任何数学问题的解决都不会永远地结束

乔希民 罗俊丽 岳毅蒙

本文是陕西省教育科学“十一五”规划课题（SGH10119）与商洛学院教改项目（12jyjx109）的部分研究成果.

陕西省教育科学“十二五”规划课题（SGH13406），商洛学院教改项目（13jyjx118）

“任何问题都不会永远地结束”是加拿大于1975年创刊著名杂志《Crux Mathematicorum》的问题解答栏的一句名言，也体现了数学问题解决过程的无穷乐趣.本文仅撷取《数学通报》1964年“数学问题解答栏”中的一朵小花，以释笔者1978年上高中时竟无一人正确解答出板报栏征解该问题之疑义，缓解时至今日一直萦系于心头之悔悟.经历三十多年数学问题学习，使我们感悟到数学问题解决过程的无穷乐趣与智慧技能的自然生成，以及思维方式的至善至真至美.

1.一则流行49年的经典数学问题与解答

《数学通报》1964年第1期刊登了雷耀波先生提出的这样一个数学问题：

求方程x+xx2-1=3512（1）

的实数根.

同年第2期给出了供题人的解答（不妨称之为“解法1” ）：

解法1 由原方程可知|x|>1，故可令x=secφ，则x2-1=tanφ，而原方程化为

secφ+secφtanφ=3512， 即 sinφ+cosφsinφcosφ=3512.

两端平方 4（1+sin2φ）sin22φ=1225144，

即1225sin22φ-576sin2φ-576=0，

解得 sin2φ=2425，那么cos2φ=±725.

所以cosφ=1±7252，

即 cosφ=45或cosφ=35.这里，必须取cosφ>0，否则x<0，不适合原方程.

从而secφ=54或53.所以x1=54，x2=53，此即原方程的解.

2.新的探讨

征解问题自《数学通报》1966年第2期《引入新未知数的无理方程》一文引用之后，数以百计的论文、教材或专著都用该问题作为用三角代换法求解无理方程问题的典型范例，就连张奠宙与宋乃庆主编的《中学代数研究》（高等教育出版社，2006年，P74-75） 、叶立军主编《初等数学研究》（华东师范大学出版社，2008年，P111）、程晓亮与刘影主编《初等数学研究》（北京大学出版社，2011年，P83）、李永新与李莉主编的《中学代数研究与教学》（科学出版社，2012年，P82）等仍采用该问题的典型解法，可谓“三角代换法求解无理方程问题”的经典名题，这是无可厚非的.但如果我们的思想方法或思维方式更深入些、更灵活些，还原问题解决的本质，那么就自然地想到无理方程的求解思路是化归为可解的整式方程，或者通过简单换元化成可解的二元方程组等.这样，就不难得到以下7种别解，达赏析数学问题之目的.

解法2（配方法） 依题意知原方程的定义域为 x|1

原方程移项、平方得 x2x2-1=3512-x2，

即 x2=3512-x2x2-3512-x2，

也就是 x2+3512-x2=3512-x2x2.

配方，得x+3512-x2=3512-xx+12-1，

即 3512x-x2+12=372122，

所以 3512x-x2+1=±3712，

由 3512x-x2+1=3712，解得x=54或x=53.

又1

综上所述，原方程的实数解为x=54或x=53.

解法3（换元与配方结合法） 不妨设xx2-1=y，则原方程可化为

x+y=3512，（2）

xx2-1=y.（3）

由式（3），得x2=x2y2-y2.配方有（x+y）2=（xy+1）2-1，并将式（2）代入，得

xy+1=±3712.注意到x>0，y>0，所以xy+1=-3712不合题意，故舍去.

从而有x+y=3512，

xy=2512.

不难求得x=54或x=53.

这就是所求原方程的实数解.

解法4（构造直角三角形） 从题设所给数据观察分析，发现3512=54+53，据此可知，数组3，4，5可构成一直角三角形.如图所示，依三角函数定义有

secB=54，cscB=53.

注意到由题意可知1

解法5 （平方法与换元法） 由题设可知1

11x+11-1x2=3512.

则两边平方得 11x2+11-1x2+21x1-1x2=1225144，

即 11x2（1-1x2）+21x1-1x2=1225144.（2）

不妨设11x1-1x2=y，则方程（2）可化为y2+2y=1225144，

即144y2+288y-1225=0，

解得y=2512或y=-4912（不合题意，故舍去）.

由11x1-1x2=2512，得

144x4-625x2+625=0.

解得x2=2516，x2=259.

由1

解法6（因式分解法） 原方程可化为

（12x2-35x）2-288x2+840x-352=0.（2）

视方程（2）的第1项为（12x2-35x）2，第2项为-288x2+840x，第3项为-352.若要求方程（1）的实数解，则方程（2）可化归成关于x的两个二次方程的积的形式，由于-288x2+840x≠0，所以-352不能写成-35×35.注意到35=5×7，此时将有-352写成-52×72试一试，看是否用十字相乘法得到-288x2+840x，即

-49（12x2-35x）+25（12x2-35x）=-288x2+840x.

这样方程（2）就可化归成

（12x2-35x+25）（12x2-35x-49）=0，

以下同解法2.

解法7的思路（代换关系式法） （主要运用类比归纳的方法，得到了一种一元一、二、三次方程代换关系式求解方法后，自然得到一元四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0）的代换关系式x=y-b4a及根的表示形式来求解.）

原方程可化为144x4-840x3+937x2+840x-1225=0.（2）

作代换关系式x=y+3524，并代入求解关于y的一元三次方程.

以下用最常规方法求解，请有兴趣的读者给出.

解法8的思路（移项、配方法） 原方程可化为

x4-356x3+937144x2+356x-1225144=0.

将937144x2+356x-1225144移至右边，将剩余项配方有

x2-3512x+y2=1225144+2y-937x2+-356y-356x+y2+1225144.（2）

很明显，左边为一完全平方式，而右边关于x的二次三项式成为完全平方式时，有

-356y-3562-4（2y+1225144-937）（y2+1225144）=0.（3）

由此求得y值，若方程（2）两边开平方后，即可化归为可解的两个关于x的二次方程.这种解法的关键是从方程（3）求出y值，但其本质仍是解法2的“笨拙”变形.

3.评 注

解法1是无理方程中含有x2-a2，x2+a2，a2-x2时，依次可用x=asecθ，x=atanθ，x=asinθ（或acosθ）作代换的常用方法；解法2是常用的求解无理方程的思想方法，只需稍加注意思维方法的灵活性即可；解法3体现了换元法与配方法的基本思路，比较解法2与解法3可知，换元法只是一种解决问题的技能和技巧，并不能改变问题解决过程的实质.解法4从观察分析数据间的关系着手，活用类比联想法，构造几何图形，使我们欣赏到了问题解决的另类美；解法5则使我们享受到了问题解决过程的深度美.解法7从本质上讲，是一元四次方程的常规解法，解法8则是一元四次方程的一种特殊解法.而解法6则为高次方程的又一种通法——因式分解法，也可采用待定系数法求解，即设（12x2-35x+a）·（12x2-35x+b）=（12x2-35x）2-288x2+840x-352，求出a，b，从而求出原方程的实数解.当然也可设解法7中的式（2）左边为（12x2+ax+b）（12x2+cx+d），从而求出a，b，c，d，同样求出原方程的实数解.

还有很多优美漂亮的思考方法在期待着我们.