一种震动耦合扩散的去除乘性噪声模型

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(中原工学院，郑州 450007)

乘性噪声广泛存在于现实生活的很多应用当中,如核磁共振、合成孔径雷达、遥感、超声波、激光等相干成像领域当中。与加性高斯噪声不同,乘性噪声服从Gamma分布。目前去除加性噪声的研究较为成熟,传统的去除加性高斯噪声的模型对于去除乘性噪声并不适用。而乘性噪声对图像的污染很严重,降低了图像的画面质量,对图像分割、目标检测以及边缘提取等都有不同程度影响[1-2]。

Rudin L I等在经典的去除加性噪声的全变分模型(ROF模型)基础上首次提出了去除乘性噪声的RLO模型[3-4]:

(1)

Aubert G和Aujol J A提出了利用最大后验概率(Maximum a posterioro,MAP)估计方法去除乘性噪声的AA模型[5-6]:

(2)

Jin Z M等提出了利用对数变换z=logu去除乘性噪声的JY模型[7]:

(3)

Huang Y M等提出了去除乘性噪声的HNW模型[8]:

(4)

上述这些模型的正则项均为各项同性的全变分,在去除噪声的同时存在一些不足之处：边缘模糊、纹理不清晰、平滑区域产生“阶梯效应”。本文将震动滤波引入去除乘性噪声模型中,去噪模型由扩散项、震动滤波和保真项构成。BZN用来表示图像中一个小邻域内由类似成分组成的像素的个数。采用BZN可区分边缘、噪声以及平滑区域[9],进而在用此模型去噪的同时能够较好地保留图像的边缘和细节信息。

1 震动滤波

各向异性扩散方程在进行反向扩散的时候可以对图像增强,但是这个二阶非线性方程是不稳定的,不能保证问题的解是唯一的。针对此,Rudin L I等提出了一个稳定的双曲型偏微分方程,用来增强图像,这就是经典的震动滤波模型[10]:

ut=-sign(uη η)|u|

(5)

其中,sign(uη η)是符号函数,uη η表示图像沿梯度方向的二阶导数。

在含有噪声的图像中,震动滤波模型式(5)不能区分边缘和噪声,从而震动滤波在增强边缘的同时也增强了噪声。采用图像的二阶导数与低通滤波作卷积,能够克服震动滤波这一缺陷。如采用图像的二阶导数与高斯滤波作卷积,得到如下模型[11]：

ut=-sign(Gσ*uη η)|u|

(6)

2 各向异性扩散模型

经典的Gauss滤波为各向同性低通滤波,在去噪的同时会模糊图像的边缘。Perona P和Malik J首先提出了基于PDE的各向异性扩散模型(PM模型)[12]：

(7)

其中,扩散速度函数g(|u|)是一个单调非增的函数,在梯度模值较大的边缘,扩散速度较小,可以保护边缘；在平滑区域,扩散速度较大。常用的扩散速度函数如下：

(8)

其中,k为阈值。

在PM模型中,扩散速度函数g(|u|)对噪声很敏感。为了得到更好的去噪效果,近年来很多学者都在对扩散速度函数g(·)进行改进[13-15]。

3 震动耦合扩散去噪模型

3.1 BZN的定义

文献[13-15]中改进的扩散速度函数g(·)依赖于图像的梯度模值|u|,从而改进后的扩散速度函数在保护边缘的同时减少了对噪声的扩散强度,不能有效地去噪。在边缘、噪声和平滑区域的一个小邻域内,由类似成分组成的像素的个数有很大的区别,比如对于噪声来说,在它的一个小邻域内,由类似成分组成的像素的数目是最小的。设BZN表示一个小邻域内由类似成分组成的像素的个数,从而采用BZN可以区分边缘、噪声和平滑区域[9]。由于p点的像素值u(p)的不确定性,文献[9]中计算BZN的算法会直接影响区域的划分。因此，对计算BZN的算法进行改进,定义如下:

定义 令p=(i,j)表示一个像素点的坐标,Mp(w)={(k,l)∶|k-i|≤w,|l-j|≤w}表示以p点为中心的(2w+1)×(2w+1)(w>0)的邻域内的像素点,m表示所有对应于Mp(w)的像素值的均值。∀q∈Mp(w)的灰度强度Np(q)可分为两类：

(9)

其中,T为预定阈值(T>0),u(q)表示q点的像素值。那么像素点p的BZN被定义为：

(10)

通过分析,可以得到像素点Mp(w)的个数N=(2w+1)2,BZNp(u,w,T)∈[0,N]。从BZN的定义中可以得到BZN有以下性质:

(1)噪声像素点的BZN最小,接近于0;

