完备格上交既约元的性质

祝祯祯, 卢 涛

(淮北师范大学 数学科学学院,安徽 淮北 235000)

交既约元作为格论中的一种特殊元素,具有一些很好的性质,在格论中占有重要的地位,许多学者对其进行了研究.在完全分配格中,每一个元素都可以表示成若干交既约元的交的形式;在格上Fuzzy关系方程的研究中,王学平[1]、李裕梅[2]分别在完备Brouwerian格和完全分配格上通过交既约元对Fuzzy方程进行了研究并得到了很好的结论.本文对完备格上交既约元作了进一步推广,首先给出连续交既约元的概念,然后在完备格上对交既约元的性质进行了讨论.

1 预备知识

定义1[3]设P是偏序集,对任意a,b∈P,如果a

定义2[3]设L为格,对任意x,y,a∈L,如果a=x∧y,蕴含x=a或y=a,则称a为格L的交既约元.记M(L)={a∈L,a为交既约元}.

定义3[4]设L为完备格,a∈L,如果对任意的S⊆L,由a=∧S可推出a∈S,则称a为格L的完全交既约元.记Q(L)={a∈L,a为完全交既约元}.

定义4设L为完备格,a∈L为交既约元,如果存在S⊆L,由a=∧S可推出a∉S,则称a为格L的连续交既约元.记C(L)={a∈L,a为连续交既约元},显然1∈C(L).

定义5[4]设L为完备格,对于L的任意子集S,若k≤∨S,则存在S的有限子集T,使得k≤∨T,称k为L中的紧元.

例1设格L=[0,1],则对任意的a∈L,有a∈C(L),事实上,对任意a∈L,1∈M(L),且a=∧{x|x∈(a,1)}.

例2设格L=[0,1]×[0,1],实数集上的大小关系为L上的偏序关系,则对任意的a,b∈[0,1),有〈a,1〉∈C(L),〈1,b〉∈C(L).事实上,〈a,1〉=∧{〈x,0〉|x∈(a,1)},〈b,1〉=∧{〈0,y〉|y∈(b,1)}.

注1〈1,1〉∈M(L),〈1,1〉∉C(L),〈1,1〉∉Q(L).

例3设L={〈x,x〉|x∈[0,1]},则对任意的x∈[0,1],〈x,x〉∈Q(L);而对任意x∈(0,1],〈x,x〉∈C(L).事实上,〈a,a〉=∧{〈x,x〉|x∈(a,1]}.

注2由定义知,完全交既约元与连续交既约元都是交既约元的特例.

事实上,取S={x,y}可知,完全交既约元是既约元.

引理1设L为Brouwerian格,对任意的a∈L,S⊆L,如果a∈Q(L),且a≥S,则存在b∈S,a≥b.

注3若a∈C(L),a≠0,则引理1不一定成立.

如对点集S={〈x,0〉|x∈(0,1],∧x=0}中的点,(0,1)∈C(L),∧S=(0,0),从而〈0,1〉>∧S,但对任意的b∈S,〈0,1〉≯b.

2 交既约元的性质

设L为格,a,b∈L,a={x∈L|x≥a},↑a={x∈L|x>a},(a,b]={x∈L|b≥x>a},a‖b表示a与b不可比较大小.

若无特别说明,下面L表示完备格,0与1分别表示最大元与最小元.

定理1设L是格,对任意的a∈L,如果存在x≻a,y≻a,则x‖y且x∧y=a.

证若x≻a,y≻a,则对于任意的y,x>y>a,对于任意的x,y>x>a都不成立.故x≯y,y≯x,从而x‖y.若x∧y≠a,x∧y=b,则b>a,与x≻a,y≻a矛盾.故x∧y=a.

定理2设L是格,a∈M(L),则a至多有一个上邻.

证若a∈M(L),则a有两个上邻x,y,x≠y,由定理1得,x∧y=a.而x≻a,y≻a,这与a∈M(L)矛盾.因此a至多有一个上邻.

定理3设a∈L,则a∈Q(L)的充分必要条件是a有唯一上邻.

证若a∈Q(L),则a≠1,↑a不为空集.又L为完备格,∧↑a存在且∧↑a≥a.因a∈Q(L),对任意x∈↑a,x>a,所以由定义3知∧↑a≠a,即∧↑a≥a.设∧↑a=b,若存在x∈L,使b>x>a,显然x∈↑a,从而知∧↑a是a的上邻.由定理2知∧↑a是a的唯一上邻.

