对称、非对称和迷宫

纳吉

摘要：古希腊术语“对称一非对称”与数学中“可公度性一不可公度性”的发现有关，它们对于西方数学与演绎科学的诞生有密切关系。这些观念很快也在美学中显示了重要性，那就是成比例的与不成比例的。“对称”的拉丁化术语由于维特鲁威的建筑比例理论得以存留于世。到了17世纪，它又获得了新的数学含义，包括镜像、旋转、平移以及更一般意又上的不变性。对称的现代观念在晶体学、立体化学和理论物理中也有特殊的重要性，它在美学中则用来表达比例、平衡、韵律等。本文也讨论了从古希腊到现代的各种迷宫。关于克里特迷宫的希腊神话有多种版本，本文强调一种可能的克里特本土的观点。在考古学中，本文突出的是多中心发展的可能性而不是简单的单中心扩散理论。作者还借助大量实例讨论迷宫的历史，从克里特岛上的建筑直到中国皇帝在北京的圆明园。最后又对迷宫的数学作了详细的介绍，指出这一题材对现代数学和计算机科学发展的贡献。总之，对称与迷宫对于在艺术与科学的不同领域建立多种多样的联系渠道大有裨益。

关键词：对称 非对称 迷宫 科学 艺术

在葡萄紫色的大海中央，有一片叫做克里特的美丽而肥沃的土地。那里生活着许多人，数都数不清，还有九十座城市。他们的语言参杂各异。那里有阿开亚人、本地英勇豪迈的克里特人、库多尼亚人、戴着羽毛头饰的多里斯人和俊朗的裴拉斯吉亚人。其中有一座壮丽的城市就是克诺索斯，米诺斯九岁时曾在那里执政，他能与伟大的宙斯通话。

——荷马《奥德赛》

国际跨学科对称研究学会（ISIS）在四大洲都召开过大会，但是组织者过去忽略了对称的“摇篮”。现在，通过在希腊举行的第九届大会，让我们来纠正这种“非对称”。选择在克里特这个小岛而非大陆上某个地方作为会址是有特殊意义的，因为这样我们就有一个绝好的机会见识一下希腊的早期文明。除此之外，我们还应该关注另一个希腊岛屿萨摩斯，那里诞生了一个人，他的名字与“对称”这一概念密切相关。因此在转到克里特之前，让我们先看看“对称。这个概念的演变。

一、古希腊的对称

众所周知，萨摩斯岛的毕达哥拉斯（公元前6世纪）是数学、音乐和哲学的先驱。但是，我们对他可以确证的事迹几乎一无所知。他很可能并非是那个被冠以其名的著名几何学定理的发现者。在现今意大利的南部，毕达哥拉斯创办了一个带有宗教色彩的团体，其门徒和追随者将许多古代成就归于他的名下。

“对称”（symmetria）和“非对称”（asymmetria）的概念很可能是毕达哥拉斯学派因某个几何学中的发现而创造的，并很快地将其赋予美学意义。简单地讲，这一概念包含：数学中可公度的与不可公度的的长度。艺术中适当的比例和适当比例的缺失。

正方形（或正五边形）的边和对角线在长度上不可公度的证明象征着数学中的一个突破。从代数学来讲，他们发现了无法以两个整数之比来表达的无理数的概念。有人将这一发现归于米太旁登的希帕索斯（Hippasus of Metapontum，公元前5世纪），他是毕达哥拉斯学派的成员。到公元前5至4世纪的时候，“对称”这个词已经在数学和美学领域生根，这可以通过柏拉图和亚里士多德的作品得以证实。之后，欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）中，有一卷详细描述了可公度性的原理，而且不仅限于长度，还把可公度性的概念推广到面积问题（symmetros dynamei）。有趣的是，虽然我们可以从中窥见某种现代意义的端倪，希腊人的对称并不指镜面对称。

随着希腊文化的衰退，“对称”这个词也失去了重要性。典型的例子是在拉丁文中与后来的西方词汇中，原先的用语都发生了变化：在数学中，希腊语的symmetria演化成拉丁语的commensus，最后变成现代的commensurability，在艺术中，希腊美学意望下的rymmetria演变成拉丁语的proportio，最终成为现代的proportion。

这里有一个无法回避的问题，symmetria是怎样成为一个拉丁文表述的？

早些时候我研究过这个问题。在华盛顿特区举行的ISIS大会上，我的答案有点出人意料。拯救“对称”这一概念并将其传承下去的功劳应该归于罗马建筑师和工程师维特鲁威（Vitruvius），他撰写了一部综合性的建筑学著作《建筑十书》（约公元前1世纪）。维特鲁威将比例方面的专业术语增加了—倍，并频繁使用两个相关的术语：其中symmetria指比例的一般理论（使用过85次），proporlio则与比例的实际应用有关（使用过32次）[Nagy 1995]。

有趣的是。希腊意义的“对称”在《圣经》中，特别是《旧约》里面仅出现过一次，并且是在有关建筑的语境中：

我将为自己建造一栋华丽的大宅（oikon symmetron），楼上的房间宽敞……（Septuagintnt，耶利米书22：14）

不过在以后的译本中，symmetron被别的词取代，继而消失得无影无踪。

在中世纪，幸存的希腊文和拉丁文手稿中，“对称”这个词极少使用。的确，除了欧几里得著作的阿拉伯文评注本外，需要使用这个概念的数学和美学作品寥寥无几。于是，这里出现了一个与“对称的故事”相关的值得进一步讨论的问题。

二、“对称”是如何演变成“镜面对称”等现代术语的？

让我们回到维特鲁威来。与其他综合性的古代建筑学书籍不同，他的著作幸存于世，并在文艺复兴时期获得了重要的地位。该书被广泛研究——就连达。芬奇也为维特鲁威的人体比例理论作了图解——并被翻译成意大利文（1521）、西班牙文（1542）、法文（1547）和德文（1548），进而产生了“对称”一词的派生词。“对称”这个词还出现在英文的建筑理论著作中（例如1563年John Shutc的一本书）。佩罗（claude Perrault）是一位由顶尖动物学家和生理学家改行的建筑师，他发表了维特鲁威著作全新的法文译本（Paris，1673），并添加了对称在美学上的作用，暗示了与镜像对称相关的新含义。

我们需要补充一点：维特鲁威不仅是宏大建筑方面的主要权威，他同样为民用建筑提供了重要的资料。他的调查从史前最简单的居所着手，之后便讨论小亚细亚的佛律吉亚、伊比利亚半岛和其他地区采用不同材料建造的民居。维特鲁威在解释自己的工作时，声称通过观察发现了对称的方法（ad certas symmetriarumperduxerunt raffones）。我们可以说，他概述了建筑学的早期及随后演变的历程，以及对称观念（比例原理）的发展。后来，该研究被称作维特鲁威的“原始小屋”，并成为建筑理论中的一个话题。洛吉耶（Abbe Marc-Antoine Laugier，1713-1769）的著作《关于建筑的写作》（Essai sur l4rchitecture，Paris，1753）就是个例子。无论如何，维特鲁维启发了朴实简单的乡村建筑造型。后来，“原始小屋”的想法也引起了勒·柯布西耶（Le Corbusier，1887-1965），赖特（Frank LloydWright，1867-1959）和其他现代建筑师的兴趣。

