由定到动，层层深入

顾彦

二次函数最值问题处理中，从学生易错点入手分析，由易到难，由单一到复合，总结规律，探究在教学中渗透数学思想方法的途径

二次函数最值二次函数型数形结合分类讨论二次函数求最值问题是高中数学教学的重点和难点，不仅在高一阶段，即使到了高三，有的学生还是会直接代入端点去求“最值”.解决这类问题往往需要在教学中引导学生发现考虑对称轴和区间位置关系的重要性，并且通过比较这两者在图象中的位置关系，从而利用函数的单调性来解决相关问题.二次函数在高中数学中有着特殊的地位，对它的研究，是对进一步学习研究其它函数提供了一种函数原型.见微知著，也为对其它复合函数问题的解决提供原型启发.因此我在教学中，将此类问题的教学例题总结如下.

一、定对称轴定区间

例1.分别求出二次函数f（x）=x2+2x-3在区间＼[-4，-2＼]，＼[-4，-1＼]，＼[-4，0＼]，＼[-1，2＼]，＼[-2，2＼]上的最值.

解析：首先求出对称轴是固定的x=-1，通过观察图象可知函数在各给定端点的区间内的单调性，从而进一步可以求出对应的最值（如图1）.

1.在＼[-4，-2＼]上，函数f（x）单调减，所以函数最大值为f（-4），最小值为f（-2）.

2.在＼[-4，-1＼]上，函数f（x）仍然单调减，所以函数最大值为f（-4），最小值为f（-1）.

3.在＼[-4，0＼]上，函数f（x）有两种单调性，在＼[-4，-1＼]上单调减，在＼[-1，0＼]上单调增，所以函数最大值为f（-4），最小值为f（-1）.

4.在＼[-1，2＼]上，函数f（x）单调增，所以函数最大值为f（2），最小值为f（-1）.

5.在＼[-2，2＼]上函数f（x）有两种单调性，在＼[-2，-1＼]上单调减，在＼[-1，2＼]上单调增，所以函数最大值为f（2），最小值为f（-1）.

继续观察，引导学生发现当对称轴夹在定义域两个端点中间时，对称轴的偏左或偏右影响了函数取另一个最值时的自变量取值，而这里的“偏左”“偏右”指的是对称轴在端点中点的左边或右边.当抛物线开口向上，且对称轴在区间的中点（-2，0）的偏右处时，函数最大值是取区间左端点.而当抛物线开口向上，且对称轴在区间的中点（0，0）偏左处时，函数最大值是取区间右端点.

总结：对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间＼[m，n＼]上求最值时，应当先求出对称轴x=-b2a，再观察对称轴与定义域的位置关系.

通过较为简单的问题引导学生发现，在求二次函数最值时考虑对称轴与区间位置关系的必要性，为后面解题时使用分类讨论的思想方法打基础.

二、定对称轴动区间

例2.求出二次函数f（x）=x2-2x+3在区间＼[a，a+4＼]上的最值.

解析：求出对称轴x=1，由前面的经验，应当讨论定对称轴与动区间的位置关系.

1.如图2-1，当a+4≤1，即a≤-3时，在＼[a，a+4＼]上，函数f（x）单调减，所以函数最大值为f（a），最小值为f（a+4）.若当1∈＼[a，a+4＼]时，需要增加考虑对称轴与区间＼[a，a+4＼]的中点（a+2，0）的位置关系.

2.如图2-2，当a+2≤1

3.如图2-3，当a<1

4.如图2-4，当a≥1时，在＼[a，a+4＼]上，函数f（x）单调增，所以函数最大值为 f（a+4），最小值为f（a）.

三、动对称轴定区间

例3.求出二次函数f（x）=x2-2ax-3在区间＼[-2，2＼]上的最值.

解析：此题对称轴为x=a，但是定义域端点是确定的数值，此时仍要注意考慮对称轴与定区间的位置关系.

1.当a≤-2时，函数f（x）在＼[-2，2＼]上单调增，所以函数最大值为f（2），最小值为f（-2）.若当a∈＼[-2，2＼]时，需要增加考虑对称轴与区间的中点（0，0）的位置关系.

2.当-2

3.当0

4.当a≥2时，函数f（x）在＼[-2，2＼]上单调减，所以函数最大值为f（-2），最小值为 f（2）.

四、动对称轴动区间

例4.求出二次函数f（x）=-x2+ax+2在区间＼[a，a+4＼]上的最值.

解析：求出对称轴x=a2.

引导学生由以上例题发现，二次函数的最值可能会出现在那几个点？学生发现经过那么多次计算，即使出现字母系数，二次函数的最值仍然只会是定义域端点对应的函数值或图象的顶点对应的函数值中较大者或较小者.

由以上探讨可知，包括二次函数型复合函数的最值问题的解决过程中，让学生有意识观察对称轴与区间位置关系是关键，从而能提高解题的正确率。

参考文献：

＼[1＼]涂荣豹.数学教学认识论＼[M＼].南京师范大学出版社，2003.

＼[2＼]钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学＼[M＼].北京师范大学出版社，2001.

＼[3＼]郑毓信.数学方法论＼[M＼].广西教育出版社，1996.