古代一元一次方程问题探究实录

2014-04-29曹焱

语数外学习·上旬 2014年12期

关键词：方程解算术总数

曹焱

人教版《数学》七年级上册108页有一道悠久历史的名题，简要记述了希腊数学家丢番图的生平，题中没有明确说出丢番图的寿命等数字，但又隐含于题中。如何解决这类古代问题？笔者进行了这样的教学探索：

活动1：故事里的数学

课件：链接动画“趣味故事——愣人请客”

传说中有个人因为不讲究说话艺术，结果把好事办坏了。

一天，他大摆宴席，请来了一些客人。他看有几位客人还没有到，就自言自语地说：“怎么该来的还不来呢？”客人们听了，心想：“这么说，我们都是不该来的啦！”于是，有一半人悄悄走了。他一看人走了许多，十分焦急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，已走的都是不该走的，那么，该走的倒是我们了。于是，又有三分之二的人离开了。

这人一见客人都陆续不辞而别，急得直拍大腿，连连说：“这，这，我说的不是他们！”最后剩下的3人一听，心想：“那定是说我们了！”于是，一个个也拍拍屁股抬脚告辞了。结果，所有的客人都走光了。

师：同学们，首先我们一起来听个小故事……。（师链接动画“趣味故事——愣人请客”，生声情并茂讲故事）

师：你知道，故事中所有的客人分几次走光的？

生：分三次走光的：第一次，有一半人悄悄走了；第二次，又有三分之二的人离开了；第三次，最后剩下的3人告辞了。

师：好！根据这位同学的分析，1、2、3组的同学能否试着用算术方法求故事中一开始共来了多少位客人？4、5、6组的同学能否尝试着用方程解呢？看看哪一组的同学更快。（学生分组讨论，组长负责记录，教师巡视、参与讨论）

师：我们先来听听第1组的探究成果。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）

生：我们组一致认为可以把来客总数看作一个整体，那么第一次走后剩下总数的1-■=■。第二次走了剩下人数的■，就是走了总数的■×■=■。所以最后余下的3人，相当于总数的：1-■-■=■，所以，客人总数是：3÷■=18（人）。

师：这个小组用算术方法确定了客人总数，探究成果是显著的，这位同学的讲解也很清晰，值得我们学习。能用方程思想来解吗？第4组展示一下。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）

生：我们是用方程来解的，首先我们发现三次走掉的人数之和等于来的客人总数，可以设开始时共来了x位客人，则三次走掉的人数分别是■x、■×■x、3，所以列出方程：

■x+■×■x+3=x，解得：x=18。所以，共来了18位客人。

师：今天同学们的探究都很投入，分别从算术和方程两个角度解决数学实际问题，成果斐然。尤其上来讲解的同学语言简洁、明了，非常清楚地表达了他们的想法，值得大家学习。

活动2：丢番图墓志铭

链接动画：1. 丢番图简介 2. 丢番图的墓志铭

公元3世纪古希腊的著名代数学家丢番图的墓碑上，刻着如下的铭文：

“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数目可以告诉您，他一生究竟有多长。他生命的六分之一是幸福的童年。再活了十二分之一，颊上长起了细细的胡须。丢番图结了婚，可是还不曾有孩子。这样又过了一生的七分之一。再过了五年，他得了头胎儿子，感到很幸福。可是命运给这孩子在世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。自打儿子死了以后，这老头儿在深深的悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯。

请您算算看，丢番图活了多大岁数？

师：从“丢番图的墓志铭”上你可以知道丢番图的一生分成了几个阶段？

生：可以分： “六分之一的童年，再活了十二分之一，又过了一生的七分之一，再过了五年，他孩子的生命（又过了一生的一半），又活了四年”六个阶段。

师：这位同学分析的非常好，下面各小组可以选择用算术方法解或用方程解合作完成。

看看哪一组的同学更快。（学生分组讨论，组长负责记录，教师巡视、参与讨论）

师：我们先来听听第3组的探究成果。（将记录投影，学生代表结合投影讲解）

生：我们组一致认为可以把丢番图的一生当作一个整体1，因为题中只有一个四年和五年是具体数量，所以要考虑这九年占的分率，相除即可得出。设单位“1”，即丢番图活的岁数为：4+5÷1-■-■-■-■=84（岁）

师：有其它解法吗？第5组

生：我们组认为：丢番图的年龄必为12和7的公倍数，12与7的最小公倍数为12×7=84，检验后，84就是他的年龄。

师：方程思想怎么做？第6组

生：设丢番图的年龄是x岁，由题意可得：

■x+■x+■x+5+■x+4=x，