在罗马时代，“对称”这个术语在数学中成为空缺，但是它被赋予了新的含义。17世纪后期出现了如下一些概念，如镜面对称、轴对称、重复对称（若干对等的部分叠加）以及后来一些特殊性质（例如作为守恒性标识的对称）的提出_这在晶体学的阿羽依对称律（Hafiys symmetry law，1815）和数学物理中的诺特定理（Noethers theorem，1919）中尤为突出。反对称（dissymmetry）的概念即对称元素的缺失，又导致立体化学的诞生（巴斯德[PastcRr]的反对称分子，1848）和理论物理学的发展（皮埃尔·居里[P.Curie]的反对称原理，1894）。

从19世纪后期开始，对称成为现代科学中的一个核心概念，因为它有助于人们在不同的领域发现物体所有可能的形态，一张详尽的清单将包括晶体空间群（费多罗夫[Fedorov]，熊夫利[schoenflies]，巴罗[Barlow]）、化学异构体（凡特霍夫[vantHoff]，费合尔[Fischer]）、基本粒子（盖尔曼[Gell-Mannn]，奈曼[Neema]）；在一些领域中则帮助人们预见还没有发现的一系列新的可能，夸克就是一个例子。这些方法同样可以用来给艺术分类，如装饰图案（Crowe and Washburn的调查）、音乐结构（Graeser对巴赫赋格曲的重构）、建筑形状（MarchandSteadman）等。

艺术中对称的古代含望—相应的比例——也幸存下来，而建筑和数学的发展为它赋予新的意义，并同样在艺术和审美领域派上用场，如镜面对称相应于平衡和均衡，重复对称相应于重复和节奏等等。这意味着对称这一概念在艺术和科学领域都有价值；此外，它提供了一座桥梁，有利于文化割裂的两部分之间展开跨学科的交流。

这里想补充的是，在中文和其他一些语言中，“对称”的语义族无法以一种简单的陈述来表达。通常的中文翻译只有一个狭隘的意思，即两个物体（事物）的镜面的或双向的对应，而不含有“比例”的意思在里面。与此同时，中文中关于比例、平衡、节奏等意思的表述却是丰富多彩的。

当然，古希腊语汇中没有“镜面对称”这样的词，并不代表没有人应用这种结构，希腊庙宇和雕塑中有很多令人兴奋的镜面对称的例子。如果我们从雅典启程到克里特旅行——很多旅游者都这样做——就像在进行一个象征性的时间旅行，我们将看到一个高度发达的早期文明所留下来的珍贵遗产。

三、克里特文明

在很长一段时间里，古代克里特的历史仅仅可以从希腊文学作品中瞥见。这个岛屿曾数次易主，而冲突、战争和新的定居点将它的过去都掩埋起来。希腊文化和罗马文化时期过后，克里特成了拜占庭帝国的一部分。其间岛上的统治权被在这里建立的一个独立的穆斯林国家短暂挑战过（大约824-961年）。拜占庭帝国分裂以后，克里特成为威尼斯共和国的殖民地（1205-1669），其后又被奥斯曼帝国统治（1669-1898）。经过19世纪80年代后期的一场战争（1898-1913）克里特获得独立，最终与希腊统一。

荷马关于在克里特有很多繁荣城市的描述被许多人当作传说。但是，德国人施利曼（Heim'ich Schlicmann，1822-1890）并不这样认为。他原来是个商人，后来改行成了一名考古学家。以荷马的文字为指引，他取得了巨大的成功，发掘出了特洛伊城一尽管存在些许争议。事实上，一个当地的商人于19世纪70年代就发现了特洛伊宫殿的遗迹和一些特殊的文物。在去世前不久，施利曼不容置疑地在伊拉克利翁附近发现了克诺索斯（Knossos）宫殿的遗址，但是从土耳其人手中购买这块土地的努力失败了。最终，英国考古学家埃文斯（ArthurEvans，1851-1941）爵士于1900年发掘了这座宫殿，工作持续了很多年。宫殿基本上呈正方形，边长约为130米，整个建筑物不是镜面对称的，不过其中有些部分是。殿内有中庭、居室、若干储藏室，还有由许多小房间组成的形如迷宫的系统。墙上的壁画为人们考察克里特文化的不同方面提供了素材。一幅大约公元前1400年绘制的大型壁画上，一个男孩和两个女孩正在进行杂技表演，他们的胯下是一头浅红色的公牛。这或许是某种仪式，因为后来人们在其他地方，包括避难所里，发现了类似的图像。另一幅壁画中幸存的部分现在被人称作巴黎女郎，因为画中的女郎使用了美容手段，包括红色的唇膏和黑色的眼线。令人惊讶的是，很多被认为是现代的发明，比如砖石铺路、上下水系统和冲水马桶都已经在克诺索斯遗址中发现了。埃文斯和他的同事还发掘出大概3000多块刻有字符的陶片，幸运的是，由于经过烧制，这些陶片及其上面的字迹得以保存。埃文斯的结论是其中共有三种文字：一种是古象形文字，另外两种晚一些，他称之为线型文字A和线型文字B。

与此同时，意大利考古学家裴涅尔（Luigi Pemier）在斐斯托斯（Phaistos）发掘了另一座宫殿。遗憾的是，当他的工人们挖掘出那个被称为斐斯托斯圆盘的东西时，他本人不在现场。此盘现保存在伊拉克利翁考古博物馆，上面载有第四种文字，是在其他地方未曾被发现过的。一些学者甚至怀疑该盘为伪造品，但是现在通常认为它是真实的，制作时间为公元前1850-1400年间。后来通过分析阿卡洛科里双刃斧（Arkalochori Axe）上的图案，斐斯托斯圆盘的真实性得以加强：斧上有些符号可能是A类线型文字，另一些则与通盘上的文字符号类似，虽然不尽吻合[Timm，2004]。如果事实果真如此的话，我们就可以讨论克里特文明的伟大书写传统了，不同族群使用不同的文字系统，不仅仅是三种。斐斯托斯圆盘上共有242个文字符号，它们是用45个独特的印章在半湿的粘土圆盘上压制而成的，在盘的两面均以顺时针螺旋方式向中心渐进。由于作者采用了可分拆组合的印章，这一成就可以被视作古腾堡的先驱。

