紧扣考点巧复习

反比例函数是近几年中考的重点和热点问题之一，下面就对2013年中考试卷和模拟卷中出现的有关反比例函数的几类考点加以说明.

考点一 反比例函数的概念

例1 （2013·贵州安顺）若y=（a+1）xa2-2是反比例函数，则a的取值为（ ）.

A. 1 B. -1

C. ±1 D. 任意实数

【分析】此题考查的是反比例函数的定义. y=，k≠0，x的次数为“-1”，列出方程，求出a的值.

解：∵y=（a+1）xa2-2是反比例函数，

∴a2-2=-1，a=±1，又a+1≠0，∴a≠-1，∴a=1. 选A.

【点评】紧扣概念，牢记反比例函数的三种形式：y=（k≠0）、xy=k（k≠0）、y=kx-1（k≠0），此类问题常以填空、选择题的形式出现，解题时要特别注意k≠0.

考点二 反比例函数的图像和性质

例2 （2013·南京溧水区一模）在反比例函数y=（k<0）的图像上有两点（-1，y1），

-，y2，则y1-y2的值是（ ）.

A. 负数 B. 非正数

C. 正数 D. 不能确定

【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，可结合函数图像的增减性解决问题. 因为y=（k<0）的图像位于第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，由题目所给的条件可知两点均在第二象限，所以只需比较x的大小就能得出y的大小，进而判断出y1-y2的正负.

解：由于反比例函数的图像位于二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大. 两点（-1，y1），

-，y2均在第二象限，且-1<-，∴y1

例3 （2013·江苏南京）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y=的图像没有公共点，则（ ）.

A. k1+k2<0 B. k1+k2>0

C. k1k2<0 D. k1k2>0

【分析】本题是关于正比例函数与反比例函数图像性质的简单应用，根据它们图像的分布可知：①当k>0时，正比例函数和反比例函数的图像都过一、三象限，有两个交点；②当k<0时，正比例函数和反比例函数的图像都过二、四象限，有两个交点. 又因为本题中两函数图像没有交点，可知k1和k2异号，所以选择C.

考点三 反比例函数解析式的确定

例4 （2013·内蒙古赤峰）如图1，在平面直角坐标系中，☉O的半径为1，∠BOA=45°，则过点A的双曲线的解析式是____________.

【分析】要确定反比例函数的解析式，只需知道一个点的坐标. 由于点A在双曲线上，所以求出A点坐标是解决本题的关键. 要想求出A点坐标，只需过点A向x轴作垂线构造一直角三角形，再用勾股定理便可求出其坐标.

解：设反比例函数解析式为y=（k≠0），过A作AC垂直于x轴，垂足为C，☉O的半径为1，OA=1，在Rt△OAC中，OA=1，∠BOA=45°，∴OC=AC，由勾股定理可求出OC=AC=，∴A

，，代入可得k=，∴y=.

【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法是中学阶段求解析式的常用方法，也是重点考查内容之一. 解答此题需运用“反比例函数图像上点的坐标特征”（点在反比例函数的图像上，则点的坐标就满足反比例函数的解析式）这一知识点.

考点四 反比例函数中k的几何意义

例5 （2013·湖南永州）如图2，两个反比例函数y=、y=在第一象限内的图像分别是C1、C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为______.

【分析】根据反比例函数中k的几何意义，得△POA和△BOA的面积分别为2和1，所以阴影部分的面积为1.

【点评】本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积为S=k；图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=k，解此类题一定要正确理解k的几何意义.

考点五 反比例函数的综合应用

例6 （2013·广西钦州）如图3，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像交于A（-2，m）、B（4，-2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D.

（1） 求这两个函数的解析式；

（2） 求△ADC的面积.

【分析】本题是有关一次函数与反比例函数的交点问题，因为反比例函数过A、B两点，所以代入两点可求其解析式和m的值，从而知A点坐标，由A、B两点进而求一次函数解析式，从而求出C点的坐标，接着就能求出三角形的面积.

解：（1） ∵反比例函数y=的图像过点B（4，-2），∴k=xy=-8.

∵反比例函数y=的图像过点A（-2，m），∴-8=-2m，m=4，即A（-2，4）.

∵一次函数y=ax+b的图像过A（-2，4），B（4，-2）两点，

∴一次函数的解析式为y=-x+2.

（2） ∵直线AB：y=-x+2交x轴于点C，

∴C（2，0）. ∵AD⊥x轴于D，A（-2，4），

∴CD=2-（-2）=4，AD=4，

∴S△ADC=·CD·AD=×4×4=8.

（作者单位：江苏省丰县中学）