反过来,若a有唯一上邻,设b≻a.对任意S⊆L,若a=∧S,则一定有a∈S.否则a∉S,对任意x∈S,x≥a,从而x≥b,因此∧S=∧x∈S.x≥b>a,这与a=∧S矛盾.所以对任意S⊆L,若a=∧S,则一定有a∈S.由定义知a∈Q(L).

定理4设L为Brouwerian完备格,若a∈Q(L),则a是紧元.

证若S⊆L,a≥∧S,则由定理1知,存在b∈S,使b≥a,因此存在有限集T⊆L,a∈T,使得a≥∧T,所以a是紧元.

定理5设a∈M(L),a≠0,则a∈C(L)的充分必要条件是a没有上邻.

证设a∈C(L),a∈M(L),若a有上邻,由定理2知a有唯一上邻.设x>a,由于a∈C(L),则存在A⊆L,a∉A,使a=∧A,从而对任意b∈A,b>a.又x≻a,所以对任意b∈A,b≥x,因此∧A≥x>a,这与a=∧A相矛盾.所以a没有上邻.

反过来,若a没有上邻,由a≠0,L完备,则∧↑a存在,且∧↑a≥a.若∧↑a≠a,由定理3知,∧↑a是a的上邻,这与a没有上邻矛盾,所以∧↑a=a.从而对任意x∈↑a,x≥a且a∈M(L),所以a∈C(L).

定理6若M(L)不为空集,则M(L)=Q(L)∪C(L).

证显然由注2知Q(L)∪C(L)⊆M(L),且对任意的a∈M(L),由定理2知,a至多有一个上邻.若a有唯一上邻,由定理5知,a∈C(L),所以a∈Q(L)∪C(L),从而M(L)⊆Q(L)∪C(L).

定理7设a∈L,a≠1,则a∈M(L)的充要条件是:对任意的b,c∈↑a,(b,a)∩(c,a)≠∅.

证设a∈M(L),对任意的b,c∈↑a,若c≤b或b≤c,显然有b,c∈↑a,(b,a)∩(c,a)≠∅.若b‖c,则a≤(b∧c),但b∧c≠a,否则b∧c=a,因b≠a,c≠a,这与a∈M(L)矛盾,从而a<(b∧c).所以b∧c∈(b,a)∩(c,a)≠∅.

反过来,若对任意的b,c∈↑a,b∧c∈(b,a)∩(c,a)≠∅,a∈M(L),则存在b,c∈↑a,使得b∧c=a.因b∧c∈(b,a)∩(c,a)≠∅,设d∈(b,a)∩(c,a)≠∅,则c≥d,b≤d,从而b∧c≥d>a.又b∧c=a,矛盾.所以a∈M(L).

设L是完备的分配格,b∈C(L),b≠0,记S={B⊆L|b∉B,b=∧B},则显然有↑b∈S,且对任意B∈S,B⊆↑b,且↑b中无极小元,即对任意x∈↑b,存在y∈↑b,使y

定理8若b∈C(L),b≠0,则对任意的B∈S,|B|=∞.

事实上,若|B|<∞,由引理1知b∈A,与b∈C(L)矛盾.

定理9若b∈C(L),B∈S,则对任意x∈B,b=∧(B{x}).

定理10若b∈C(L),B∈S,若D⊆B,|D|<∞,则b=∧(B/D).

定理11若b∈C(L),D⊆L,b≥∧D,且对任意d∈D,b≯d,则|D|=∞.对任意T⊆D,若|T|<∞,则b≥∧(D/T).

3 结论

本文在引入连续交既约元的基础上,给出交既约元的分类,然后在完备格上对交既约元的性质进行探讨,但对交既约元的性质及分解有待进一步探讨.

参考文献:

[1] Wang Xueping.Infinite fuzzy relational equation in a complete Brouwerian lattice[J].Indian J Pure Appl Math,2002,33(1):87.

[2] 李裕梅.完备Brouwerian格上Fuzzy关系方程的极大解存在的一些条件[D].成都:四川师范大学,2003.

[3] Birkhoff G.Lattic theory[M].3rd ed.New York:Amer Math Soc Colloq Public,1979:10-35.

[4] Crawley P,Dilworth R P.Algebraic theory of lattic[M].Englewood Cliffs:Prentice Hall,1973:3-20.