后来的挖掘找到了更多的宫殿：马利亚（Malia，1920）、卡托扎克罗斯（KatoZakros，1961）、干尼亚（chania，1964）——这些证明西克里特没有宫殿的看法是错误的，以及加拉塔斯（Galatas，1992）。所有这些发掘出来的古代遗址，足以证明克里特经济生活范围相当广阔，宫殿作为当地中心并提供生活储存，而克诺索斯可能是首都。克里特经营大规模国际贸易的证据也令考古学家们目瞪口呆，为此我们必须用现代地理知识来阐述其原由：东地中海的循环洋流使得克里特至埃及、近东、安纳托利亚、塞浦路斯然后回归克里特的航行易如反掌。因此，荷马将克里特至埃及的航行描述成“仿佛乘舟顺流而下”毫不为过（《奥德赛》，14，252-259）。的确，在克里特发现了来自美索不达米亚和埃及的文物，包括汉穆拉比和埃及十二王朝的文物[Hood，1971]。另一方面，在地中海东岸周边的不同地点也发现了克里特的文物，包括壁画。很明显，青铜时代的克里特画家曾到各地旅行，恰如3000年后文艺复兴时代的一位画家所做的一样：绰号为“希腊人”的格列柯（El Grcco，1541-1614），他出生于克里特，后来移居西班牙并成为那里最知名的画家之一。值得注意的是，格列柯有一本维特鲁维著作的巴尔瓦罗（Barbaro）译本，他在书中的页边上批评这位罗马建筑师将比例方法神圣化而提倡更加自由的构图。

让我们还是回到古代，克里特风格的壁画后来在如下地区被发现：Avaris（尼罗河三角洲的Tell el-Daba地区），Tel Kabri（以色列海法以北，靠近Nahariya市），Qama（叙利亚胡姆斯市东部，现今的Tcll el-Mishrife）。其中Avaris的发现尤为惊人，因为在一幅壁画上描绘着四个年轻人正从公牛身上越过。在此之前，这样的图画没有在克里特之外的地方被发现，更有趣的是，这幅壁画的背景是迷宫的图案。

埃文斯引进了“米诺斯文明”（Minoan civilization）这一术语，用来描述这个自公元前27世纪至公元前15世纪繁荣昌盛的文化（广义一点可以前后延伸至公元前37至公元前1l世纪）。在这里，“米诺斯”一词指传说中的统治者。奇怪的是，这个词里面有一个不太可取的“重复对称”。有些学者，包括埃文斯本人，明确表示米诺斯并非人名而是一个头衔，类似于我们使用的“国王“一词。毫无疑问，埃文斯对考古和历史做出了重大贡献，但是我们也不能因此而掩饰他的一些错误。通过使用混凝土延伸克诺索斯宫殿的废墟，他重建了宫殿的一部分，由此影响了后来的考古学家开展进一步的研究，也妨碍了考古学新方法的应用。他也制作了一些虚假的“作品”，比如在羽毛王子（或称为百合花王子，大约绘制于公元前1550年）的例子中，埃文斯把三段属于不同人物的壁画残片（王冠、躯干、左腿）粘结在一起，并通过现代绘画方法将其扩大。实际上，今日游客们在克诺索斯宫殿看到的一些最有名的壁画，在一定程度上是瑞士画家吉列尔翁斯（EmileG-illierons）父子的再创作[Gere，2009]。最后一点，但并非最不起眼的一点，埃文斯推延了很大一部分陶符的公布；实际上，他的第二卷在有生之年没有出版，从而导致相关的研究在长时间内无法进行[Evans，1901，1952]。

可惜的是，克里特的象形文字和A类线型文字还没有被破解，其代表的语言也不为人所知，或许它们与米诺斯岛上一种失传的语言有关吧？另一方面，B类线型文字于20世纪50年代被英国建筑师文特里斯（Michael Ventris，1922-1956）——英年早逝于一场意外事故，以及英国语言学家和二战时的密码破译员查德维克（John Chadwick，1920-1998）所破译：其中隐含的语言是希腊语的一种早期形式，后来被称为迈锡尼希腊语。文特里斯第一篇印刷论文有一个非常引人注目的标题：“破解欧洲最早的文字”。查德维克等人在题为“B类线型文字揭秘”的文章中，将克诺索斯陶片上可辨认的文字翻译出来并公诸于世[Chadwick et al，1971]。

让我们从对称这一角度来考察克里特的艺术。我们发现，具有礼仪意义的塑像通常是镜面对称的，最好的例子或许就是持蛇女神（约制成于公元前1600年）：裸露双胸的女人两手各持一条盘卷的蛇，她的双手和衣服上的图案突出了对称的效果，而其头顶的一只猫一埃文斯认为是头小母狮一则并非对称形态。此外，很多表现人体自然形态的塑像也都不是对称的，大部分的刀和斧子几乎是完全对称的，陶器上经常装饰有重复的轴对称图案。

关于具有镜面对称的建筑布局，我在那本长达400页的综合性专著《克里特的考古》[Pendlebury 1939]中只找到了三处，而非镜面对称的整体设计则有24处。三个具有镜面对称布局的建筑物分别是：位于Zapher Papoura属于米诺斯文化后期的一座墓穴（Pendlebury书，图41），位于Vrokastro的一座圆形墓穴（同书图46），以及在Prinias的一座古庙（同书图51）。的确，在某些宫殿中有一些对称的厅堂，但是没有在整个设计布局上采用。在一定意义上，米诺斯人似乎预见到了19世纪法国建筑师杜克（Viollet-le-leue）的主张：“为了对称这个不幸的概念，我们在自己的家里牺牲了舒适，间或也会弃常识而不顾，而且总是耗费大量金钱”。

四、克里特神话、迷宫和米诺陶

在希腊神话中，众神之首的宙斯在克里特长大。他后来诱拐了腓尼基国王的女儿欧罗巴，后果就是米诺斯降生并成为克里特的国王。米诺斯生了很多孩子，包括一个名为阿里阿德涅（Ariadne）的女儿。到此我们立刻可以联想到“阿里阿德涅之线”，指的是逃离迷宫的途径，亦即解决困难问题的方法。神话还涉及一个叫代达罗斯（Daedalus）的巧匠，他为米诺斯建造了一个迷宫，目的是困住牛首人身的怪物米诺陶（Minotaur）。米诺陶在希腊语中的意思就是米诺斯的牛，这个怪物并非米诺斯的孩子，而是其妻与一头公牛交媾所生，后者是由海神波塞冬派来惩罚米诺斯的。顺便提一下，米诺斯的妻子帕西法厄（Pasiphae）是太阳神赫留斯（Helios）的女儿，而牛首人身怪物的原名为阿斯忒里翁（Asterion），意思是众星之王，这样神话就附上了宇宙学的含义。这个故事深深植根在希腊文化中，以至于deadalus成了一个名词，带有“迷宫”和“巧匠”的意思，而形容词labyrinthine和deadalic则指棘手的处境。我们今天可以在世界各地找到deadalus这个词的不同用法，比如美国艺术与科学学院的会刊就叫《代达罗斯》，而其徽标就是一个迷宫。

在儿子被人杀死在阿提卡半岛之后，米诺斯袭击了雅典，战败的雅典人只有求和，代价是每九年向米诺斯进贡七个少年和七个少女。第三次献祭时，少年中混进了雅典英雄忒修斯（Theseus），这个年轻人很快便与阿里阿德涅坠入爱河，后者决心帮助他。最终忒修斯杀死了怪兽米诺陶并凭着阿里阿德涅给他的线团逃出了迷宫。

