浅谈在教学中促进学生数学思维发展

朴永梅

学生的智力结构以思维能力为核心，数学教学的过程不能仅仅理解为向学生传授知识，而应培养学生的数学思维能力，数学教学的实质是数学思维活动过程的教学. 教师与学生的交往、互动，师生双方的相互交流、相互沟通、相互启发，在这个过程中教师与学生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而达成共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展.

一、教师以鼓励的态度关注学生数学思维发展

教学中教师要照顾到学生的实际情况（即基础），鼓励学生自省，觉察学生的思维困难之处，帮助把新知识与已学过的知识相联系. 根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个过程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说，学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识.

例如：不等式■ ≥ ■（定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）的证明. ① 与圆的知识相联系：以a + b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC = a，CB = b，由Rt△ACD∽Rt△DCB得到不等式. ② 与数列的知识相联系：把■看作是正数a，b的等差中项，■看作是正数a，b的等比中项.

华罗庚教授曾说过：不要只给学生看做好了的饭，更要讓学生看做饭的过程. 数学教学要设法使课本知识“活”起来，课堂教学不是堆砌知识的积木，而是用一系列的思维活动把知识贯穿起来，使学生真正领会到数学知识深化发展的动态过程. 特别对学生容易出错的地方，差错人皆有之，教师要让学生充分“暴露问题”，然后顺其错误认真剖析，发现学生思维的闪光点和创造性思维的火花，在加深理解的基础上对不同的答案展开讨论，引导动手操作、自主探索和合作交流，学生在这种氛围中，接触困惑，明确自己的思想，并且有机会分享学生的想法，在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法，疏导思维，学生可以大胆表达自己的想法，思想顾虑消除了，思维也就可以更活跃.

二、利用图形演示直观发展数学思维

《义务教育课程标准》中指出：“学生将探索基本图形（直线形、圆）的基础性质及相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验交换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体的位置的方法，发展空间观念. ”“推理与论证的学习主要从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想. ”注意数形结合，把数转化为形，变抽象为直观.

例如：教学不等式这堂课，以2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案引入，本届大会会标的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽的弦图.

根据图形特点和直角三角形的勾股定理，通过运算得到基础不等式a2 + b2 ≥ 2ab，以几何画板演示量与量之间的关系，直观明白不等式中“当且仅当b = a时不等号取‘=号”的意义.

苏联心理学家达维多夫认为，培养学生数学能力从具体导向抽象更为有效. 日本的杉原一昭说，数学教学实际上是从具体到抽象的教学，这种教学不只是简单地从实物到符号，而是经过实物—外部言语—内部言语几个阶段的. 并且，数学的直线、图表等也被赋予实物和符号的中间位置. 王仲春教授认为：“数学思维是指人类关于数学对象的理性认识过程，包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程. ”例如：探究函数y = Asin（ωx + φ）的图像中φ、ω、A对图像的影响，以几何画板演示动图说明三个变量变化，原有图形是如何变化的，学生在做这方面问题时，头脑中就有了直观印象，不用机械记忆它们的规律.

三、课堂教学上强调学生思维的整合

著名的数学教育家乔治·波利亚曾主张“教会学生思考”，将“有益的思考方式和思维习惯”放在数学教学的主要位置，教给学生死板的知识，还不如教给学生生动活泼的思维方法. 例如：（1）收敛数列一定有界，可有界数列不一定都收敛. （2）无穷小量的极限等于零，或说零是无穷小量，但并不等于无穷小就是零. 还要根据教学实际，及时引导学生把所学的知识加以组织整理，使知识逐步完善、系统化，并找出规律性的东西. 如在公式和法则的学习中，要指导学生注意公式的运用范围、公式的来龙去脉以及相关公式之间的逻辑体系，例如：三角函数的和角公式、倍角公式、半角公式、和差化积公式、积化和差公式等，构成了一个逻辑关系紧密的公式体系，记住了和角公式，其他公式都可以由此推导出来.

在教学中既要注意使知识在层次上不断深化，帮助学生把新知识及时纳入已有的知识体系，特别要注意数学知识之间的关系和联系，逐步形成和扩充知识结构系统，有意识地启发引导学生从不同的方向，变换思维角度进行广泛的探索与求解，融会贯通知识，探寻到最简、最优的解决问题的方法，也有利于培养学生的思维容易变通. 又如，“求证：两条平行线a，b和同一平面α所成的角相等. ”因为直线与平面由于位置关系的不同，所成的角有不同的定义方式，当证明时应按不同的位置关系分层讨论，教师要明确指导学生数学思考要仔细分析，分类讨论不能重复、不能遗漏，分层次、不越级讨论，思维活跃的同时，避免没有条理 .

四、正确领会题意引导合情推理发展学生数学思维

现在是“应试教育”，不能题海战术，而是每做一题理解其意思，进而思维活跃，能从一题可以衍生出很多题，很多思维方法、思路.

思维能力在解题过程中的表现就是学生思维活动的反映. 思维能力在解题过程中主要表现在三个方面：其一是能正确领会题意，明确解题目标；其二是能寻找到实现解题目标的方向和合适的解题步骤；其三是能通过合乎逻辑的推理和运算，正确地表述解题过程. 正确地领会题意，明确解题目标，是开展思维活动的前提.

例如：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.

即：已知∠BAC在平面α内，点P？埸α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E，F，O，PE = PF，求证：∠BAO = ∠CAO.

变式：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，设它和已知角两邊的夹角为锐角且相等，求证这条斜射线在平面内的射影是这个角的平分线. 改变题型，制作变式，学生在不同的类型题中注意到在应用三垂线时，一定要先确定出定理所必需的几个元素：一找平面，二定垂线，三找斜线，则射影自见，可熟练掌握三垂线定理与逆定理，不断深化对定理的认识.

五、日常生活中积累经验，培养数学思维

20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一. 当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景.

例如：以物理实验中的现象引入，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y = Asin（ωx + φ）的函数（其中A，ω，φ都是常数）. 图7是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图像，将测得的图像放大如图8，可以看出它和正弦曲线很相似，由此引出课堂内容.

在有关内容的教学中，直接应用数学知识解决了一些简单问题. 例如，运用函数、数列、不等式、统计等知识直接解决问题，函数可表示一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系，也可显示人口数量的变化规律等. 也有通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题.

此题可综合考查数列、函数、不等式、解析几何等基础知识，同时也可以考查方程思想、分类讨论思想等重要数学思想方法.

教师要不断加强自身的学习和提高，不断提升自己的学科或领域知识、能力水平，学习加工学科或领域发展史上推动学科或领域发展的问题，深入理解探究教学的本质，掌握一些教学方法和技巧，还要掌握丰富的教育学与心理学知识.