高中生数学解题错误探析及其矫正研究

●马文杰

高中生数学解题错误探析及其矫正研究

●马文杰

高中生在数学解题中出现的各种错误有一定的必然性与合理性，并具有重要的教学价值，是在数学教学过程中可资借鉴的重要的教学资源之一。面对高中生在解题中出现的形形色色的错误，在数学教学中教师应该持有积极的态度，运用科学的方法引导学生分析产生错误的认识根源，揭示错误的类型与程度，探究相应的矫正方法，并通过必要的正误对比，逐步加深学生对错误解法的认识，及其对正确解法的理解。在综合相关研究的基础上，提出了矫正高中生数学解题错误的4条教学策略。

高中生；数学解题错误；认识根源；矫正策略

解题是高中数学教学与数学学习的重要活动之一，在解题过程中学生难免会出现各种各样的错误。不少高中数学教师对学生在解题中出现的错误缺乏正确的认识与足够的重视，对其解题错误的分析与矫正往往乏善可陈，缺乏效果。在教学过程中有时候会出现教师辛辛苦苦地纠错，学生依然故我地出错的尴尬局面。心理学家盖耶（A.Guyer）说：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”[1]错误本身并不可怕，可怕的是无视学生的学习错误，或对学生的学习错误持有消极的态度与错误的对待方式，比如在教学过程中对学生学习错误的严重忽视，或者片面化归因与简单化处理，等等。在教学中教师如果能够以积极的态度和科学的方式对待学生在数学学习（包括解题过程）中出现的各种错误，必能使学生的数学学习错误发挥出其应有的教育价值。本文综合高中生解题错误的相关研究，并在教学实践的基础上对高中生数学解题错误的原因进行深入探析，并提出相应的矫正策略。

一、在教学中对学生数学学习（解题）错误常见的认识误区

在平常的数学教学活动中，在对待学生学习过程中出现的错误上，有些教师还存在一些误区：[2]（1）粗暴对待错误；（2）没有足够耐心；（3）害怕学生出错；（4）通过反复训练纠正错误。另外，我们认为教师在对待学生数学学习过程中出现的错误上还存在以下误区：（1）对数学学习错误归因的简单化、片面化、表面化与静态化，没有认识到学生在数学学习过程中出现的错误的历史性、复杂性、多样性、反复性、个体性、群体性，以及动态性，更没有认识到学生在数学学习中所出现的某些错误的必然性与合理性。比如把学生数学学习（解题）错误总是简单地归结为：学习不积极、听课不认真、解题不仔细，等等；（2）对数学学习错误的简单否定，及其错误矫正方式的直接化与简单化，和由此导致的错误矫正的低效性与无效性。比如很多教师纠正学生解题错误的方式就是在课堂教学中把正确解法直接讲解一遍，缺乏对错误根源的探析，正误解法的必要对比，以及适当的变式练习，学生改正解题错误很多时候也只是把老师讲解的“正确解答”依葫芦画瓢地重新书写一遍，缺乏对错解的深入分析与必要反思，等等；（3）缺乏对数学学习（解题）错误及其教育价值的辩证认识。只看到数学学习（解题）错误的恶的一面，比如数学学习（解题）错误对学生数学学习的干扰与阻滞，等等，而看不到其善的一面，比如数学学习（解题）错误的合理性、资源性价值与可利用性，及其数学学习（解题）错误对学生数学思维特征与数学思维水平的揭示，对数学教学的诊断与反馈功能，等等。

二、对高中生数学解题错误应持有的基本认识

陈丹（2006年）[3]认为教师对学生学习过程中出现的错误应该持有以下一些基本的态度：（1）尊重学生的见解；（2）帮助学生比较不同观念；（3）要有足够的耐心；（4）要懂得学生的心理；（5）帮助学生形成对待学习错误的积极态度。

