领会数学思想 感悟解题方法 实现问题转化

徐辉

【摘要】 数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现.本文就解三角形中常用的数学思想：方程数学、转化数学、分类思想以及数形结合进行归纳介绍，期望对一线教师的教学有所帮助，给中考复习备考的学生一些启迪.

【关键词】 解直角三角形；数学思想方法

一、方程思想

方程思想，是指将所研究的数学问题中已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（或方程组），从而解决问题. 方程思想在解直角三角形的题目中起着很大的作用，当不能利用直角三角形的边角关系直接求解时，可通过设未知数，利用已知条件及有关性质、定理等，建立方程（或方程组）求解.

例1 如图1，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边D的俯角为45°，又知河宽CD为50米，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长.（结果保留根号）

解 作AB⊥CD，交CD的延长线于点B.

∵ ∠ACB = ∠CAE = 30°，∠ADB = ∠EAD = 45°，

∴ AC = 2AB，DB = AB.

设AB = x，则BD = x，AC = 2x，CB = 50 + x.

∵ tan∠ACB = ■，∴ AB = BC·tan 30°，

∴ x = ■（50 + x），解之得x = 25（1 + ■）.

∴ AC = 50（1 + ■）米.

即缆绳AC的长为50（1 + ■）米.

点评 此题首先需要进行数学模型的构造，构造出Rt△ABC和Rt△ABD，然后利用三角函数列方程求解，体现了“数形结合思想”和“方程思想”.

二、转化思想

转化思想是解数学问题的一种常见的、重要的策略方法，将未解的问题转化成已有知识范围内可解的问题，从而揭示出未知与已知间的內在联系，将复杂问题简单化，使问题得以解决.

1. 化解斜三角形问题为解直角三角形问题

例2 如图2，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB = 2（单位：千米）.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向.

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.（上述两小题的结果都保留根号）

答：广告牌CD高约2.7米.

点评 此题综合考查了仰角、坡度的定义，通过添辅助线能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.

三、分类思想

分类讨论是中学数学的重要思想，它对于训练学生思维的条理性和深刻性有着重要的作用.在分类讨论时，我们把一个数学问题的研究对象按一定的标准分为几个部分或几种情况，化整为零，一一解决，实际上就是“分而治之，各个击破”的策略.在几何问题中，由于图形中点、线位置的不同，可能产生不同的情形或位置关系，使得所求问题有几种不同的结果，因而解答过程必须进行分类讨论.

分析 显然在解题之前我们需要把已知的文字条件通过画图转化为图形.从条件可以看出，已知条件给出的是边、边、角.而这三个条件是无法确定一个三角形的，所以我们要分类讨论.

解 分高CD在△ABC内及外两种情况计算：

如图6，高CD在△ABC内，

点评 本例明是求三角形的面积，实质是求AB边上高的问题，根据解斜三角形的添线经验，我们可以通过作垂线，把问题进一步转化为解直角三角形的问题.但由于AB的长不确定，因此，△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，尽管高CD的长度是定值，但是其面积随AB长的变化而变化，所以，解答过程必须进行分类讨论. 当然，解直角三角形的问题，除了应用到上述数学思想外，我们还常常会用到其他的方法.

四、数形结合

数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，能够变抽象的数学语言为直观的图形，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.有一些文字解答题，单从文字上去理解解读，学生会有一定的困难，若将文字条件转化为图像，结合图像再来解答，那么问题就变得非常简单直观.在解直角三角形的问题中，这类问题很多.

点评 本题是最基本的解直角三角形问题，学生只需要根据条件画出图形，直接根据三角函数的定义便可求得.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合在一起的方法. “数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成.

数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是知识化为能力的桥梁，是培养数学观念，促成创新思维的关键.因此，我们切不能忽视数学思想与方法，在教学的各个环节中要及时渗透数学思想与方法，有效提高数学教学质量和学生的素养.