］时，等待时间τ=Si-t-I（t）/R。在Si时刻生产重新开始，所以在时间段［Si，Ti］内，由时间段［ti，Si］累积的缺货量不断减少；同时，新的缺货量（即在时间段［Si，Ti］内的需求）还在不断产生。因此，在t∈［Si，Ti］时刻，顾客的等待时间τ=-I（t）/R。

由上面的分析容易得到，当t∈［ti，Si］时，即时库存水平I（t）的变化可表示为：

当t∈［Si，Ti］时，有：

求解微分方程（5）-（8），分别得到：

此外，由（6）式中的初始条件I（ti）=0，得到：

将（4）代入，化简可得：

同理，由（8）式中I（Ti）=0，得到

由（9）可求得，在时间段［Ti-1，t′i］内总的库存量为：

由（10）求得时间段［t′i，ti］内总的库存量为：

由（11）和（12）求得时间段［ti，Si］和［Si，Ti］内总的缺货量分别为：

再由（4）、（13）和（14）知变量t′i、ti、Si和Ti均可由r和p来表示，因此问题可重新表述为对有限时域内的周期数n、服务水平r和产品价格p的决策。下面以n，r和p为决策变量进行分析。

（i）由（4），（15）和（16）可知，在第i个周期内总的库存量Invi为：（ii）由（4），（17）和（18）可知，在第i个周期内总的缺货量Shori为：

其中：

（iii）此外，在第i个周期内损失的销售量Losti为：

（iv）在第i个周期内生产的产品总量prodi为：

（v）在第i个周期内变质的产品总量为：θInvi

综上可知，在整个时域［0，H］内，构成系统利润函数的各组成要素分别为：

（i）生产准备成本：n A

因此，系统在时域［0，H］内的平均利润可以表示为：

AP=（收益-生产准备成本-生产成本-持有成本-变质成本-缺货成本-机会成本）/H

从而：

由此，本文所讨论的问题可表述为：

max AP（r，p）

其中Pm是一个常数，表示在定价决策中产品价格的上限，可根据市场情况要求销售经理具体给定。在模型（19）中r和p是显性变量，而ki和di是关于r和p的函数，属于隐性变量。可以看出，模型（19）属于目标函数为多变量非线性函数且约束条件为不等式的规划问题，而Box复合算法［17］正是一个对非线性目标函数和非线性不等式约束条件的优化问题非常有效的顺序搜索技术，并且无需像经典的优化技术那样计算导数。此外，因为初始设定的点随机分布在整个可行域范围内，所以这一过程能够获得全局最大值。因此，本文运用Box复合算法对模型（19）进行求解。

4 算法

对于目标函数为多变量非线性函数且约束条件

其中，隐性变量XN+1，...，XM是显性独立变量X1，X2...，XN的函数。约束条件的上下限Hk和Gk均为常数。

用Box复合算法求解（20）的具体步骤为：

（1）生成由k（k≥N+1）个点构成的初始结构。这k个点包含一个初始可行点和k-1个附加点，其中k-1个附加点是由随机数和每个独立变量的约束条件产生的，可由下面的式子表示：

其中Ri，j是0-1之间的随机数。

（2）以上选择的点必须满足所有显性和隐性约束条件。在任意时刻，如果选定的点不满足显性约束条件，那么将该点向相应范围内移动δ；如果不满足隐性约束条件，则将该点移动距剩余点的中心一半的距离，即：

这个过程不断重复，直到满足所有的隐性约束条件。

（3）分别在每个点处都计算目标函数的值。取到最小函数值的点向剩余点的中心移动α倍的该点到剩余点的中心的距离，即：

（4）若在连续的试验中，某点持续取得最小的函数值，则将该点移动距剩余点的中心一半的距离。

（5）检验新产生的点是否满足约束条件，如果不满足，则返回第2步；如果满足则到第6步。

（6）当每个点到所有点的中心的距离都小于等于ε（ε是预先给定的一个精确度）时，则认为函数收敛。

（7）结束。

5 算例

这一节主要是模型的求解，分别考虑需求随时间增大和减小两种不同的模式，即b＞0和b＜0。

（1）需求随时间增大（b＞0）

令R=300件/月，H=6个月，A=120元，Cp= 6元/件，Cd=0.4元/件，Ch=0.3元/件/月，Cs= 4.5元/件，Co=5元/件，a=100件，b=4件，c=-3件，K0=0.9，K1=0.6，θ=0.05，Pm=30元。如表1所示，有限时域内的最优周期数为n*=7，最优服务水平为r*=0.872，产品的最优定价为p*= 16.705以及最优策略下系统的最优平均利润为AP*=1342.6。

