基于二分法的函数图像描绘

罗远峰 LUO Yuan-feng；王净 WANG Jing

（①遵义师范学院数学与计算科学学院，遵义 563002；②贵州省习水县树人中学，习水 564600）

（①School of Mathematics and Computer Science，Zunyi Normal College，Zunyi 563002，China；②Guizhou Xishui County Shuren Middle School，Xishui 564600，China）

0 引言

众所周知，用近似值的方法描绘出函数图像，若取值越精确、描点越稠密，所得图象就越准确。近似求解的方法发展到今天，已经成为数学领域一个独立的分支。“逐步搜索法、二分法、牛顿法、迭代法、玄截法、抛物线法等”[1]，都是计算数学中用于计算近似值的基本方法。二分法已经用于求方程近似的解、求函数零点及极值点的近似值、广义多项式求值、证明实数连续性中的部分定理、证明不等式等。但却还未涉足用以描绘函数的图像。因此，本文阐述了如何用二分法描绘函数图像及其优越性。

表1 函数零点近似值表

1 二分法求函数零点近似值的步骤

“若函数f（x）在区间[a，b]上连续，且有f（a）f（b）＜0，则f（x）在区间[a，b]内有零点。通过不间断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法”[2]。求函数零点近似值的步骤：①确定区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0，给定精确度 ε；②求中点；③计算 （fc）；若 （fc）=0，则c就是函数的零点；若f（a）f（c）＜0，则令a（此时零点x0∈（a，c））；若f（b）f（c）＜0，则令a=c（此时零点x0∈（c，b））；④判断是否达到精确度ε；即若|a-b|＜ε，则得到零点近似值a（或b），否则重复②～④。

2 用二分法求函数的零点和极值

用二分法求函数极值的近似值，主要是利用函数的驻点来对函数的极值求近似值，这类问题要求函数本身在给定的区间上具有一阶导数，如果所求函数的导函数不是基本初等函数，那么选择用二分法去求它的近似值完全适用。

例1：求函数y=x4-4x3-x的零点与极值的近似值（精确到 0.01）。

解：因为函数y=x4-4x3-x可看成 x4、4x3和 x三个子函数的代数和，而x4是较 x3、x更高阶的无穷小，当 x＜0 时，y＜0，当 x=0时 y=0，当 x＞5 时，y＞0。因此，此函数零点所在区间为[0，5)。现利用逐步搜索法寻找函数零点所在区间，取区间长度为0.05求得函数零点所在区间为[4,4.5]（表1）。

由于|4.0625-4.054875|＜0.01，已达到精确度，所以，可取4.0625作为函数零点的近似值，此时，函数y=x4-4x3-x相应的近似值为y4.0625≈0.1279。因此，函数的一个零点为0，另一个零点的近似值为4.0625。

由于函数在实数集上可导，有y′=4x3-12x2-1，令 y′=0可将上式变为4x2（x-3）-1=0，显然，当 x=0时，y′＜0，当 x=4 时，y′＞0。当 x＜0 时，y′＜0，当 x＞4 时，y′＞0。因此导函数 y′=4x3-12x2-1的极值点的近似值所在区间为（0，4）（表2）。

由于|3.0234375-3.03125|=0.0078125＜0.01，因此，导函数方程的零点近似解可取为x=3.02734375。又因为x=3.02734375 时 y′＞0，x=3.0234375 时 y′＜0，所以函数 y=x4-4x3-x的极值点的近似值为y≈-31。

表2 函数极值近似值

3 用二分法求函数的拐点

函数拐点是函数图象上凸和下凸的分界点，而函数的凸性在具体描述函数的性态和证明不等式方面有广泛的运用。因此，利用二分法求函数拐点的近似值能够更准确地描绘函数的图像，拓展二分法的应用。在求函数拐点的近似值时，仍需要从函数拐点的定义入手，利用函数二阶导数的性质来为二分法的应用提供条件。所以，要求函数具备二阶导数。

例2：求函数y=x4-4x3-ln|x|（x∈R，x≠0）的零点、极值点、拐点的近似值（精确到0.01），并描绘函数的图像。

解：由于此函数在（x∈R，x≠0）上存在二阶导数，其二阶导函数为，令 y″＜0，利用逐步搜索法取区间长度为0.5，得出二阶导函数的零点所在区间为（1.5，2）和（0，1），区间端点导函数值然后求二阶导函数零点的近似值。

由于|1.976525-1.98437125|＜0.01，|0.375-0.3828125|＜0.01，因此可取二阶导函数的零点分别为x1=0.375，x2=0.976525。此时，y1≈0.97，y2≈-16.41。由函数拐点的定义可知，（x1，y1）是函数的拐点，又因为（x2，y2）左侧下凸，右侧下凸。所以（x2，y2）不是函数的拐点。参照例1的方法，求得函数y=x4-4x3-ln|x|的零点近似值分别为x3=0.5495，x4=4.015；导函数的零点近似值分别为x5=-0.4175，x6=3.0215,此时,函数极值的近似值分别为 y5≈1.2,y6≈-29.37。

4 用二分法描绘函数图像的认识

4.1 用二分法描绘函数图像的优越性 利用二分法描绘函数图像主要是利用函数的零点、极值点、拐点的近似值，以整体把握函数的基本性质，进而描绘出函数的图像，而且在求某些函数的渐近线上仍然可以运用二分法。另外，“基于区间套定理的理论基础结合‘代整为零，积零为整’的数学思想，二分法可以有效证明不等式。”[3]“二分法简单直观，特别适合用来求迭代法的初值。”[4]总之，用二分法求近似值的思想易于理解，便于掌握。

4.2 用二分法描绘函数图像的弱点及改进设想 从以上几个例子容易看出，“用二分法求函数零点近似值收敛速度太慢”，如果不借助计算机，很难操作，且用二分法求函数的零点、极值点、拐点方面常常很难找全零点所在的区间。另外“用二分法求函数零点时，如果在区间[a，b]内有多个实根，则单独利用二分法只能得到其中一个实根”[5]。因此在找函数的零点问题上，可考虑用函数的极值、单调性、拐点等来探求函数零点的近似值，可以综合运用其它来描绘函数图像，这样便解决了收敛速度过慢的问题，但在这方面需要进一步探索。

5 结束语

本文仅仅研究了二分法描绘函数图像的一些步骤，结合自身实践对该方法的优劣与发展提出了看法和设想，认识难免肤浅，还需今后进一步探究。另外，也期待对该方法有研究者的交流指导。

[1]肖筱南.现代数值计算方法[M].北京:北京大学出版社,2003，7（第1版）：80-83.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版，2007，1（第 2版）：89-91.

[3]刘小明.二分法思想的应用[J].高中生之友,2011，12(9)：27-28.

[4]郑成德,李志斌,王国灿,孙日明,李炎淼.数值计算方法[M].北京：清华大学出版社,2010，9（第1版）:142-158.

[5]徐士良.数值分析与计算法[M].北京：机械工业出版社，2007，1（第1版）：154-156.