关于两个以上个偶数个接连的正整数、偶数、奇数的神奇特征（续十六）

王仲才

（南昌理工学院，江西 南昌 330044）

设n,l,h≥2为正整数，我们有

［定理1］ 接连的2h个正整数的2l次方中，前h个取负，后h个取正，则它们的代数和是h的整数倍。

证明 以n为头的接连2h个正整数中，前h个是

个h个是n+h,n+1+h,n+2+h,…,n+2h-1

对应项之差都是h，若a,b是正整数，a=b+h，那么

那么，对应项的平方差是h的整数倍，那么，总的平方的代数和是h的整数倍

已知l=1，2时，结果成立。假设结论对

成立，那么对于

由归纳假设，结论对于应项成立，从而总的代数和结论也成立。

证毕。

［定理2］ 接连的2h个正整数的3l次方中，前h个取负，后h个取正，则它们的代数和是h的整数倍。

证明 已知接连的2h个正整数中，前后h个对应项之差都是h，由2数立方差公式

得悉对应项的立方差都是h的整数倍，那么总的代数笔也是h的整数倍，即l=1时，结论成立。假设

是h的整数倍，那么

由归纳假设，它是h的整数倍，那么，总的代数和也是h的整数倍。证毕。

［定理3］ 接连的2h个正整数的5l次方中，前h个取负，后h个取正，则它们的代数和是h的整数倍。

证明：接连的2h个正整数中，前后h个对应项之差都是h，那么

即它是h的整数倍，从而总的代数和也是h的整数倍，即l=1时，结论正确。

由归纳假设和上面的证明，它也是h的整数倍，从而总的代数和也是h的整数倍。

证毕。

［定理4］ 接连的2h个正整数的7l次方中，前h个取负，后h个取正，则它们的代数和是h的整数倍。证明 若a是正整数，则由（1）式

即它是h的整数倍，即对于l=1，结论对于对应项成立，那么，总的代数和结论也成立。

由归纳假设和上面的证明，即对应项结论成立，那么，总的代数和结论也成立。

证毕。

注意到：4l=22l，6l=2l×3l，8l=23l，9l=32l，10l=5l×2l。则有

反复应用［定理1］、［定理2］、［定理3］、［定理4］即得结论，证毕。

注意到接连的2h个偶数中，前h个是

后h个是

对应项之差都是2h

那么类似关于接连2h个正整数相应结果。

我们有［一般定理6］接连的2h个偶数的

次方中，前h个取负，后h个取正，则它们的代数和是h的整数倍。

证毕。

注意到接连的2h个奇数中，前h个是

后h个是

对应项之差都是2h

那么类似［一般定理6］

我们有［一般定理7］接连的2h个奇数的

次方中，前h个取负，后h个取正，则它们的代数和是h的整数倍。

证明，这完全类似［一般定理6］的证明，略。

证毕。

注：取h=3,6，即得文，的部分结果。

注：由以上结果的证明中，得悉对于

次方，结果都成立。

［1］王仲才.关于接连的6的整数倍个正整数、偶数、奇数的3的任意次方的代数和的神奇特征［J］.江西广播电视大学学报,2011（4）.

［2］王仲才.关于12的神奇特征［J］.江西广播电视大学学报,2012（2）.