表1 需求随时间增大模式下的最优解(b＞0)

（2）需求随时间减小（b＜0）

为了保证两种需求模式具有可比性，我们使其它参数的取值保持不变，令b=-4件，如表2所示，相应的最优周期数为n*=1，最优服务水平为r*= 0.832，产品的最优定价为p*=17.185，最优策略下系统的最优平均利润为AP*=308.267。

表2 需求随时间减小模式下的最优解(b＜0)

图2和图3分别给出了在两种需求模式的最优策略下，库存水平随时间的变化情况，横轴表示时间，纵轴表示库存水平。

当b＞0时，系统的最优周期数为7；当b＜0时，最优周期数为1。如果需求随时间增大（b=4时），如图2所示，最优的生产策略是多安排几次生产（n =7）且每次生产较少的量（每次生产补充库存到达的水平均在30-40件之间）；此外，随着需求的不断

图2 b＞0时有限时域内库存随时间的变化

图3 b＜0时有限时域内库存随时间的变化

增大，每个周期的最大库存水平也不断增大。如果需求随时间减小（b=-4时），如图3所示，则最优的生产策略是安排较少的生产次数（n=1），但每次生产较多的量（一次生产使库存水平达到约180件）。同时，我们也可以发现需求随时间减小时的最大缺货量（约为20件）远大于需求随时间增大时的最大缺货量（平均约为5-6件）。

6 灵敏度分析

这一节主要分析两种需求模式下（b＞0和b＜0）相关参数变化的灵敏度。在给定其它参数不变的情况下，每次仅改变指定参数的值，变化程度为分别增加50%和25%以及减少25%和50%。两种需求模式下的相应参数变化时最优解的灵敏度变化情况分别见表3和表4。在表3与表4中“参数取值”、“n*”、“r*”、“p*”和“AP*”各列分别表示相应参数下的最优解，为了容易观察参数变化的灵敏度，我们在同一个表格中分别用“参数变化（%）”、“r*（%）”、“p*（%）”和“AP*（%）”各列表示与之对应的百分比变化情况。

由表3，当需求随时间逐渐增大，即b＞0时：

（1）有限时域内的最优周期数（n*）随着有限时域（H）、基本需求（a）和需求对时间的灵敏度（b）的减小而减小；而随着价格对需求的影响度（｜c｜）以及产品的变质率（θ）的减小而增加。又因为a和b的减小都会使需求下降，而｜c｜的减小弱化了价格对需求的影响，相对而言增加了产品的需求，可见，最优周期个数随着需求的增加而增加、随着需求的减小而减小。

（2）最优服务水平r*和最优定价p*对参数a、c和θ的取值变化比较敏感。

表3 需求随时间增大模式下的最优解灵敏度分析(b＞0)

表4 需求随时间减小模式下的最优解灵敏度分析(b＜0)

（3）当基本需求（a）增加50%时，最优服务水平（r*）下降11%，而最优定价（p*）增加26%并且系统平均利润（AP*）增加96%；当基本需求（a）减少50%时，最优服务水平（r*）需提升8%，而最优定价（p*）需降低21%，同时系统平均利润（AP*）也将下降73%。这说明需求的变化对系统采取的策略有重要影响，当需求较大时可以适当降低对服务水平的要求，提高单位定价来追求更高的边际收益，从而获得更多的利润；当需求较小时要通过降低价格和提升服务水平来吸引并留住顾客，从而增加收益。