我们认为对待高中生数学解题错误应该持有以下的基本认识：（1）数学解题错误具有一定的必然性与合理性。由于高中数学的抽象性、严谨性，以及知识容量大，习题难度高（题目类型多，解题技巧强，计算量大，等等）等特点，和高中生认知发展的不平衡性与个体差异性等，因此，一直以来数学都是高中各科中较为难学的一门学科，也是较易造成两极分化的一门学科。另一方面，在数学发展的历史过程中，许多数学家也犯过形形色色的错误，现在来看，当时的数学家所犯的有些错误堪称“低级”，但由历史相似性原理可知，高中生在数学学习过程中也会在一定程度上“重蹈历史覆辙”，因此，他们在数学学习（解题）中所发生的各种错误有一定的必然性与合理性；（2）数学解题错误的资源性价值与可利用性。学生在解题中出现的各种错误并不是一无是处，而是具有重要的教育价值。如果教师在数学教学过程中能够充分发掘与有效利用学生的各种错误资源，完全可以实现变废为宝。有些解题错误具有一定的偶发性，是由粗心大意或一时疏漏所造成的，对这类偶发性的错误完全可以通过引导学生认真分析题意，仔细运算或进行适当的解题检验等解决。有些解题错误包含一定的正确因素，在教学过程中进行错误分析时既要指出其错误之处，分析其错误的性质，又要积极利用其正确因素，合理构建纠错过程，使学生对其解题错误的认识更加辩证、全面、深入和客观。有些解题错误具有典型性、普遍性与根本性，比如题目类别的错误识别、解题方向的错误确定、解题方法（策略）的不当选择、数学性质的错误运用，等等。对此类具有一定普遍性与根本性的错误，在教学过程中应该引导学生在独立思考，或共同探究与讨论的基础上，从认识根源上揭示错解的根本原因，以及错误的性质与程度，提出相应的矫正方法，并通过必要的正误对比加深学生对正确解题方法的认识与理解；（3）数学解题错误的教学诊断功能。不管学生的解题过程与解题结果正确与否，都能揭示有关数学教学与数学学习过程的大量信息。比如普遍性和典型性的解题错误可以揭示学生在数学认知上存在的普遍性问题，偶发性和个别性错误可以揭示个别学生的认知特点与不足，等等。在备课前通过专门设计的测试题，及其对学生解答过程的正误分析，可以较为准确地了解其已有的知识储备，认知特点和思维水平，为教学预设与教学定向奠定坚实的基础。在教学过程中，学生所出现的各种理解错误，包括解题错误，可以为教学效果的及时诊断与教学过程的即时调整提供基本依据，而在课后教师还可以通过专门设计的测试题，或者有针对性的作业等对教学效果进行进一步的检验，这可为后续教学的调整与改变提供更为全面和深入的依据。总之，不论是哪一种数学学习（解题）错误，都能在一定程度上揭示学习者的知识贮备、认知特点、思维水平，以及非智力因素等方面的重要信息。

三、对高中生数学解题错误（失败）的原因探析

吴茜（2011年）[4]认为对高中生数学解题失败的成因及矫正策略的分析，具有以下的基本意义：（1）使教师的教学过程更具有针对性；（2）有助于揭示学生解题的思维过程；（3）有助于发展学生的自我批判能力；（4）有助于增强学生学习的自信心；（5）有助于完善数学认知结构，并认为高中生在数学解题中失败的主要原因有：[5]（1）已有知识不充足；（2）概念理解不透彻；（3）公式掌握不到位；（4）解题反思不到位；（5）最初审题不细致；（6）不善归纳与整理；（7）数学学习习惯方面；（8）数学解题心理方面。胡望秋（2007年）[6]认为造成初中学生解题错误的干扰主要来自以下两方面：（1）小学数学的干扰；（2）初中数学前后知识的干扰，并提出了相应的应对策略：（1）课前准备要有预见性；（2）课内讲解要有针对性；（3）课后讲评要有总结性。

综合吴茜（2011年）、[7]胡望秋（2007年）[8]等有关学生解题错误的研究，我们认为高中生数学解题错误的基本原因从大的方面可以概括为：（1）数学教材本身的原因。比如高中数学教材的抽象性与严谨性等都比较高，知识容量比较大，对数学知识（方法）多以简缩化、静态化的方式呈现，缺乏对数学思维过程的有效揭示，等等。另外，数学课程在素材选择、内容安排与组织等方面的缺陷与不足，又进一步加大了学生在数学学习中出错的可能性。另一方面，在数学发展过程中当时的数学家所犯的各种错误，在高中生学习数学的过程中也会不同程度的“重现”，再加上高中生认知水平与思维水平的差异性与不平衡性等特点，因此，从某种意义上来说，高中生在数学学习（包括数学解题）过程中发生一些错误，有一定的必然性与合理性；（2）数学教学过程本身的原因。比如教师对学生已有的数学知识基础与数学思维水平了解不够，教学准备不足，教学方法选择不当，教材内容把握不准确，甚至对某些数学内容的理解有科学性错误，或者教学过程中的反馈与调节缺乏灵活性，等等，都会在一定程度上造成教学失误。另外，“课堂教学是由多要素构成的复杂系统，系统的结构性和关系性决定着：尽管课堂教学作为有目的、有意识的教育活动，是必须也能够进行预设的，但不可能完全像计算机输出程序一样按部就班且精密地运行，不可避免地带有不确定和生成的性质。”[9]这样学生在数学学习过程（包括数学解题活动）中出现一些错误也就“情有可原”了；（3）学生数学学习本身的原因。比如学生已有数学知识储备不足，无法继续学习新的内容，或者学生的认知水平远远低于学习内容的基本要求，难以理解新的数学内容，或者由于已有的数学知识产生的负迁移，对新知识的学习造成了严重干扰，等等。另外，数学学习错误（包括解题错误）也与学生的非智力因素密切相关，比如有些学生数学学习动机严重不足，缺乏学习动力，感受不到学习的乐趣，等等，这样他（她）在数学学习过程中出现各种错误（包括解题错误）就更“不足为奇”了。

