代数学的产生

在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数.

代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的. 至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了. 比如，如果你认为“代数学”是指解bx+k=0这类用符号表示的方程的技巧， 那么，这种“代数学”是在16世纪才发展起来的.

如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代. 西方人将公元前3世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖. 而在中国，用文字来表达的代数问题出现得就更早了. 秦汉时期，天文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知道了一些方程的解法. 约公元50年成书的《九章算术》，是中国流传至今最古老的一部数学专著. 在这本书中已经使用了“方程”这个名词，并且出现了解一元一次方程和一元二次方程等许多代数问题. 之后，东汉末年至三国时代的赵爽研究了二次方程的求根问题，他还研究了根与系数的关系，得到了和一元二次方程的求根公式以及与“韦达定理”相似的结果.南北朝时期的数学家张丘建在《张丘建算经》一书中给出了一个用文字写出的方程. 在以后的各个朝代中，中国数学家对方程的研究都有过重要贡献，例如唐朝王孝通、张遂，北宋时期的贾宪、刘益，南宋时期的秦九韶等，他们对方程的解法或有所改进，或有所创新.

但是，如何去表示一个方程却一直是个难题，因为用字母代替未知数，用符号表示代数式这种方法自创立至今也不过400年的历史. 在这之前都是用文字叙述的，为了简明地列出方程，古人们想了许多改进办法. 公元11世纪至12世纪，中国产生了“天元术”，公元13世纪数学家李冶将其整理、简化. 李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式，在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高次幂在上低次幂在下排列，还可将两个天元式相减进行“同数相消”. 天元术已有现代列方程记法的雏形，现代史学家称它为半符号代数. 用“元”代表未知数的说法，一直沿用到现在.

公元820年左右，阿拉伯数学家花拉子模从印度回国后著《代数学》一书. 该书提出的方程论被规定为代数学的研究对象，方程的概念也明确起来，书中第一次明确提出了二次方程的一般解法，同时，还提出了“移项”、“合并同类项”等方法. 以后，方程的解法被作为代数的基本特征长期保留下来. 从此，诞生了花拉子模的代数学.

“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年. 那年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人德摩根所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》. 当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如前面提到的《九章算术》中就有方程问题.

初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上，研究方法是高度计算性的.

要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程. 所以初等代数的一个重要内容就是代数式. 由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式. 代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算. 通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算.

在初等代数的产生和发展的过程中，解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零. 这是初等代数的又一重要内容，即数的概念的扩充.

有了有理数，初等代数能解决的问题就大大扩充了. 但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解. 于是，数的概念再一次扩充到了实数，进而又扩充到了复数.

那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们说：不用了. 这就是代数里的一个著名的定理——代数基本定理. 这个定理简单地说就是n次方程有n个根. 1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来德国数学家高斯在1799年给出了严格的证明.

（作者单位：江苏省南京市第五十中学）