（4）当价格对需求的影响度（｜c｜）增加50%时，最优服务水平（r*）增加8%，最优定价（p*）降低21%，同时系统平均利润（AP*）也减少32%；而当｜c｜减少50%时，最优服务水平（r*）将降低15%，最优定价（p*）增加32%，此时系统平均利润（AP*）增加59%。与现实情况相符，当系统的定价对需求的影响较大时，系统将采取提升服务水平和降低价格的策略；而当价格对系统需求的影响较小时，系统将通过降低服务水平且提高价格的策略来增加系统利润。

（5）当产品的变质率（θ）增加50%时，最优服务水平（r*）将下降5%，产品的最优定价（p*）提高13%，同时系统平均利润（AP*）将减少26%；反之，当产品的变质率（θ）减少50%时，最优服务水平（r*）将提升8%，产品的最优定价（p*）将需降低21%，而系统的平均利润（AP*）将增加116%。由此可见，产品的变质特性对库存和定价策略将产生重要的影响，并在很大程度上影响着系统的利润。对于高变质性产品来说，系统可通过降低服务水平即延长缺货时间来减少在库产品的数量，通过延迟交付策略使产品能够被及时消费，从而减少由变质带来的损失；同时也可以通过提高产品价格来补偿对持有高变质产品的风险及机会成本。对于变质率比较小的产品而言，系统应采取的最优策略是通过提高顾客的服务水平和降低产品价格尽可能地吸引更多的顾客，从而增加系统收益。

由表4，当需求随着时间的变化逐渐减小，即b＜0时：

（1）最优服务水平r*、最优定价p*以及平均利润AP*对参数a和c的取值变化表现敏感，并且与b＞0时的变化情况相似。

（2）当参数b和θ的取值发生变化时，最优服务水平r*、最优定价p*以及平均利润AP*的变化都不灵敏，这与b＞0时的情况不同。也就是说，当产品的需求随着时间的变化逐渐减小时（比如时令性很强的服装在季末销售时），变质率对系统的最优策略影响不大。

此外，对比分析表3和表4中的对应数据，得到下面的结论：

（1）随着有限时域的延长，当需求随时间增大时，最优服务水平逐渐提升、产品的最优定价逐渐降低、系统的平均利润逐渐增加；而当需求随时间减小时，最优服务水平逐渐下降、产品的最优定价逐渐提高、系统的平均利润逐渐减少，即随着有限时域的延长，最优服务水平、产品的最优定价和系统的平均利润在两种需求模式下的变化方向恰好相反。另外，比较两种需求模式下对应结果的灵敏度发现：对有限时域的变化，两种模式下的最优定价均表现出不敏感，最优服务水平的变化在b＜0的情况下比b＞0时敏感，与之相反，平均利润的变化在b＞0的情况下比b＜0时敏感。

（2）当产品的有限时域较短时，需求随时间减小模式下的最优定价要低于需求随时间增大模式下的定价，也就是说对于某类有限时域或销售时期较短的产品而言，处于衰退期的定价要低于成长期的定价。满足此类定价模式的产品有手机、电脑、MP3/ MP4等技术更新较快的IT类产品。当有限时域比较长时，需求随时间减小的模式下产品的最优定价要高于需求随时间增大的模式。这也说明当产品处于成长期时，要通过较低的定价来获得更多的需求，从而增加收益；而当产品处于衰退期或在销售季末时，最优的策略是采取较高的定价来增加单位产品的收益。在现实生活中也存在适用此类定价模式的相应产品，如水果、蔬菜等时令性很强的产品或以这些产品为原材料生产的其它产品，随着季节的来临需求不断增加，同时市场上产品的价格也相对较低，但当处于销售季末或过季时，需求不断减小同时市场价格却有所提高。

（3）当产品的变质率较大时，需求随时间减小模式下的定价要低于需求随时间增大模式下的定价；而当产品的变质率较小时，却是需求随时间减小模式下的定价高于需求随时间增大模式下的定价。换句话说，对于高变质类产品，如果处于销售季末或生命周期末，系统的最优定价是采取比销售季初或生命周期初时低的价格，以便吸引更多的需求、尽早减少持有库存，从而降低由变质带来的损失；对于低变质性产品（或极端情况下的不发生变质的产品），销售季末的最优定价要比季节初时的定价更高一点。