四、数学解题错误的基本类型

李允（2011）认为学生的错误大致可分为如下几种类型：[10]（1）“认知过程中的错误和社会行为中的错误。认知过程中的错误是针对学习的内容所出现的各种问题；社会行为错误主要指违规违纪行为。”；（2）按照错误主体的多寡，可分为个体错误和群体错误。针对群体错误，教师应该反思自己的教学活动设计及其实施是否处于学生的最近发展区；（3）按照错误的不同性质，可将错误分为合理性错误和非合理性错误。合理性错误是指学生回答或表现出来的结果虽然不完全正确，但却包含着合理性因素，而非合理性错误是指学生回答与表现结果，及其认知过程都不正确；（4）按照错误形成的原因，可将错误分为主观性错误与非主观性错误。主观性错误是由学生自身的原因所造成的，而非主观性错误是由学生主观以外的其它要素影响所导致的错误。

陶君（2008年）[11]结合个人的实际教学经验，把高中生在数学学习中常见解题错误分为4类：（1）基础不扎实；（2）思维不严密；（3）方法不得当；（4）解题不规范。黄兴丰、程龙海（2003年）[12]将学生在几何解题中的错误分为5类：（1）“阅读理解（包括对图形的理解）”错误；（2）“转换”错误；（3）“加工技能”错误；（4）“策略选择”错误；（5）“编码”错误。并从心理学的角度总结了学生出错的原因：（1）过强的动机、不正确的观念是引起理解、技能选择错误的主要因素；（2）知识基础和认知图式的缺陷是导致转换、加工技能错误的主要因素；（3）策略选择错误是由以上两个因素共同引起的，因而成为影响问题解决的最大因素。

综合解题错误的相关研究[13][14][15][16][17][18][19]，根据解题错误的性质，我们把高中生数学解题错误主要分为以下几类：

（1）知识性错误。这里主要指解题者由于数学知识上的缺陷与不足所造成的各种错误。如误解题意、概念混淆、公式法则的误用，以及定理的错用，等等；（2）逻辑性错误。这里主要指违反基本逻辑规则所产生的推理与论证错误。如，虚假论据、不能推出、偷换概念、循环论证、分类不当（比如在分类中出现子项交叉关系或从属关系、分类层次混乱、分类标准不统一、以偏概全、忽视特例，等等）、不等价变换，等等。逻辑性错误主要表现为推理的无效性与虚假性。有些逻辑性错误比较明显，易于分析，而有些逻辑性错误相对隐蔽，需要在解题教学中进行深入分析，才能揭示其错误；（3）策略性错误。由于解题方法或解题策略的错误选择或不当运用，造成的解题错误或解题受阻。比如由于对题目类型的错误识别造成解题方法的选择不当，或者由于对某种数学方法的错误认识而导致解题错误，比如以特殊验证代替一般性论证，等等。有些解题方法或解题思路虽没有本质错误，但解题过程过于曲折隐晦，或存在思维回路等，导致整个解题过程费时费力，且易于出错，明显违背解题的“经济性原则”、简洁性原则与和谐性原则，尤其在各种数学考试中，即使最终勉强解题成功，也由于费时费力而造成“潜在失分”，也可以认为是解题策略选择不当；（4）心理性错误。这里指解题者虽然具备了解决问题的必要数学知识与基本技能，但由于某些心理原因而产生的各种解题错误。比如看错题、抄错题、遗漏条件、书写丢三落四、运算过程中的各种“低级错误”、答非所问，甚至在解答过程中遗漏对某些问题的解答，或者不按题目要求作答，以及无故变更问题，等等。尤其在各类数学考试中，由于考试焦虑等造成的各种“低级解题失误”更是屡见不鲜。

五、高中生数学解题错误的矫正策略

胡望秋（2007年）针对初中学生解题错误提出的应对策略是：[20]（1）课前准备要有预见性。“预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法”；（2）课内讲解要有针对性。在课内讲解时，对于容易混淆的概念，可以运用对比教学的方法，引导学生弄清它们的区别和联系，及其本质特点。对于各种数学规律与数学性质，应当引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，明白它们的基本用途和适用范围，以及应用时应注意的问题。课堂提问与课堂练习是及时了解学生课堂学习情况的常用方法，对学生的错误回答与错误解答，要分析其产生的原因，并有针对性地提出矫正方法。总之，通过课堂教学，不仅要教会学生数学知识，而且要引导学生掌握识别错误、分析错误与改正错误的基本方法；（3）课后讲评要有总结性。要认真分析学生作业中暴露出的各种问题，对其中的典型错误进行相应的分析与整理，并通过有针对性的作业讲评，进行适当的总结，以达到巩固学生数学知识、强化数学技能，以及提升数学能力的基本目的，并进一步增强学生识错、析错与改错的基本方法与基本能力。

