例谈解答题得分策略

解答题作为中考数学试题的一种形式，有其独特的作用，它既可以考查同学们对数学基本知识、基本技能的掌握情况，还能体现同学们对数学思想方法的领悟程度. 解答题的答题过程比结论更重要，解答过程要写得层次分明、结构完整. 答题过程中的一些技巧也是不容忽视的，最基本的技巧之一就是踩点得分. 下面结合近几年与二次函数有关的考题予以分析.

例1 （2013·山东日照）如图1，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.

（1） 求抛物线的解析式和直线BD的解析式；

（2） 过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

【考点】本题考查待定系数法、平行四边形的性质和一元二次方程的解法，解题的关键是用a表示F的坐标，数形结合是解决本题的重要方法.

【分析】（1） 已知A（-3，0）、D（-2，-3）两点的坐标，运用待定系数法可求出抛物线解析式，然后解方程求出B点的坐标，再求直线的解析式，写到这一步就可以得到6分；

（2） 先假设存在实数a使四边形BDFE是平行四边形，得到DF∥EB，由此用a表示F的坐标，代入二次函数解析式得关于a的一元二次方程，求解检验可得a的值，便可得到满分.

解：（1） y=x2+bx+c过A（-3，0）、D（-2，-3）两点，得9-3b+c=0，

4-2b+c=-3.解得b=2，

c=-3.

∴y=x2+2x-3.（3分）

由x2+2x-3=0，得：x1=-3，x2=1，

∴B的坐标是（1，0）.

设直线BD的解析式为y=kx+b，则k+b=0，

-2k+b=-3.解得k=1，

b=-1.

∴直线BD的解析式为y=x-1. （6分）

（2） 假设存在实数a使四边形BDFE是平行四边形，得到DF∥BE，且DF=BE.

∵E点在B的右侧，∴BE=a-1即DF=a-1，

又∵D点的坐标为（-2，-3），

∴F（-2+a-1，-3），即F（a-3，-3）. （7分）

把F（a-3，-3）代入到y=x2+2x-3，

（a-3）2+2（a-3）-3=-3解得：a1=1，a2=3. （9分）

当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，故舍去；∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意.

∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形. （10分）

例2 （2012·贵州毕节）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元. 设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润在x的取值范围内为y元.

（1） 求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2） 每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

（3） 每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1 920元？

【考点】本题是关于二次函数应用的利润问题，得到月销售量是解决本题的突破点，注意结合自变量的取值求得相应的售价.

【分析】（1） 销售利润=每件商品的利润×月销售量，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值，可得3分；

（2） 利用公式法结合（1）得到的函数解析式求二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可得6分；

（3） 令（1）中的y=1 920求得合适的x的值即可得3分.

解：（1） y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1 800（0≤x≤5，且x为整数）. （3分）

（2） 当x=-=-=4时，y最大=1 960元，∴每件商品的售价为34元. （9分）

（3） 1 920=-10x2+80x+1 800，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2.

∴售价为32元时，利润为1 920元. （12分）

例3 （2011·江苏徐州）如图2，已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为点C（1，-2）.

（1） 求此函数的表达式；

（2） 作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D. 若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3） 在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.

【考点】本题考查了二次函数、菱形的性质以及相似三角形的性质等知识.

【分析】（1） 因为a=1且顶点坐标为（1，-2），由顶点式可以直接写出函数关系式，可得2分.

（2） 因为菱形是中心对称图形，过对称中心的任一条直线把菱形分成面积相等的两部分，求出菱形对称中心M的坐标，得出直线PM的解析式，结合二次函数解析式求出E点坐标，得5分.

（3） 先假设存在F，然后根据三角形相似求出F的坐标，得3分，最后根据F点的坐标求出三角形的面积即得满分.

解：（1） ∵y=x2+bx+c的顶点为（1，-2），

∴y=（x-1）2-2，y=x2-2x-1. （2分）

（2） 存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形. 设直线PE对应的函数关系式为y=kx+b. 由题意得，四边形ACBD是菱形. 故直线PE必经过菱形ACBD的对称中心M. （4分）

由P（0，-1），M（1，0），得b=-1，

k+b=0.

从而y=x-1，设E（x，x-1），代入y=x2-2x-1，得x-1=x2-2x-1.

解之得x1=0，x2=3，根据题意，得点E（3，2）. （7分）

（3） 假设存在这样的点F，可设F（x，x2-2x-1）.

过点F作FG⊥y轴，垂足为G点.

在△POM和△FGP 中，

∵∠OMP+∠OPM=90 °，∠FPG+∠OPM=90°，∴∠OMP=∠FPG.

又∵∠POM=∠PGF，

∴△POM～△FGP.

∴=.

又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即-1-（x2-2x-1）=x，解得x1=0，x2=1. 根据题意得F（1，-2）. （10分）

S△PEF=S△MFP+S△MFE=×2×1+×2×2=3.（12分）

综上可见，在做解答题时如果遇到一个很困难的问题，确实“啃不动”，一个聪明的解题策略是：将它分解为一系列的小问题，先解决每个小问题，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，特别针对那些层次明显的题目，每完成一步都可以得分，最后结论即使未得出，得分也已过半.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）