(2)边缘像素点的BZN接近中间值;

(3)内部像素点的BZN最大,接近于N。

3.2 扩散速度函数g(·)

g(BZNp(u,w,T))=

(11)

其中,BZNp(u,w,T)∈[0,N],g(BZNp(u,w,T))∈[0,1],如图1所示。

图1 扩散速度随BZN的变化情况

根据扩散速度随BZN的变化情况可知,扩散速度函数在边缘(BZN接近中间值)的扩散速度最小,趋于零;在平滑区域(BZN最大)和噪声点(BZN最小)的扩散速度都比较大。这样,在去噪的同时可以有效地保护边缘。

3.3 控制保真项参数λ(·)的选取

结合BZN的性质,定义控制保真项参数λ(·)如下：

(12)

其中,λ(BZNp(u,w,T))∈[0,0.5]。

λ(BZNp(u,w,T)) 是单调递增函数,在噪声点的值最小,在平滑区域的值最大,可以保证去噪后的图像与原始图像差异不大。

3.4 模型的提出

乘性噪声的去除问题就是从观测图像中恢复出原始图像。本文考虑如下乘性噪声模型：

u0(x)=u(x)v(x)

(13)

其中,x=(x1,x2)为图像所在区域Ω内的点,u0、u、v分别表示观测图像、待恢复图像以及噪声。假定噪声服从均值为1的Gamma分布，令f=logu0(x),z=logu(x),n=logv(x),式(13)可转化为：

f=z+n

(14)

结合式(6)、式(7)和式(11),提出去噪模型如下：

zt=-(1-α)sign(Gσ*zη η)|z|+

αdiv(g(BZNp(u,w,T)z)+λ(logu0-z)

(15)

该模型的初始条件为：z0=logu0。

式(15)中,第一项是震动滤波项;第二项是扩散项;第三项是保真项;α是尺度参数;λ是控制保真项参数,其取值按照式(12)计算。

4 模型求解

4.1 模型离散化

假定初始离散图像u0的大小为m×m,令Δt为时间步长,空间采样间隔Δx=Δy=h=1,w=2,T=30。在噪声点,α取值较大,接近于1;在边缘处,α取值较小,接近于0;在平滑区域,α=0.5。对式(15)采用有限差分格式进行离散化求解,其离散形式如下：

(16)

其中：

Dxx(zi,j)=(zi+1,j-2zi,j+zi-1,j)/h2；

Dyy(zi,j)=(zi,j+1-2zi,j+zi,j-1)/h2；

Dxy(zi,j)=(zi+1,j+1+zi-1,j-1-zi+1,j-1-zi-1,j+1)/4h2；

4.2 算法实现

经过上述分析，给出震动耦合扩散的去噪算法如下：

Step1:设u0、u、v分别表示观测图像、待恢复图像、噪声。迭代次数为K,时间步长Δt=0.2,置n=0,z0=log(u0),err=10-3;

Step2:用式(10)计算BZN;

Step3:用式(11)计算扩散速度函数g(·);

Step4:用式(12)计算控制保真项参数λ(·);

Step5:用式(16)计算zn+1;

4.3 实验结果

利用上述算法对Lena图像用Matlab编程进行仿真实验。实验效果如图2所示，图中：(a)为原始图像;(b)为加入服从均值为1的Gamma分布的含噪图像;(c)为采用JY模型去噪后的图像;(d)为采用HNW模型去噪后的图像;(e)为本文去噪模型的图像。通过比较这几种算法的去噪效果图可以看出:HNW模型的去噪效果要比JY模型的好些,但是会出现“阶梯效应”,而且会使边缘模糊;本文去噪算法采用BZN来区分噪声点、边缘区域以及内部平滑区域,可以在去噪的同时有效地保护边缘。

从数据上比较算法的优越性,采用峰值信噪比(PSNR)和均方误差(MSE)来评价去噪后图像效果。PSNR和MSE的计算公式如下,计算结果如表1所示。

其中,u0(m,n)表示原始图像,大小为M×N;z(m,n)为去噪后的恢复图像。

表1 不同模型去噪后的峰值信噪比(PSNR)和均方误差(MSE)

5 结 语

本文分析了经典的扩散去噪模型的优缺点,将震动滤波引入去除乘性噪声模型。去噪模型由扩散项、震动滤波项和保真项构成,文中把扩散速度函数g(·)改进为一个多项式函数,也对控制保真项参数λ进行了改进。该去噪算法采用BZN来区分噪声、边缘以及平滑区域,在去噪的同时能有效地保护边缘,同时也能抑制“阶梯效应”的产生,是一种有效的去噪算法。

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