伴随矩阵的秩

王春鸽

【摘要】本文研究了矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系，得出结论并给出应用.

【关键词】矩阵；伴随矩阵；秩

在线性代数中，为讨论逆矩阵及其求法，引进了伴随矩阵的概念.本文对n阶矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系进行了研究，得出了问题的结论，并利用结论使一些伴随矩阵的秩的计算变得相对简单.

1.伴随矩阵

设A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann，|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵A*=A11A12…A1n

A21A22…A2n

…………

An1An2…Ann 称为矩阵A的伴随矩阵.

2.矩阵的秩

定义1 在m×n矩阵A中，任意取k行k列（1≤k≤m，1≤k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.

定义2 设A为m×n矩阵，如果存在A的r阶子式不为零，而任何r+1阶子式（如果存在的话）皆为零，则称数r为矩阵A的秩，记为r（A）并规定，零矩阵的秩为零.

3.伴随矩阵的秩的结论

设A为n阶矩阵，则有r（A*）=n，r（A）=n

1，r（A）=n-1

0，r（A）

证明 （1）若r（A）=n，则矩阵A可逆，

|A|≠0，|A-1|≠0.

r（A-1）=r（A）=n.

又 ∵A*=|A|A-1，

∴r（A*）=n.

（2）若r（A）=n-1，则A中有n-1阶非零子式，

A*中有非零元素，

r（A*）≥1，

又∵AA*=|A|E，r（A）=n-1，

∴|A|=0，AA*=0，r（A）+r（A*）≤n，r（A*）≤1.

∴r（A*）=1

（3）若r（A）=n-1，则A中所有n-1阶子式均为零，

则A*=0，

r（A）=0.

例1 设A=123

045

006，求r（A*）.

解 A=123

045

006，

|A|=24≠0，

r（A）=3，

r（A*）=3.

例2 设A=1234

2468

0123

0001，求r（A*）.

解 显然矩阵的第一行与第二行成比例，

|A|=0，r（A）<4，

A中有3阶子式248

013

001=2≠0，

r（A）=4-1=3，

r（A*）=1.

例3 设A=1234

2468

36912

0123，求r（A*）.

解 显然矩阵的第一行、第二行、第三行成比例，

r（A）<2，

r（A*）=0.

【参考文献】

[1]吴赣昌.线性代数.北京：中国人民大学出版社.2011.