起主导作用的特殊情形的注释和实践

杨燕

摘 要：波利亚在其名著《数学与猜想——数学中的归纳和类比》中对特殊与一般的关系作了深入的阐述，其中以“起主导作用的特殊情形”给笔者留下的印象最为深刻。

关键词：主导；数学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）03-260-01

波利亚在其名著《数学与猜想——数学中的归纳和类比》中对特殊与一般的关系作了深入的阐述，其中以“起主导作用的特殊情形”给笔者留下的印象最为深刻，且在解题中屡试不爽，现将这一思想介绍给大家，并提供两个实例，与诸位共享。

一、引文——波利亚对“起主导作用的特殊情形”的注释

多边形面积为 ，其所在平面与另一个平面的交角是 ，求这多边形在另一平面上正投影的面积.

由于没有指定多边形的形状，但是有无穷的各种各样可能的形状，应该首先讨论哪种形状呢？

有一种形状讨论起来特别方便：底边平行于两个平面的交线的矩形，设这种矩形的底是 ，高是 ，其面积为 ，其投影长度分别是 ，投影面积是 .故若多边形面积是 ，则投影面积是 .

底边平行于 的矩形不仅是特别容易处理的特殊情形，而且又是一种有主导作用的特殊情形，主导特例的解包含了一般问题的解.故由此可以推广到直角边平行于 的直角三角形（用对角线平分上述矩形）；再推广到一种平行于 的三角形（由上述两个直角三角形组成）；最后推广到一般多边形（可以分解为前述许多三角形），甚至我们还可以推广到曲边形（看作多边形的极限）

二.例证——对“起主导作用的特殊情形”的实践

例1：已知圆 ，直线 过定点 . 若 与圆相交于 两点，线段 的中点为 ，又 与 的交点为 ，判断 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.

评析：首先看下面的解法：

直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为 .

这一解法可谓中规中矩，但思维含量少，缺乏创意，使这道独具匠心的试题趋于平淡.看下面的分析：

⑴考察起主导作用的特殊情形（如右图）：直线 经过圆 的圆心 ，此时 的中点与圆心 重合，且 的直线方程为： .

.

以过圆心C的直线 作为“起主导作用的特殊情形”，虽浅显自然，但直击本质，抓住了问题的主要矛盾，为思维的进一步展开奠定了基础；接着分别构造两个直角三角形，将一般情形巧妙地化归为特殊情形，凸现出特殊情形的主导地位，而其中结论“ ”的发现是关键，是一个平淡中见神奇的亮点，也正是本题最精致的地方，真可谓意境深远！

“起主导作用的特殊情形”有时并不能完整得出问题的解答，而仅仅从一个侧面起到制约和导向作用，为思维的顺利展开提供一个方向，成为整个问题的一个依托点。

参考文献：

[1] 波利亚.数学与猜想——数学中的归纳和类比.北京.科学出版社.2001.