7 结语

在产品的销售周期越来越短和变质越来越常见的市场背景下，本文考虑了一个有限时域内变质产品的生产-定价问题，假设需求与时间和销售价格均线性相关，允许缺货且部分延迟订购，在此基础上构建模型并通过数值方法给出特定参数条件下模型的最优解。此外，在算例中，考虑了需求随时间增大和减小两种不同的需求模式，并分别对这两种模式下参数的灵敏度进行了分析和比较，我们发现需求模式的不同对有限时域内的最优生产策略及系统收益有较大影响。生产商可据此在不同的市场环境下调整自己的策略，当市场需求随时间增大时（如处于成长期的产品），可采用小批量多批次的生产方式，根据市场需求的变化灵活地决定每次的生产量；当市场需求随时间减小时（如处于衰退期的产品），建议生产商安排较少的生产周期，同时增大每次的生产量，即大批量小批次，由此可以减少由机器启动带来的生产准备成本。此外，对于不同性质的产品其定价策略在不同需求模式下也各有不同。与产品处于成长期或销售季节开始时相比较，如果某类产品的有限时域较短或变质率比较大，则在衰退期或销售季末应采用降价的策略来消除库存、减少损失；相反，如果产品的有限时域较长或变质率不大，则在衰退期或销售季末可通过适当提升产品价格来增加边际收益。

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A Production-pricing Strategy for Deteriorating Items with Partial Backlogging Over a Finite Horizon

DUAN Yong-rui，LI Gui-ping，HUO Jia-zhen
（School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092，China）

With the development of science and technology，the upgrade rate of products is faster than ever，and the trend of popularity varies continuously.All of these lead to the shorter sales period and production planning horizon.In addition，more and more products are possessed of the characteristic of perishability and limited lifetime.Therefore，the influence of the sales period and perishability of the products on the production planning and pricing cannot be neglected anymore.The issue of joint production planning and pricing decision for perishable items over a finite horizon is studied in this paper.The finite horizon，H，is divided into several cycles with the same interval，and the length of each cycle is H/n.The production rate，R and the deterioration rate，θ，are constants.The demand rate of the products denoted by D（t，p）is dependent on time and price linearly，and D（t，p）=a+bt+cp（a≥0，b≠0，c＜0）.The unsatisfied demand is partially backlogged，and the backlogging rate B（τ）=K0e-K1τ，＜1，k1≥0.The aim of this paper is to find a joint production and pricing policy maximizing the average profit over the finite horizon.The Box complex algorithm is presented to obtain the optimal solution of the proposed model.To illustrate the effectiveness of the model and algorithm，some numerical examples are presented and two demand patterns are considered respectively：the demand is increasing or decreasing over time.The optimal production and pricing policies in the two situations are developed through the Box complex algorithm.It is indicated that for products in the growth stage or at the beginning of sales season，the system should adopt the‘low-volume multi-batch'mode of production.However，for products in the decline stage or at the end of the sales season，‘multi-volume small batch'mode of production is preferred.In addition，the pricing strategies for products with different characteristics and demand patterns are different.For products with shorter sale horizon or higher deterioration rate，the price in the decline stage or at the end of the sales season is lower than that in the growth stage or at the beginning of sales season；however，for products with longer horizon or lower deterioration rate，the price in the decline stage or at the end of the sales season is higher than that in the growth stage or at the beginning of sales season.The model and algorithm addressed in this paper can be used to help making joint decision of production planning and pricing for enterprise producing perishable items.

finite horizon；deteriorating items；partial backlogging；production；pricing

F273.2

：A

1003-207(2014)01-0094-10

2012-02-26；

2013-01-18

国家自然科学基金资助项目（71002020，71371139）；上海浦江人才计划（12PJC069）；中央高校基本科研业务费专项资金

段永瑞（1975-），女（汉族），山西太原人，同济大学经济与管理学院，副教授，研究方向：供应链管理、服务运作管理.