谈谈初中数学的反例教学

邹建平

要说明一个命题的正确，必须经过严密的逻辑推理论证，而要否定一个命题，则只需举出一个符合题设而与结论相矛盾的例子就行了.这种与结论相矛盾的例子叫做反例.在数学教学中，反例和证明同样重要.因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以教学中注重反例的运用不但可以使学生发现错误和漏洞，而且可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，从而提高思维的灵活性.其次，教师在教学时，不但要适当使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景.又由于在通常情况下，许多反例的构建不是唯一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调用他们的数学功底，充分展开想象，因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程.教学实践证明：恰当运用反例进行教学，有助于培养学生思维的缜密性、灵活性、发散性和创新性，深刻理解和掌握所学的基础知识，训练正确的解题能力等作用，其在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可.

一、恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念

恰当运用反例，可以进一步使学生对所学概念的反思，引起矛盾冲突，促使学生积极思维，在矛盾冲突中使学生对所学概念的认识得以完善，从而达到深刻理解和掌握概念.

二、恰当出示反例，帮助学生掌握数学中的定理或性质

学生在学习一个新的定理或性质时，往往会忽略定理或性质中的关键词语，从而造成解题错误.为了克服这一现象，恰当引入反例，可以帮助学生记忆这些关键词语，从而达到掌握定理和性质，并能理解性地加以应用.

例如，在教学三角形全等的识别方法：“有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”时，学生习惯性地忽略夹角中的“夹”字，而误记为“有两边和一个角对应相等的两个三角形全等”.于是教师可以出示如下反例：

如图，BC=BC′，并且AB=AB，∠A=∠A，但△ABC和△ABC′显然是不全等的.这样的反例可以使学生理解此定理中夹角中的“夹”的深刻含义，达到准确掌握和运用定理的目的.

三、恰当引入反例，帮助学生牢固、准确掌握公式

四、恰当分析反例，帮助学生发现问题，纠正错误

在教学实践中，我发现恰当运用反例教学，能有效帮助学生发现问题，纠正错误.一方面，我让每个学生准备一个专门用于订正练习中错误的笔记本，叫学生自己分析错误原因，写出正确答案.另一方面，将学生中带有共性的容易出错的问题放在一起讨论，使他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法.每一次的错误分析其实都是一次成功的反例研究，对学生的进步具有很大的推动作用.

例如，在教学分式方程的解法时，学生在去分母时经常会漏乘.教学中可以准备如下的例题：

五、恰当构建反例，培养学生思维的创造性

反例的运用、构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体.反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以反例构建不能就事论事，而要把问题的产生过程，如何构建出反例的思维过程充分展现给学生，使反例构建与整个推理过程有机结合，从而培养学生思维的创造性.

例如请学生判断“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是真命题吗？

教师在教学时可以利用严格的尺规作图进行如下的反例构建：

建立△ABC，使得AB=AC，在△ADC外（∠DAC<∠ABC）作△EAC，使AE=BD，CE=AD.從而有△AEC≌△BDA.则得∠D=∠E，AD=CE.但四边形ADCE不是平行四边形.

总之，在数学教学中，适时地引入一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们理解数学概念、巩固和掌握定理、公式和法则，纠正一些习惯性的错误，全面正确地培养思维的创新性.