感悟“有理数”中的数学思想方法

掌握数学思想方法可以使数学知识更易于理解和记忆，更重要的是，领会数学思想方法有助于形成知识迁移. 下面结合具体例题，帮助同学们梳理《有理数》这一章中常见的思想方法.

一、 抽象思想

让我们以数轴为例来帮助同学们感受“抽象”.

如图1，温度计对大家来说都很熟悉.

我们很容易将“温度计”进一步抽象，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（如图2）.

由此可知，数轴是一条特殊的直线，注意，它还要满足以下要求：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.

画数轴的技术处理：

（1） 画直线、定原点：通常原点选在直线中间，若问题中负数的个数较多时，原点选得靠右些；正数的个数较多时，原点选得靠左些.

（2） 定方向：通常取原点向右的方向为正方向.

（3） 定单位长度：选取适当的长度（如0.5 cm）为单位长度，若要在数轴上表示0.000 1和-0.000 4，则可取一个单位长度为0.000 1；在数轴上表示3 000与-4 000，则可规定一个单位长度为1 000.

（4） 标数：在数轴上依次标出1，2，3，4，

-1，-2，-3，-4等各点.

二、 转化思想

所谓转化思想，就是将所要解决的问题转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题. 具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题.

有理数的各种运算须先确定符号再计算绝对值，而符号确定以后，绝对值的计算就是小学已经学过的问题. 例如：计算-2+3= +（3-2）；（-3）×2×（-4）×

-=-

3×2×4×. 这里“3-2”和“3×2×4×”就是小学学过的减法和乘法运算.

再比如，有理数的减法运算可转化为加法运算，除法运算可转化为乘法运算. 这就是说，有理数运算的关键是熟练掌握运算法则，准确地确定符号，有理数运算的实质是运用法则将其转化为小学学过的加、减、乘、除运算. 更彻底一点说，所有运算追根究底都是加法运算，而加法的本质是自然数的性质（逐次加1，即1+1=2，2+1=3，……）.

三、 分类讨论

在《有理数》一章中研究相反数、绝对值、有理数乘方运算的符号法则等，都是将有理数分成正数、负数、零三类分别研究的. 分类必须遵循下列两条原则：（1） 每一次分类要按照同一标准进行；（2） 分类要做到不重复、不遗漏. 例如，把有理数分为正数和负数两类就错了，错误原因是漏掉了零. 再如：

若a，b均为整数，且满足a=5，b=3，求a+b的值.

在这个问题中，根据绝对值的定义，a可取两个值±5，b也可取两个值±3. a=5时，b可以是±3，同理a=-5时，b也可以是 ±3，所以共有四种情况：

当a=5，b=3时，a+b=8；

当a=5，b=-3时，a+b=2；

当a=-5，b=3时，a+b=-2；

当a=-5，b=-3时，a+b=-8.

（作者单位：江苏省海门市东洲中学）