从一道课本习题的解法谈代数式值的求法

苏科版义务教育教科书《数学》七年级上册第92页有这样一道习题：

已知：t=-，求代数式2（t2-t-1）-（t2-t-1）+3（t2-t-1）的值.

【分析】所谓求代数式的值，就是用具体的数值代替代数式中的字母，计算所得的结果. 因此，我们可以先对代数式进行化简，再将t=-代入其中进行求值.

原式=2t2-2t-2-t2+t+1+3t2-3t-3

=4t2-4t-4.

当t=-时，原式=4×

-2-4×

--4=-1.

观察代数式的整体特征，不难发现其中具有的相同项“t2-t-1”，因此，不妨将“t2-t-1”看成是一个整体，设a=t2-t-1，则

原式=2a-a+3a=4a.

当t=-时，a=t2-t-1=

-2-

--1=-，所以，原式=4a=4×

-=-1.

综上两种解法，我们可以发现：第一种方法是求代数式的值的通法，对于求任何一个代数式的值均可行；第二种解法从代数式的整体特征入手，聚“部分”为“整体”，较第一种解法更灵活、简捷，充分体现了数学的整体思想. 因此，在求代数式值的时候，需要从代数式本身和整体着眼，灵活选择恰当的方法进行求解. 现以2013年中考试题为例加以说明，供同学们复习参考.

一、 整体代入的思想

例1 （2013·辽宁沈阳）如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值是______.

【分析】因为x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，所以有2a+3b+4=5，即2a+3b=1，所以x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值为-2a-3b+4=-（2a+3b）+4=3. 故填3.

【点评】本题没有去寻求待定系数a、b的值，而根据x=1时代数式的值是5得到a、b之间的数量关系，并把它们的数量关系式看成是一个整体，求得x=-1时代数式的值.

二、 因式分解后的整体思想

例2 （2013·山东威海）若m-n=-1，则（m-n）2-2m+2n的值是（ ）.

A. 3 B. 2

C. 1 D. -1

【分析】观察代数式（m-n）2-2m+2n，不难发现其中具有共同的项“m-n”，因此可以将（m-n）2-2m+2n化成（m-n）2-2（m-n）= （m-n）（m-n-2），从而可以得到代数式的值为3. 故选A.

【点评】本题要求同学们能够灵活地对所求代数式进行因式分解，并把（m-n）看成是一个整体，进而求得代数式的值.

三、 整式化简后的整体思想

例3 （2013·北京）已知x2-4x-1=0，求代数式（2x-3）2-（x+y）（x-y）-y2的值.

【分析】如果先解一元二次方程，那么所得的解是无理数. 再将所得解代入代数式中，解题过程会非常繁琐. 不妨先对代数式进行化简，再对条件进行适当变形后求代数式的值.

解：原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2

=3x2-12x+9

=3（x2-4x+3）.

∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，

∴ 原式=3×（1+3） =12.

【点评】本题解法灵活，没有急于求得一元二次方程的解，而是先化简代数式再作出决定——将条件“x2-4x-1=0”变形为“x2-4x=1”，从而实现整体代入求值.

四、 分式化简后的整体思想

例4 （2013·山东枣庄）化简，再求值：

÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化简得原式=，将m代入原方程可得m2+3m=1，然后整体代入即可，本题不适合求根后再代入.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1，

∴所求式=÷

=×

===.

【点评】以一元二次方程为条件的分式求值问题，需要根据化简后的代数式与方程变形后的代数式，寻找内在的联系并应用恰当的方法求解.

例5 （2013·贵州遵义）已知实数a满足a2+2a-15=0，求-÷的值.

【分析】本题可以先求得方程的解，再代入分式化简后的代数式中求值，也可以对方程进行适当变形再求值.

解：方法1：

原式=-·

=-=.

∵a2+2a-15=0，∴a1=-5，a2=3，

当a=3时，原式=；

当a=-5时，原式=.

∴ 原式的值为.

方法2：（同方法1）原式=.

∵a2+2a-15=0，

∴a2+2a+1=16，

∴（a+1）2=16，

∴原式==.

【点评】遇到分式求值问题时，一般都要先对分式进行化简，再将字母取值代入求值. 取值时应注意所取字母的值要保证解题过程中出现的所有的分式都有意义. 我们还可以将所给代数式进行适当的变形，使其变形成条件中含有的代数式，再利用整体代入的思想进行求值运算.

（作者单位：江苏省建湖县实验初中教育集团）