许多古代作者都描述了迷宫的故事。现存最详尽的文字描写可在阿波罗多洛斯（Apollodorus）编辑的一本神话故事集中找到，但是更好的一个版本是汇编于公元2世纪的《书库》（Bibliotheca，3，1，3-4；3，15，7-8；and epitome 1，7-9）。之后许多作品都提到这个故事或其中的部分内容，比如出生于西西里的狄奥多罗斯（Diodorus Siculus，Bibliotheca Historica，4.61and 4，77）、斯特雷柏（Slrabo，Geographica，10，4）和普鲁塔克（Plutarch，Vitae parallelae，Theseus，16，1and16，19）等人的作品中。忒修斯杀死怪兽的事迹也出现在许多古代的陶瓶、马赛克拼嵌地板和其他艺术形式中。有趣的是，普鲁塔克还把这一故事与舞蹈联系在一起：

从克里特归来的航途中，忒修斯在德洛斯靠岸。向神奉上祭品并把从阿里阿德涅那里得到的阿荚洛狄忒之像奉献给神庙后，忒修斯与年轻人一起跳起7德洛斯的舞蹈，据称舞蹈源于迷宫中旋转的通道，由某种进退有序的不同格调组成的优美旋转演变而来。

《希腊罗马名人传》。忒修斯21，1

我们可以假定这段描述讲的是一种宗教舞蹈，与圣地——具体说就是迷宫——有关。尽管荷马没有提到过迷宫，在后面我们将会看到他谈到了阿里阿德涅的舞蹈地板。克里特迷宫这个故事真是妙趣横生，我们或许与它有着割合不掉的联系，进而找到一条通向我们心中秘密的路径，从而构成人类精神生活的重要一环。显然这条路径不是轻易就能找到的，沉思冥想必不可少。抵达迷宫中心的路被视为取得智慧的途径。通常迷宫的形状类似于螺旋，有一些绳结看上去也像迷宫。因为我们学会的简称是ISIS，我们需要注意古代埃及以及后来希腊和罗马的女神伊西斯（Isis），其符号也是一个带着魔力的绳结。克里特迷宫是米诺斯人进行人祭或仪式性杀戮的地方吗？虽然有一群考古学家声称在克诺索斯、阿尼莫斯皮拉（Anemospilia）和佛诺阔里夫（Foumou Kodfi）遗址发现了一些证据，其他的考古学家则持不同意见。或许，在一个和平与和谐的社会中，那种做法不具代表性。但是后来的一段时间内，随着野蛮部落的出现，杀戮有可能成为这类祭祀观念的实践活动。

至于牛首人身的怪物米诺陶，这一神话其实也暗示着当时发生的某些重要的社会政治变化。起初，克里特具有相对发达的文明，但是自从那个杀死怪兽的英雄忒修斯去了雅典并成为传说中的王国创始人之后，牛首人身怪物就被视为反面形象，殊不知其最初的名字“众星之王”代表着一个神圣光辉的角色，这可能意味着故事有双重含义。虽然如同历史一样，经常被讨论的一面往往是片面的，只代表新兴统治势力的意愿。实际上，米诺斯人早先得益于贸易，但是后来被侵入的迈锡尼人所征服，克里特遂在武士贵族阶层的主导下发展。随后的又一重要进步是雅典式民主制度的建立，当然由于其经济建立在奴隶劳动的基础上，这种城邦民主不能与现在的民主制度相提并论。顺便提一下，两种线型文字A和B也暗示着一个新势力的入侵。因此，这个迷宫故事也是繁荣昌盛的米诺斯文明告终的预兆，而迈锡尼文明则在希腊本土开花，相继由迈锡尼和雅典所代表。

当然，变迁不是在数年间完成的，而是经过了一个相当长的过渡阶段，就如同传说中提到的九年间隔，以及忒修斯随同第三批祭献者一起抵达所暗示的那样。的确，大约在公元前1628年，离克里特不远的锡拉（Thera）岛上火山爆发，加速了米诺斯文明的衰退。最新的科学测定年代的方法，确定了火山爆发的准确年代，这可以使人们重新考虑一些历史论断。新的设想是，火山爆发后，米诺斯文明并没有马上土崩瓦解。显然，岛的很大一部分被灰烬掩埋，但是米诺斯文化在这个阶段并没有解体。

下表显示站在不同立场上看待米诺斯神话的非对称结果：

五、从克里特到匈牙利：扩散相对新考古（单中心相对多中心）

克里特还涉及很多重要的考古问题。令人匪夷所思的是，其中一些竟与匈牙利及其周边的咯尔巴阡山脉或潘诺尼亚（Pannonian）盆地有关。那么就让我们去匈牙利做个短途旅行吧。

提出“新石器时代农业革命”这一概念的英国—澳大利亚考古学家柴尔德（VGordon Childo，1892-1957），首先引进了史前文明扩散理论[childe，1925]。按照他的理论，扩展的起始中心在美索不达米亚和埃及，农业和其他技术就是从这些地方传播到克里特。之后到达特洛伊和雅典的；这种势头继续沿着多瑙河延伸直抵中欧，也部分地通过海路传至南欧，并最终到达西欧。也就是：

美索不达米亚→安纳托利亚→克里特→特洛伊→多瑙河流域→西欧埃及→克里特→迈锡尼→南欧→西欧

这个模型显示克里特是第一个发达的欧洲文明，并强调了来自其他地区的影响。但是，放射性碳同位素测定法以及后来发展的其他校准方法的引进，造就了“新考古”，并否定了扩散理论中的很多元素。伦弗鲁（Colin Renfl'cw）是这次运动的领军人物，他给出了详尽的研究图景[Renfrew，1973]。他认为，克里特在文化上受到安纳托利亚和埃及的影响比早前认为的要少得多[Cberry&Renfrcw，1972]。现在我们可以勾画出一个多中心的文明演进模式。其中一些地区独立地取得了类似的结果，同时我们也不应全盘否定传播的可能性，不过该理论还没有被普遍地接受。

