解方程（组）中的常见错误例析
2014-04-29曹洪
下面是同学们在完成中考试题类编——方程（组）中的错误，你出现过这些错误吗？希望你能从这些错误中汲取经验教训，提高免疫力，避免出现类似错误.
一、 审题不细
例1 （2012·湖北天门）关于x的方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根为0，则m的值为（ ）.
A. 1 B. -1
C. 1或-1 D. 0.5
【错解】将x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-1=0得：m2-1=0，解得m=1或m=-1，又m-1≠0，所以m≠1，因此m的值为-1，选B.
【分析】题目中没有讲这个方程是一元二次方程，所以m-1可以为0. 事实上，m=1时，方程为x=0，它有一根为0，满足要求，因此m的值为1或-1，选C.
【点评】方程ax2+bx+c=0不一定是一元二次方程，因此遇到这类问题常常需要分类讨论.
二、 忘记检验
例2 （2013·四川绵阳）解方程：
-1=.
【错解】原方程可化为 = ，所以方程的最简公分母为（x+2）（x-1），去分母得：x+2=3，解得：x=1. 所以原方程的解为x=1.
【分析】错解忘记了检验，当x=1时，x-1=0，x2+x-2=0，所以x=1是增根，原分式方程无解.
【点评】解分式方程的基本思想是“转化”，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解. 但转化时有可能产生增根，所以解分式方程一定要验根.
三、 思考不周
例3 （2013·山西）解方程：
（2x-1）2=x（3x+2）-7.
【错解】原方程可化为4x2-4x+1=3x2+2x-7，∴x2-6x+8=0，∴（x-3）2=1，∴x-3=1，∴x=4.
【分析】一个正数的平方根有两个，因此由直接开平方法得：x-3=±1，∴x1=2，x2=4. 方程的解为x1=2，x2=4.
【点评】用直接开平方法解方程时，要注意正数的平方根有两个；用因式分解法解方程不能在方程的两边同时除以含未知数的代数式，否则会失根；增根易剔除，失根难寻找.
四、 概念不清
例4 （2013·四川泸州）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）.
A. k>-1 B. k<1且k≠0
C. k≥-1且k≠0D. k>-1且k≠0
【错解】由方程有两个不相等的实数根，有Δ>0，即（-2）2-4×k×（-1）>0，解得k>-1，选A.
【分析】由方程kx2-2x-1=0是关于x的一元二次方程，必须有k≠0，结合k>-1，有k>-1且k≠0，选D.
【点评】在应用根的判别式解题时一定要注意其使用的前提条件是二次项不能为0.
五、 半途而废
例5 （2012·山东威海）关于x的一元二次方程x2-mx+（m-2）=0的根的情况是（ ）.
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无法确定
【错解】因为Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8，当m的值变化时，m2-4m+8的值也在变化，所以它的根的情况无法确定，选D.
【分析】当m的值变化时，m2-4m+8的值也在变化，但这个值的变化范围是可确定的，从而可确定Δ的正负性，进而判断出方程根的情况. 事实上，m2-4m+8=m2-4m+4+4=（m-2）2+4>0，所以方程有两个不相等的实数根，选A.
【点评】当判别式是含字母的代数式时，要善于应用配方法变形为（ ）2+正数或
-（ ）2-正数的形式，以便于对其正负性作出判定.
六、 忽视隐含
例6 （2013·黑龙江龙东）已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（ ）.
A. a≤-1 B. a≤-2
C. a≤1且a≠-2D. a≤-1且a≠-2
【错解】在方程=1的两边同乘x+1得，a+2=x+1，x=a+1. 又方程的解为非正数，所以a+1≤0，解得a≤-1，选A.
【分析】这是一个分式方程，因此题目隐含着条件分母x+1≠0，即x≠-1，所以a+1≠-1，即a≠-2. 所以a的取值范围是a≤-1且a≠-2，选D.
【点评】对于含字母系数的分式方程，一定要注意排除使方程分母为0的字母取值.
七、 理解不当
例7 （2013·湖南郴州）乌梅是郴州的特色时令水果. 乌梅一上市，水果店的小李就用3 000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150 kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不太好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获得750元. 求小李所进乌梅的数量.
【错解】设小李所进乌梅的数量为x kg，则可列方程×40%×150+×20%×（x-150）=750.
解得x=600. 经检验x=600是方程的解.
答：小李所进乌梅的数量为600 kg.
【分析】错解对“低于进价的20%的价格全部售出”的含义即是亏本理解不当，而误用“+”来连接，正确的应该用符号“-”来连接，得到的方程应该是：
×40%×150-×20%×（x-150）=750.
解得x=200，经检验x=200是方程的解.
答：小李所进乌梅的数量是200 kg.
【点评】利用方程解应用题，审题是关键，不仅要找出已知、未知，而且要正确找出数量关系，做到正确解题.
八、 缺少分类
例8 （2013·黑龙江龙东）李明组织大学同学一起去观看电影，票价每张60元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了1 200元，他们共买了_______张电影票.
【错解】设他们一共买了x张电影票，则有80%×60x=1 200，解得x =25. 所以填“25”.
【分析】本题中的等量关系是：票价×张数=1 200元（张数≤20）；票价×张数×80%=1 200元（张数>20）. 应该根据这两个等量关系分别列出方程进行求解. 错解遗漏了前者. 正确解法是：设他们一共买了x张电影票，则①60x=1 200（x≤20），解得x=20；②80%×60x=1 200（x>20），解得x=25. 均符合题意，所以他们共买了20或25张电影票.
【点评】对于数量关系不唯一的问题，要注意分类思考，全面求解.
九、 忽视要求
例9 （2013·江苏淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元. 按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？
【错解】因为10件服装的售价为80×10=800（元）<1 200元，所以小丽买的服装数大于10件. 设小丽购买了x件这种服装，则超过的服装为（x-10）件，又多于10件后每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，所以实际单价为[80-2（x-10）]元，根据题意得：x[80-2（x-10）]=1 200，解得x1=20，x2=30.
答：小丽购买了20件或30件这种服装.
【分析】当x1=20时，每件售价为80-2（20-10）=60（元）>50元，符合题意；当x2=30时，每件售价为80-2（30-10）=40（元）<50元，不符合题意，应舍去. ∴x=20. 即小丽购买了20件这种服装.
【点评】在运用方程解决实际问题时，一定要重视问题的具体要求，正确进行取舍.
十、 人为编造
例10 （江苏南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克. 为了促销，该经营户决定降价销售. 经调查发现，这种小型西瓜每降价0. 1元/千克，每天可多售出40千克. 另外，每天的房租等固定成本共24元. 该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
【错解】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元. 根据题意，得（3-2-x）
200+-24=200. 解得x1=0.2，x2=0.3（舍去，因为降价越少越好）.
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元.
【分析】错解认为题目中有两个解，必须舍去一个，人为编造了“降价越少越好”的理由来对根进行取舍. 事实上，由方程得到的两个解都符合要求，所以答案为“应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元”.
【点评】解题中切不可人为添加条件.
练习
1. （2013·甘肃兰州）若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_____________.
2. （2013·四川绵阳）已知整数k<5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0，则△ABC的周长是______.
3. （2013·山东临沂）对于实数a、b，定义运算“×”：a×b=a2-ab（a≥b），
ab-b2（a
参考答案：
1. k≤4且k≠0 2. 10、6或12
3. 3或-3
（作者单位：江苏省兴化市楚水初级中学）
