一个关于无k次幂因子数的方程

杜晓英

（晋中学院数学学院，山西 晋中 030600）

对任意的正整数n和素数p，k≥2是任给定的整数如果有pk|/c(n)，则称c(n)是自然数n的无次幂因子部分。在文献[1]的第31个问题中,罗马尼亚著名的数论专家F.Smarandache教授建议大家去研究无k次幂因子数c(n)的性质。关于这个问题很多学者已对它的多种性质进行了研究。例如，张天平在文献[2]中运用解析方法研究并得到了一个有趣的渐近公式。在文献[3]中，朱伟义研究了另一个关于无k幂因子数c(n)的性质，在文献[4]中，刘燕妮和高鹏利用初等方法研究了一个关于无k次幂因子数的数论函数的性质，并计算出了它的均值。

我们建立然后研究探讨了有关无k次幂因子数c(n)的方程，并得到了下面关于正素数解的结论:

定理令m为完全k次幂因子数，那么对任意正整数 k≥2,方程 c(n1)+c(n2)+…+c(nt)=mc(n1+n2+…+nt)有无穷组正素数解。

利用初等的方法以及相关的著名的歌德巴赫猜想来完成定理证明。为了引用的方便,我们把著名的陈景润定理以及三素数定理给予简单的介绍:

陈景润定理:任意一个充分大的偶数2N都可以表示成2N=p1+p2,或者2N=p1+p2p3，其中 p1,p2及p3为互异的素数。

三素数定理:任意一个充分大的奇数都可以表示成三个奇素数之和。即2N+1=p1+p2+p3,其中p1，p2及 p3都为奇素数。

关于这两个著名的数论定理证明可以参阅文献[5]。

以此得到三素数定理的推广结论:设k为大于3的奇数,那么任意充分大的奇数都能够表示成k个奇素数的和。

利用上面的这几个重要的结论完成定理证明。对任意完全k次幂因子数m都能够容易的找到无k次幂因子数q,使得c(mq)=q成立,接下来我们分别讨论t的几种情况。

(a)当t=2的时侯,若m是偶数,则mq也是偶数,由陈景润定理可以知道当mq充分大的话就有mq=p1+p2或mq=p1+p2p3,其中p1，p2及p3为各不相同的素数。取 n1=p1, n2=p2,或 是 n1=p1,n2=p2p3。则 有:mc(p1+p2)=mc(mq)=mq=p1+p2=c(p1)+c(p2)，或者mc(p1+p2p3)=mc(mq)=mq=p1+p2p3=c(p1)+c(p2p3)。由于 pi(i=1,2,3)是任取的素数,所以有无穷组(n1,n2)。也就是说待证方程有无穷组正素数解(n1,n2)。所以,定理的结论正确。

若m是奇数,而2整除q,那么mq也是偶数，因此与前面的情况相同。

即使q不能被2整除，2mq也一定为偶数,则通过陈景润定理可以知道当2mq充分大的话就有2mq=p1+p2或者是2mq=p1+p2p3,其中 p1,p2,p3是互不相同的素数,2q是无k次幂因子数。因此满足mc(p1+p2)=mc(2mq)=2mq=p1+p2=c(p1)+c(p2)或者是mc(p1+p2p3)=mc(2mq)=2mq=p1+p2p3=c(p1)+c(p2p3)。因此待证方程有无穷组正的素数解。

(b)当t=3的时侯,若m是偶数,则mq也是偶数,因此由陈景润定理知，可以对充分大的无k次幂因子数q,有mq=2+p1+p2或者是mq=2+p1+p2p3,这里2,p1,p2,p3是互异的素数。因而有mc(2+p1+p2)=mc(mq)=mq=2+p1+p2=c()2+c(p1)+c(p2)或者是mc(2+p1+p2)=mc(mq)=mq。如果m是奇数,且2|q,则mq也是偶数，那么与前面的情况相同。

若2|/q,由三素数定理可以知道对于充分大的奇数q满足mq=p1+p2+p3,令n1=p1,n2=p2,n3=p3,则mc(n1+n2+n3)=mc(p1+p2+p3)=mc(mq)=mq=p1+p2+p3=c(n1)+c(n2)+c(n3)成立，则待证方程有无穷多组正的素数解。

(c)当t＞3时,我们也将分成两种情况来分别讨论:

(i)若m是偶数,那么mq同样也是偶数。当t为奇数时,对足够大的q,mq同样充分大,则由三素数定理的推广结论设mq=2+p1+p2+…+pt-1,则mc(2+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=2+p1+p2+…+pt-1=c(2)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。

当t是偶数的时候,同时mq也充分大，则可由三素数定理的推广结论得出mq=3+p1+p2+…+pt-1,因此就有mq(3+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=3+p1+p2+…+pt-1=c(3)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。即此时的待证方程仍然有无穷多组正的素数解(n1,n2,…,nt)。

(ii)当m是奇数时,而q是偶数,那么mq同样是偶数,跟上面的情况一致。

如果q为奇数,则根据三素数定理的推广结论容易得到当t为大于等于3的奇数时,mq=p1+p2+…+pt。因 此就有 mc(p1+p2+…+pt)=mc(mq)=mq=p1+p2+…+pt=c(p1)+c(p2)+…+c(pt)。这时可令n1=p1,n2=p2,…,nk=pt,由素数 p的任意性就可以得到定理。

若t是偶数,那么当mq充分大的时侯由三素数定理的推广结论可以得到mq=2+p1+p2+…+pt-1。那么就有mc(2+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=2+p1+p2+…+pt-1=c(2)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。可以令n1=2,n2=p1,…nt=pt-1立刻就得出定理的结论。即此时方程同样有无穷组正的素数解(n1,n2,…,nt)。

结合以上的各种不同情况就完成了该定理的证明。

[1]F Smarandache.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago：XiquanPublishing House,1993.

[2]Zhang Tianping.On thek-Power Number Free Number Sequence[J].Smarandache Notion Journal,2004（14）:62-65.

[3]Zhu Weiyi.On thek-Power Complement and Onk-Power free Number Sequence[J].Smarandache Notion Journal,2004（14）:66-69.

[4]Liu Tanni and Gao Peng.Mean value of a new arithmeticfunction[J].Scientia Magna,2005（1）:187-189.

[5]潘承洞，潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科学出版社.1979.