这里我要提出一个稍微不同的问题：上述传播模式中的箭头可以翻转过来吗？对此我要先介绍一下匈牙利和喀尔巴阡盆地的一些有趣发现。传播理论宣称，文明沿着多瑙河流域传播，到达匈牙利和喀尔巴阡盆地。托尔玛（ZsofiaTorma，1832-1899）是最早的女考古学家之一，她的开创性工作向我们显示了非常不同的图景。她在不同的地点开展考古挖掘工作，发现了图尔道（Turdas，Tordos）文明。该文明以特兰西瓦尼亚的一所村庄为名，该地区当时属于匈牙利，现属罗马尼亚。托尔玛与特洛伊的发掘者和考古学的先驱施利曼有书信来往，而德国著名的人类学家、病理学家和史前学家菲尔绍（RudolfVirchow）也拜访过她。即便如此，她的名字也没有为更多的人所知晓，所以温查（Vin～a）文明或图尔道一温查文明这个词是在之后，也就是1908年在贝尔格莱德郊区的温查地区发现类似文物之后才被叫响的。虽然托尔玛在国际会议上发表演讲，用匈牙利文和德文发表过若干论文并用德文撰写了一本著作[Torma，1894]，她的发现长期以来没有得到应有的重视。重要的是，她暗示了温查、特洛伊和美索不达米亚三个地区发现的史前符号之间具有可比性。在1882年2月9日写给她的一封信中，施利曼确认她所收藏的文物里的符号标记看上去是文字。在1961年三块塔尔塔里亚（T6rt6xia）陶板出土引起的轰动中，托尔玛的工作被重新发现。陶板的发现者是伏拉萨（Nicolac Vlassa）。年代则被确定为公元前5500—5300年之间，当然并非毫无争议。不幸的是，挖掘的过程没有被准确地记录下来，陶板上的字符也没有立即得到解读[Makkay，1990]。有一些学者认为陶板上的符号是原始文字，即可能是目前所发现的最古老文字；而有的学者则持反对意见。前面引用过的《米诺斯人：铜器时代的克里特》[Hood，1971]一书的作者霍德（Sinclair Hood），发表了三篇论文（Antiquuty，41[1967]，99-113 and 47[1973]，148-149；Scienafic American，218[1967]，5：30-37）专门讨论特尔特里亚陶片。他认为这些陶片上的刻符或许不是文字，但也暗示了克里特文化中确有与这些符号相似的地方。

美索不达米亚和温查新石器时代的符号（原始文字？）之间也存在着有趣的类似性，我推荐从对称这一视角来研究这些符号。一个很好的起点是马凯（JanosMakkay）的文章，他在文中对比了数以百计的温查符号和美索不达米亚符号并将它们分成38类[Makkay，1969]。大多数符号为左右对称，但是也有2，4、6向旋转对称的例子。还有一个温查符号，上面有基于8向旋转对称的万花筒般的图案（Type A22，No，33）。更有趣的是，一个螺旋形的迷宫（Type B18，No，12）与一种美索不达米亚的符号甚为相似。毫无疑问，在温查文明中有丰富的符号组合。反对温查符号是原始文字的人争辩道一不同于美索不达米亚和克里特——没有考古证据说明那里的经济发展到需要复杂的数据储存形式的地步，即我们所指的语言。实际上，即使从经济发展这个角度来看，托尔玛的书名也是很机巧的——《类比民族志：有关宗教仪式及其发展的历史》，从辩论的角度来看也是合理的，因为她把自己的发现当作温查和美索不达米亚之间的一个有趣的类比。这样，她就把问题留给了后代的研究者们。

值得我们注意的是，匈牙利的艺术家和学者指出克里特和喀尔巴阡盆地传统中有许多相似之处，包括几乎带着新艺术色彩的花纹图案和意义非凡的白色公牛。在克里特的例子里面，我们曾讨论过希腊神话中的白色公牛。匈牙利的taltos-词与萨满巫师意思相近，但不完全一样，它具有在战斗中变形为牛——大多数情况是白牛——的能力。Taltos通常又与数字7联系在一起，这也与克里特神话和其他传统相似。因此，taltos经常是家庭里面的第七个孩子，并且其超自然的能力在7岁时形成，等等。如果我们在匈牙利的灰色牛群中搜寻，不难找到个别呈银白色的公牛。注意，牛犊子通常是微红色的，这正好与克诺索斯壁画中那个大名鼎鼎的、其上有杂技演员跃过的红牛一致。最后，我们可以指出一些类似的名称，比如喀尔巴托克（Karpatok，喀尔巴阡盆地周围的山脉）与卡尔巴斯（Carpathos，靠近克里特的一个岛屿）。但是我们不要过深地陷入语言的迷宫，还是通过几个问题回到文章的中心话题上来吧。

六、与迷宫有关的其他几个问题

1，克里特迷宫在哪里？

按照荷马的说法，米诺斯的宫殿坐落在克诺索斯，代达罗斯为阿里阿德涅在那里修建了一个舞厅（《奥德赛》19，172-179；《伊利亚特》18，590-594）。不过他在书里没有提过迷宫。生于西西里的希腊历史学家狄奥多罗斯称“克里特的迷宫已经完全消失，不管是由于某个统治者将其夷为平地还是因为时间的怪兽将其吞噬”（Bibliotheca Historica 1，61）。不幸的是，详细描述迷宫故事的伪阿波罗多洛斯（Pseudo-Apollodorus，约2世纪）没有明确指出迷宫的具体位置。另外一些作者（Philostratus，Pseudo-Hyginus，以及Pausanias）则称迷宫在克诺索斯。现在克诺索斯是伊拉克利翁郊区的一个考古场所和观光景点，人们普遍认为这所带有迷宫结构的宫殿和其中的公牛壁画可能就是迷宫的所在，或者起码能够启发人们编造那个神秘故事的灵感。“迷宫”（1abyrinth）这个词可能指代整个宫殿，也可能指其中的一部分。从另外一方面考虑，将一个危险的生物（肯定不是米诺陶，而是某种危险的动物或者人）放在离国王和权贵咫尺之遥的宫殿里，这也是不现实的。因此产生了其他的建议：如果的确存在迷宫这种建筑物的话，囚禁危险生物的迷宫可能在其他地方，这似乎更合乎逻辑一些。

让我们回到刻有B类线型文字的陶片，看看能否找到与迷宫相关的痕迹。幸运的是，这里有一块陶片（编码是KN Gg 702）可能对我们的探索有益。

这里重要的一个词由第二行左端的五个字符组成，在右边的图中这个词被放大，它被解读为da-pu2-ri-to-jo，很多学者认为这个词指的是“la-by-rin-tho”，也就是迷宫labyrinthos。整句话的意思则是“给迷宫里的女士（女神）奉上一个盛满蜂蜜的双耳瓶”。注意，蜂蜜是以象形文字的形式在两行文字的右端呈现的。

很多研究者就这块可能与迷宫有关的陶片展开了讨论，但我首先推荐最近发表的一部英、希双语的著作，作者是欧文斯（Gareth Owens），书名为《迷宫：克里特和迈锡尼的文字和语言》[Owens，2007]。

2，它与双刃斧有关吗？

有趣的是，另外一块陶片描述了类似的供奉物——油。这块陶片是在或许以代达罗斯命名的庙宇或者庇护所里制作的（da-da-re-jo-de，tablet KN Fpl+31，line3）。有趣的是，在Paleolexicon里我们也可以找到da-da-re-jo-de一词：http：//www.palaeolexicon.com/default，aspx？static=12&wid=347048。但是，这块陶片上没有文字提到代达罗斯修建迷宫的事。

在此，我们可以提出许多问题。那位女士为什么会在迷宫里面？双耳瓶是如何供奉给她的？或许，身处迷宫是一种惩罚，在里面不容易见到人。对这种情况的可能解释是女士所处的地点并非我们后来所理解的迷宫，而是一个双刃斧状的对称宫殿。而labrys这个词来自于安那托利亚西部的吕底亚（参见普卢塔克）。实际上，在克诺索斯和克里特的其他地点也发现了很多呈镜面对称的双刃斧及其图像。埃文斯以及后来的很多学者接受了这个词来源于小亚细亚的说法。但不管怎样，这不表明迷宫肯定在克诺索斯。比如，欧文斯就提出了一个引人瞩目的新观点，强调迷宫即是双刃斧的所在，从而将注意力指向发掘出很多双刃斧的阿卡罗科林洞（cave of Arkalochori）。

