例析“用字母表示数”中的数学思想方法

数学学习的根本在于透彻理解普遍的原理，并在以后的学习、生活乃至工作实践中加以运用，这些原理方法就是数学思想方法. 《用字母表示数》这一学习内容除了有同学们熟悉的“用字母表示数”、“从特殊到一般、一般到特殊”、“数形结合”、“分类讨论”、“转化的思想方法”、“归纳的思想方法”外，还蕴含以下三种数学思想，现结合具体问题加以分析.

一、 符号化思想

引入字母表示数，是从算术进入代数的重要标志之一，正确理解用字母表示数的意义，是学好数学基础知识的基本要求，也是认识上的一个转折点.

问题1 扑克牌游戏中，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：

第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；

第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；

第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；

第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.

这时，小明能准确说出中间一堆牌现有的张数，你能揭开其中的奥秘吗？

【分析】本题中的每一步其实都是数量关系的变化，为了看清这个变化，我们可用符号化的思想，以“用字母代替数”的方法来揭开小明获胜的奥秘.

设原来的每堆牌有x张，上述问题可通过列表得到：

从表中可以看出中间一堆现有的张数为（x+2+1）-（x-2）=5. 这个结果与小亮第一步分发的各堆牌的张数无关，所以不管小亮第一步发多少牌，按照小明的游戏规则，小明都能获胜，这就是知识的力量，这更是数学思想的力量.

二、 “变量”与“常量”的思想

“变量”与“常量”的思想是指在一变化的过程中，提炼出一些“变量”与“常量”，用“变量”与“常量”的思想从几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律和性质.

问题2 如图1，搭1条小鱼需要8根火柴，每多搭1条小鱼就要增加6根火柴，那么搭n条小鱼所需火柴的根数s有何规律？

【分析】用火柴棒搭小鱼是同学们较为熟悉而且有趣的一个情境，在小学已经接触过该问题，在“苏科版”七（上）第三章“用字母表示数”的“章头图”中再次出现，解决该问题有多种方法. 其中，应用“常量”与“变量”的思想来研究该问题就是一种很好的方法. 在这个变化过程中，尽管火柴棒的总根数随着小鱼条数的变化而变化，但是，小鱼的“鱼尾”部分所需的火柴根数“2”没变，因此它是常量；而小鱼的条数n、所需火柴的根数s是变量，在此基础上可得到，每增加一个“鱼身”，就需要6根火柴，则搭n条小鱼所需火柴的根数s为：s=6n+2. 事实上运用“常量”与“变量”的思想，是解决在图形中寻求规律问题的通性通法，用这种方法去解决问题，能使我们看清问题的本质.

三、 整体思想

所谓整体思想，就是解决某些数学问题时，不是“一叶障目”，而是有意识地放大考虑问题的“视角”，从大处着眼，由整体入手，通过细心观察和深入分析，找出整体与局部之间的联系，从而在宏观上寻求解决问题的途径.

例如，在整式的加减运算或求代数式的值时，若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把一些联系较为紧密的代数式作为一个整体来处理，常常能收到事半功倍之效.

问题3 若代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x-3的值为多少？

【分析】如果由条件先求出x的值，再代入2x2+2x-3中计算，对于七年级的同学来说，那是不可能的，即无法进行运算. 如果我们能从题目大局出发，由条件x2+x+3=7，得到x2+x=4，再将x2+x=4代入2x2+2x-3求值，将会十分便捷. 即2x2+2x-3=2（x2+x）-3=2×4-3=5. 上述将x2+x作为一个整体代入求值的方法，就是通常所说的用整体思想解决问题的思维策略.

以上对三种数学思想方法作了探讨分析，希望能帮助同学们认识数学的本质，并发展数学思考的能力.

（作者单位：江苏省南京市宁海中学分校）