斐波那契数列的研究与应用

摘 要：斐波那契数列是由著名的意大利数学家斐波那契提出的兔子问题引发而生的。它一经被提出就受到了社会的广泛关注，经过人们的不懈努力，发现了斐波那契数列不可估量的重要作用。文章将对斐波那契数列进行简单的介绍，然后探讨一下斐波那契数列的重要学术意义和实用价值。

关键词：斐波那契数列；研究

意大利数学家斐波那契，出生在一个富商家庭，是12世纪欧亚之间数学交流的重要使者。他涉及的数学领域非常广泛，对数学的发展有着重要的影响。他在1202年的著作《计算之书》中，提出了“生小兔问题”。此问题一经提出，受到了人们的广泛关注。从这个十分简明的递推关系出发，竟引出了一个充满奇趣的数列，它不仅与几何图形、黄金分割、杨辉三角等数学知识、植物生长等自然现象有着非常微妙的联系，还在优选法、计算机科学等领域有着广泛的应用。文章首先对斐波那契数列的产生背景进行介绍。

1 斐波那契数列的产生背景

Fibonacci数列是由意大利的数学家斐波那契提出的兔子问题引发而生的。斐波那契出生在比萨的一个富商家庭，是十二世纪欧亚之间数学交流的重要使者。他是欧洲黑暗时期过后第一个有影响的科学家。他涉及的数学领域非常的广泛，他在1202年写成的《计算之书》中，提出了兔子问题，即：若每一对成兔每月生一对幼兔（一雌一雄），幼兔经过二个月后成为成兔，即开始繁殖，试问年初的一对幼兔（没有死亡疾病）一年后能繁殖成多少对兔子？四百多年后，荷兰数学家（吉拉尔）注意到与兔子问题有关的数列的一般递推关系式un=un-1+un-2，后来这个数列被F.E.A.Lucas首先命名为Fibonacci数列。

2 斐波那契数列的应用

2.1 黄金数与斐波那契数列

2.1.1 黄金数w=0.618…与斐波那契数列{un}之间有关系式：

2.1.2 黄金数与几何图形的联系

（1）黄金三角形简介

定义：底与腰之比为w的等腰三角形。它有很多特殊的性质，这里就不再赘述。

（2）黄金椭圆简介

定义：设c为椭圆的焦半径（c2=a2-b2），若以c为半径的圆（称为该椭圆的伴随焦点圆）的面积与椭圆的面积相等，则，且称此种椭圆为黄金椭圆。类似的还有黄金矩形等等。

2.2 杨辉三角形与斐波那契数列

杨辉三角形按一定的规律排列，并且竖列相加（不进位），则得到斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…

2.3 斐波那契数列在定理证明上的应用（略）

2.4 斐波那契数列在优选法上的应用（略）

2.5 斐波那契数列与数学拼图

把一个边长为8的正方形按如图1所示的方式剪裁（沿图中的粗线），然后拼成如图2所示的矩形，

图1 图2

拼后我们发现原来正方形的面积为S正=8×8=64，而得到的矩形的面积为S矩=13×5=65，用原图形拼接的图形的面积为何多出一个单位面积呢？细心的话，会有人亲自动手剪一下拼接，会发现用图1拼接出的矩形中间是有一段缝隙的，如图2所示。

通过观察我们发现正方形、长方形的边长分别为8、5、13，调换一下位置变成5、8、13，则它们恰好为斐波那契数列中相邻的三项，由斐波那契数列的性质2，即n，这里面的un-1un+1相当于上面拼图问题中的矩形的面积，u是正方形的面积，所以很容易便解释了上述拼图中出现的问题。

2.6 斐波那契数列与生活、自然界的联系

斐波那契数列与自然界也有着紧密的联系。下面举出几个例子加以说明。

2.6.1 斐波那契数列与树木的生长

树木在生长过程中，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。换句话说，树枝的繁衍方式是按照斐波那契数列增长的。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。同样，许多植物的花瓣数目也具有斐波那契数。

2.6.2 斐波那契数列与台阶问题

有一个楼梯，要求一次最多只能迈两个台阶。若有一个台阶时，只有一种走法，我们把它记为F1=1；若有两个台阶，则有两种走法，即一阶一阶的走，记为（1，1），一步两阶的走，记为（2），即F2=2；若有三个台阶，则有三种走法，即（1，1，1）、（1，2）、（2，1），记为F3=3；若有四个台阶，则有五种走法，即即我们所熟悉的斐氏数列。

2.6.3 斐波那契数列与雄蜂家族、钢琴键盘

在蜜蜂王国里，有着明确的分工。只有一只雌蜂能产卵，被称作蜂后，其余的雌蜂都为工蜂。蜂后与雄峰交配后产下蜂卵，大部分是受精卵，其孵化后为雌蜂，少数的未受精卵经孵化后成为雄蜂。如果追溯一只雄蜂的家系，它的任何一代的祖先数目都为斐波那契数列中的数。

2.6.4 斐波那契数列与植物的叶序

植物的叶序即植物生长过程中叶、花、果在茎上的排列顺序，开卜勒对此进行了研究，他指出植物叶子在茎上的排列，对于同一种植物是有一定的规律的，如果把位于茎周同一母线位置的两片叶子叫做一个周期，则将是一个特定的值，它与植物的品种有关。

此外斐波那契数列在很多数学问题当中也有着广泛的体现，比如概率问题、代数问题等等。以上即为本人在学习斐波那契数列的心得与总结，由于知识有限，会有一些纰漏与疏忽之处，望指正！

参考文献

[1]屈红方.斐波那契数列及性质[J].科技信息.

[2]李勇，姜学文，蒋伯浩.关于斐波那契数列性质的简单证法及其推广应用[J].太原教育学院学报.

[3]闫萍，王见勇.斐波那契数列与黄金分割数[J].高等教学研究.

作者简介：贾菲菲，哈尔滨师范大学，教师教育学院，学科教学（数学）专业，2012级研究生，籍贯：黑龙江省齐齐哈尔市。