根据赫伯格（Charles F.Herberger），以上这幅壁画具有历法功能。注意图中出现了斐波纳契数列：1、2、3、5、（8）、13，甚至导致数字产生的加法规则。关于这一图像的解读也可参照邓普西（JackDompsoy）的网文http：//www，crcgazottc.com/2008-12/minoan-calcltdar，php。

如何把a-ko-so-ne这个B类线型文字中表示“斧”的单词，与Paleolexicon计划中的labrys或者da-pu2-ri-to-jo在语音上联系起来？我可以给出一个象形文字的联系：a-ko-so-ne里面的第一个字符就像一柄双刃斧。实际上，不是所有的学者都赞同“迷宫”这个词与“双刃斧”有关联的，让我们来看看另外一个可能吧。

3，迷宫是矿井吗？

桑塔坎格力也提出了另外的看法，包括希腊语“迷宫”（1abra）一词的语源，他认为可能是“树丛”（grove），“洞穴”（hollow）或者“矿井”（mine）[santarcangeli，1967]。此书被一再重版（1988，2000）并被译成包括匈牙利文（1970，2009）、法文（1974）、罗马尼亚文（1974）、西班牙文（1997）在内的多种文字出版。

如果桑塔坎格力的推论成立，就意味着如果存在着米诺斯迷宫，它就可能在一个洞穴里面，这一点也曾被古希腊地理学家斯特雷波（Strabo，公元前1世纪）暗示过。这样，我们可以得到与欧文斯类似的结论，虽然他的基于双刃斧的出发点被否认。要知道，在克里特有上千个岩洞，其中很多具有类似迷宫的天然结构。桑塔坎格力还引用了其他的权威，包括古典文字学家也是荣格（Cad Jung）密切合作者的柯文依的著作。

遗憾的是，桑塔坎格力的意大利文著作没有在英语国家中流行。其后的某些版本中，包括西班牙文和匈牙利文的版本，有一篇由意大利著名哲学家和历史学家埃可（Umberto Eeo）撰写的前言。

这一题材的标准英文文献是马修（w.H.Matthew）的《迷宫：历史和演变》[Matthew，1922]。但是阅读过这一文献的多数读者并不知道桑塔坎格力在准备撰写自己的书的时候，曾访问过马修的遗孀及其女儿，并研究了马修留下的资料，对这些资料他在自己书的前言中强调过。假如桑塔坎格力的著作有一个英文译本，并且能与马修的著作并排放在书架上就好了。幸运的是，克恩（Hermann Kern）新近有关迷宫的德语著作被译成了英文[Kern，1982，2000]。

4，世界各地的迷宫

米诺斯文明衰退大约1000年后，迷宫的图形出现在克里特的硬币上。如下图所示，这些钱币的图形都是同一类的。它们采用了古代米诺斯迷宫的图案，还是新创造出来的图像？对此疑问我们将在下文予以回应。无论如何，在包括许多数学著作在内的文献中，“克里特迷宫”这个词指的就是硬币上的那种图像。

除了左上角的那个图案以外，克里特钱币上的迷宫图案皆为正方形，这很可能纯粹出于美学上的考虑，因为圆中容方的设计更为显眼。由于克诺索斯与特洛伊的发掘在时间上相隔不久，有一种误解认为迷宫与特洛伊有关。当然，这两个地方的居民可能存在种族上的联系，但是有关迷宫的神话是克里特的，其后发掘的大量钱币也是在克里特而不是在特洛伊。经过若干周折（迷宫式的周折？）之后，Caerdroia这一威尔士人对古代特洛伊的称呼，在英国变成了“草地迷宫”（turflabyrinths）。或许，发音上相似的caer troeau（意思是“转弯的堡垒”）可能为这个词语的传播添上翅膀。在山顶（twmpath）上修建迷宫，并以此作为仪式舞蹈的场所。克里特钱币上的图案大部分雷同且设计简单。虽然传统中的大部分元素已经丢失，twmpath dawns这个词组却幸存下来，本意是“集合起来跳民间舞”（字面翻译的意思是“山顶或小丘上的舞蹈”）。

需要强调的是，克里特的迷宫，无论是真正存在的还是钱币上的图案，都不是最早的迷宫图像。从史前时代开始，从西班牙到爱尔兰的多个地区都出现了具有迷宫形状的图像，有的是石洞壁画或者石雕。此外，也有迹象表明其他古老文明中也有真正的迷宫。就巴比伦和埃及来说，有两位学者的重要著作值得参阅[Bohl，1935][Petrie，1912]。

埃及的迷宫有可能影响了克里特迷宫的修建。狄奥多罗斯描述过埃及国王门德（Mendes）的坟墓，声称里面有一座迷宫，之后他写道：

有人说代达罗斯访问过埃及，他羡慕埃及的建筑艺术，因此为克里特国王米诺斯建筑7一座迷宫，与埃及的速宫相仿。迷宫里面关着一头怪兽，就是神话中传说的米诺陶。（Bibliotheca Historica 1，61）

老普林尼（Plinius the Elder）也留下了类似的记述，并说萨摩斯岛上的一个迷宫比克里特的迷宫更有名（HistoriaNaturalis 36，84-90）。

有趣的是。不仅克里特的统治者与迷宫有关，英国也有一个带有传奇色彩的迷宫，其用途与前者刚好相反。亨利二世（1133—1189）建造了一个花园式的迷宫，不是为了隔离危险的动物，而是为了隐藏其情妇罗莎蒙德（Rosamund Clifford）。但是，据说王后找到了这个女人并将其杀害。这一故事中关于犯罪的部分不是真实的，因为有证据表面罗莎蒙德死在修道院里，然而王后与她之间的斗争或许是真实的，并成为脍炙人口的民间传说，又激发了文学作品的创作。中国清朝的皇帝在北京的圆明园里也有个很大的花园，里面有被称为万花阵或黄花阵的迷宫。它修建于18世纪中叶，由花丛和高1，2米。总长1，6公里的砖墙构成。从迷宫中间的圆亭上面，皇帝可以在节日期间观看嫔妃手持灯笼竞赛（或许这是一个挑选天资聪明、身体健康的女子的好办法）。1860年，在第二次鸦片战争中，英法联军将圆明园夷为平地。不过圆明园的遗址上还保存有那个花园的大半，迷宫也按原样重建起来了。

在中世纪，迷宫样的图案被用来装饰基督教堂，典型的如12一13世纪修建的卢卡大教堂（Lucca Cathedral）的墙上就有与克里特神话有关的装饰，还有13世纪早期的夏特尔大教堂（Chartres Cathedral）、13世纪后期的亚眠大教堂（AmiensCathedral）的地板等。比如，在夏特尔大教堂的大厅地板中央有一个圆形的迷宫。直径达12，9米。人们可以在图案上行走。其作用或许是模仿朝圣者的心灵之旅，使得信徒无需长途跋涉就可以完成一段艰难的旅程。这也是鼓舞信徒追随宗教领袖（忒修斯）的足迹，抵抗邪恶（如牛首人身怪兽）以走向上帝的道场。另外一方面，从迷宫中逃脱意味着自由，这也是阿里阿德涅对忒修斯之爱的象征，无论克里特和雅典之间的恩怨如何。

人体内也有迷宫一样的器官：内耳的一部分，肠道系统、女性生殖器等。因此，婴儿的降生可以被解释为走出迷宫。在耳朵这个例子里面，迷宫（labyrinth）成了一个医学术语，而耳朵感染被称作labyrinthitis。梵文的术语kundalini，一个与婆罗门教中的神秘解剖术相关的词，意思是“像蛇一样蜷伏”，但是其可能的西方翻译是“力量之蛇”。心理学里则有迷宫测试，以研究动物甚至人类的记忆和定位能力。这个题材对计算机科学和人工智能的早期发展也做出过贡献。最后但并非最不重要的一点，在迷宫中找到最佳路线是一个重要的几何学问题，对此我将在下一节里讨论。

七、迷宫涉及的数学

1，迷宫的两种写法

我们来比较下面两个单词：labyrinth，严格来说意指一笔画的系统，其抵达中心（或某个确定点）的路途是明确的）maze，通常意思是多笔画的系统，有不同路途的选择。

在日常英语中，表述“迷宫”的这两个词是可以互换的，但大多数其他语言中没有类似的术语上的区别。不过，按照上面的定义强调两者的区别还是一个不错的选择。顺便提一下，在古代用法中，maze可做动词，短语to he mazed意思是“被迷惑”（to be confused），这意味中世纪英语中的maze一词与发狂和幻觉有关，真是不可思议！实际上，有人认为maze是由动词anlazo（使吃惊）演变来的。我也欣赏贾米森（Jolm Jamieson）的说法，在他的苏格兰词典里，maze这个词用来描述鲱鱼，表示鲱鱼的数量为五百[Jamieson，1825]。

大部分克里特钱币上的图案是一笔画的迷宫，而多笔画的相对罕见。另一方面，将一头危险的野兽关在一个一笔画迷宫式的囚牢里是不明智的，因为这样逃出去的可能性会比较大。因此，如果相信迷宫的传说有一定的事实基础，克里特人关押怪兽的迷宫应该是错综复杂的，而不是像钱币上的迷宫那样简单。当然，铸造带迷宫图案的钱币与建造一座地道的迷宫在工艺上太相径庭。

也有可能根本就没有关押猛兽的迷宫，但是因为其他原因人们建造了简单的迷宫，用于存储、珍藏东西或组织迷信仪式等等。后来这种传统通过牛首人身怪兽的故事得到解释，而设计迷宫的方法则一代代传承下来，最后在铸造钱币的图案中得到升华。

在中世纪教堂图案的例子里，迷宫的功能却不尽相同。如果我们认可这些图案是信徒前往圣地的象征，那么就应该只有一条通往中心的路径。这样一来，我们对这类图案多是一笔画的tabynnth而非多笔画的maze这一事实，就不会感到奇怪了。但是在花园的例子里，多笔画的迷宫更受青睐，因为顺着唯一的路径抵达迷宫中心再原路返回实在是煞风景的事。在这样的花园里，人们有不同的选择，就像人生中的大多数问题一样。实际上，我们的世界更像多笔画的maze，而非单笔画的labyrinth。

但是如何创造一个简单的迷宫呢？有什么窍门设计一个带有平衡结构的迷宫吗？一个可能的答案在下图中给出。

在这里，我们看到一个“对称-非对称原理”。从一个对称的图案开始，使用一条弧线将其变成不对称的。弧线不仅可以向右旋，而且可以左旋。如此循环往复，最终组成迷宫式的镜像图案。想一想我们在前文中引用的普卢塔克描述的忒修斯舞蹈，它“源于迷宫中旋转的通道，由某种进退有序的不同格调组成的优美旋转演变而来”。显然，上面的设计方案可以通过模仿有关舞蹈的描述而得到。

如果还记得牛首人身怪兽的故事，我们将意识到任务应该在迷宫深处的某个中心地完成。但是，这个中心可能是一个具有特定属性的点。比如，很多现代迷宫的目标中心就是离开这个系统的出口，也就是通过一个单行道的门进入迷宫，然后找到一条出路。我们在此使用的“中心”一词，实际上指代一个特定的目标点。

2，迷宫与柯尼斯堡桥问题

很容易看出来，一笔画迷宫（labyrinth）不可能是镜面对称的，除非在退化变形的例子中（现在我们仅仅考虑2维的例子）。反之，我们设想有一个镜面对称的一笔画迷宫，那么它的中心应该在对称轴上，否则迷宫就会有两个中心。如果对称轴之外存在一条通向中心的通道，该通道的镜像图就成了通向中心的第二条通道。这与一笔画迷宫的定义相悖。因此，唯一的可能就是通道本身也在这条对称轴上，其外绝无支路存在。如此一来，我们就只有一条笔直的通道，一头是入口，而另一头是迷宫中心。显然，没有人会认为这样的构造是个真正的迷宫。

另一方面，在多笔画迷宫（maze）的例子中，镜面对称却不会被排除，明确1一点讲，建造这样的迷宫轻而易举。让我们考虑一个点和在平面上到达该点的路径，在平面上经过指定的点作一条直线，然后依对称轴作出其镜像；再继续作（互不交叉的）折线（及其镜像），如此多次就能画出一个简单的封闭的路径（及其镜像），注意在该路径与对称轴相接的地方留一个“入口”，这样就构造成了一个镜面对称的迷宫。

规划城市观光计划时，一笔画路线是否存在的问题时常会出现。显然，人们应该尽量避免沿着同一条路折返，因为那样既浪费时间又索然无味。柯尼斯堡桥问题就是一个出色的历史典范，这座普鲁士城市（现俄罗斯加里宁格勒）坐落在一条河的两岸，包括河中的两个小岛，全城有七座桥将两岸及小岛连接起来。问题是，一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点？所有的努力都是徒劳的，这个看起来浅显的问题的答案是无解。具体来说，高产的瑞士数学家欧拉——或许没有人有他那么多的学术论文证明不存在这样的路径。是不是这一数学结论激励了后来的城市管理者建造了第八座桥呢？欧拉在离柯尼斯堡不远的圣彼得堡工作了很长时间，并于1736年在那里发表了自己的结果。

欧拉不仅对柯尼斯堡桥这个特殊的例子饶有兴趣，而且研究了一系列更广义的街道或桥梁的节点（边）相连的问题。问题是：在什么情况下可以建造一条环路，其起点和终点合一，而经由此路可以通过全部桥或者街道而不重复旅程？现在这种路线被称作欧拉回路。通过现代术语，欧拉证明在一个平面图中存在欧拉回路的必要条件是每个交点连接着偶数的边（每个交点的度或阶为一偶数）。他声称这也是充分条件，但没有提供证明。这是开启一门叫做图论的崭新数学领域的第一步。在货郎担问题中，我们面对的不是一个观光客，而是一名推销员或邮递员，他将选取尽可能短的路线抵达给定的地点。在这类问题里面，推销员可能绕过某条街或者某座桥，因为没有必要走这些地方。该问题最初是由爱尔兰数学家哈密尔顿（1805-1865）以趣味游戏的形式表述出来的；不过很明显，它有很多实际的应用价值。对称的货郎担问题要求任意两点之间的距离在两个方向上相等，换句话说，道路必须是双向且条件全同的。无论如何，单向道路、交通阻塞、修路和其他许多问题都可以打破对称，因此研究非对称的货郎担问题是必要的。

3，如何在一笔画或多笔画迷宫中找到出路（迷宫算法）？

或许，数学期刊中关于一笔画迷宫的首篇文献是由德国数学家、物理学家和哲学家威纳（Christian Wiener）撰写的[Wiener，1873]。他也因解释微粒在液体中的布朗运动以及厚达800多页的哲学著作而知名。在这一著作中，威纳提出了“正则性”（regularity）的现代概念，成为数学物理中的重要成果，对此可查阅拙作“理想和模糊的对称；从难到易”[Nagy，1988]。

位置几何（geometria situs）这个词由欧拉引进并被威纳采用，现在被称为拓扑学。尽管威纳论文标题表达的意思不够清楚，文中第一句话还是阐述了它将讨论的内容：下面将要解决的问题，也是至今还没解决的问题是，如何从一笔画迷宫中走出来？

威纳阐述的方法可以称为“顺墙算法”，或者“左手（右手）法则”。在迷官人口处，我们用左手或者右手扶墙，然后使这只手不离开墙而前行。这是一个有趣的非对称法则，因为我们必须只用固定的一只手。威纳的论文里没有任何图示，但是很容易对这一法则给予有形的解释：让我们把墙“折”成一个环路，就可以很容易地看到沿着环路展开的正确通道。我们可以推测威纳是受到德国数学家希尔霍泽（carHierholzer，1840-1871）的启发而开展对迷宫研究的，后者第一个就欧拉的陈述给出了完整的证明，但是由于英年早逝，其工作在生前没有发表。正是威纳将希尔霍泽留下的论文加以整理，附在自己论文后面发表的[Hierholzer，1873]。

至于多笔画迷宫，这里不是仅有一条途径可以抵达中心而是存在多种可能的路线——找到一条抵达中心或特定点（可能是离开迷宫的唯一出口）的路线就会难多了。法国工程师垂谋（Charles Tremaux，1859-1882）为此提出了一种算法，由卢卡斯收入他的《数学娱乐》一书而得到传播[Lucas，1882]，其要点是：

遇到以前未曾经历的一个交叉路口，可走任何一条路，

遇到死胡同转身往回走：

遇到以前到过的一个交叉路口，尽可能选择一条未曾走过的路；

在这种情况下，假定每条路都已经走过的话，选择一条仅走过一次的路：

如果所有的路都走过不止一次，就回到最后一次经过的交叉路口。

垂谋的方法是为首次进入多笔画迷宫且对其结构不了解的人设计的。不管怎样，还可能存在另外一些复杂的情况，例如人们对迷宫的构造已有一定的了解，但是需要找到一条具有特殊性质的路途，比如最捷路径。

八、科学与艺术中的迷宫

在数学娱乐中，与迷宫相关的数学问题长盛不衰。在本文的参考文献里，我列举了多达五种语言的早期涉及此问题的书籍。令人兴奋的是，英国数学家鲍尔（w w Rouse Ball，1850-1925）不仅花了一整章来讨论迷宫问题，而且在自家花园里建造了一个多笔画迷宫，这—点也写进他的书里[Ball，1892]。加拿大几何学家考克斯特（H，s，M Coxcter）是ISIS的名誉成员，他对鲍尔书的后来版本做一些修订和扩展。沿着欧拉的足迹，柯尼希（D6nos K6nig）对图论展开了初步探索。的确，他的《有限和无限图论》是这一领域的第一部专著[Konig，1936]。令人有些惊异的是，这本德文书在半个多世纪后还被译成英文，可见它的学术价值很高。

值得指出的是，如果多笔画迷宫中没有环路，它就相当于图论中的树。至此我们应该考虑一棵真正的树的结构：树干之上不断长出新的枝干，每个树干都独立生长而不相互纠缠·从数学上讲，树就是一个没有循环的图。

在控制论的早期历史、以及之后计算机科学和人工智能的发展历程中，迷宫在计算机程序和简单机器人（有时被称作“智能鼠”）的测试领域发挥了重要的作用。起初，格子迷官被当作网格线上的方格和墙，机器人可以在临近的单元格之间移动。信息论的先驱和被称作“香农熵”的创造者香农（Claude E，Shannon，1916-2001）是最早探索这些问题的学者[Sharmon，1951/1952]。

相关的工作促进了应用数学和计算机科学突飞猛进的发展。迷宫算法以及其后诸如货郎担一类问题的发展，导致多种新的分支领域的出现，如线性规划、算法理论、离散优化、神经网络等。货郎担算法在多种领域中得到运用：从物流到微芯片设计，从生物信息到DNA测序。实际上，如同早期控制论的先驱们希望的那样，这些方法在生物和社会系统中都派上了用场。

鼠和其他动物解决问题能力或记忆力的测试，经常会在特制的多笔画迷宫里进行，以便观察测试对象能否找到食物或水。近来，生物学家发现章鱼具有在这种环境中找到方向的特殊本领。但是如果我们把更为复杂的海床与迷宫相比的话，就不会感到那么惊讶了。在迷宫实验和迷宫疗法方面也有很多的文献资料。最近，迷宫类电脑游戏风靡一时，其目的是使人在紧张的生活中些许放松点节奏。

怪兽米诺陶和迷宫的话题也启发了现代艺术家：从毕加索的版画到渥林格（Mark Wallinger）布满迷宫图案的瓷砖，后者于2013年被装饰在伦敦有着150年历史的地铁系统中的270个地铁站里。1994年，日本的迷宫艺术家关三平（Sanpei Seki）在筑波市一个由ISIS协办的会议上展出了他的相关作品，现在他又把自己的新作品带到了克里特大会上。

在现代文学的例子里，可以列出很多作品来，但是现在我只提一位，那就是阿根廷作家和诗人博尔赫斯（Jorge Luis Borges，1899-1986），他对迷宫的特别兴趣在一些短篇小说中表现出来，包括《两个国王和两个迷宫》（1939）、《不朽》（1947）和《星辰之屋》（1947）。

在前文中，我们不仅与牛首人身的怪物米诺陶，而且与克里特迷官中的传奇星辰都“会过面”，它们构成了一个克里特钱币双面上的一对黑白对照的反对称组合。这个事实也在提醒我们：存在两种或多种不同的意见是好事，让它们对称地进入我们的视野吧，包括在本届大会的讨论之中。