综合罗增儒（2001）[21]胡望秋（2007年）、[22]陶君（2008年）[23]等的相关研究，我们认为为了有效矫正高中学生在数学解题中的各类错误，应该在平常的数学教学中注重以下方面：

（1）在平常的数学教学中进一步加强教学的针对性与有效性。应该根据学生的认知特点、思维水平、已有知识储备、学习动机水平等进行科学合理的教学定位与教学定向，进一步加强教学预设的科学性与针对性。在教学过程中注重暴露思维过程，注重数学思想方法的教学，揭示数学概念、数学性质、数学思想方法的本质特点，并揭示不同数学知识、数学方法之间的本质区别和实质联系。在教学过程中，可以通过教学观察、课堂提问、课堂练习等方式积极收集各种教学反馈信息，并据此进行相应的教学调整。通过教学活动，引导学生在自己头脑中建构起脉络清晰、结构稳定、普遍联系的数学知识（方法）体系，这可以最大可能地减少学生在数学学习与数学解题中出现错误的可能性。

（2）在平常的数学教学和解题教学中把学生的数学学习错误与数学解题错误作为重要的教学资源，注重挖掘学生数学学习错误的教育价值。“与已经定型的教材等外来资源相比，学生学习中产生的错误更贴近学生的实际，更能引起学生的兴趣，更能促进其自我实现，因此学生的错误是更鲜活的教学资源。”[24]在平常的教学中，应该积极收集与整理学生的各种典型性错误与普遍性错误，并把这些典型错误作为教学的切入点之一。教师对学生的各种数学学习（解题）错误应该有一定的预见能力，但没有必要在教学过程中对学生错误处处设防，时时预警，以免扰乱学生自然的思维过程。对学生典型错误的分析应该自然地暴露其错误过程，“当错误暴露出来以后，教师应该尽量避免将之直接指出和予以纠正，因为这样就剥夺了学生的反思机会。教师应当提供机会让出错的学生通过反思（或与同伴讨论）自己发现并纠正错误。”[25]在教学中对学生数学学习错误（包括解题错误）矫正的关键是在共同讨论和深入分析的基础上，引导学生揭示错误的认识根源，及其错误的性质，探索相应的矫正方法，并配备一定的课堂练习与课后作业，使学生对正确的认识或解题方法能够真正学到手。教师在每次纠错的过程中都要引导学生在共同探究、讨论交流的基础上解决如下三个基本问题：①哪里出错；②为何出错；③怎么改正。

（3）对学生作业中出现的各种解题错误，教师可以在作业批改中进行适当批注或专门面批。在作业批改中，教师可以把学生的错误用批注等方式标记出来，比如指出错误的类型、性质及其错误的程度，并提出改正的基本要求，等等。也可以运用适当的时机对学生作业进行当面批改，通过面对面的交流，教师对学生解题错误的认识根源，错误的性质，等等会有更加深入和全面的了解，可以进一步加强解题指导的针对性与有效性。另外，面批的过程也是师生交流的重要时机，有利于增进师生感情，也有利于激发学生的学习兴趣与学习动机。

（4）注重全面发挥“纠错本”的教育功能。对学生在平常的解题和考试中所出现的各种典型错误，应该引导学生利用“纠错本”对自己的解题错误进行适当的分析与整理。在解题错误的分析与纠正过程中，主要应该引导学生分析错题的认识根源、错误的性质，错误的类别、以及相应的矫正方法，并通过必要的正误对比，加深对解题错误的认识，加强解题防错能力，进一步强化对正确解法的认识，等等。此外，教师应该对学生错解题的收集与整理工作，进行一定的“跟踪”研究与督促检查，以期对学生的改错行为与改错过程有更加深入与全面的了解，使学生的改错过程真正落到实处，并充分发挥其应有的教育功能。

最后，我们要指出的是对学生在数学学习过程中出现的各种错误（包括解题错误），教师不能操之过急，更不能越俎代庖，而应该科学引导，并提供适当的机会让学生在独立思考或共同探究的基础上，自己去反思、发现与改进以帮助学生在思考解决问题的过程中掌握学习的方法，激发学生克服困难的勇气并体验问题解决后的成功感。

[1]李祎.生成性教学资源调查研究[J].中国教育学刊，2007（3）:60-63.

[2][3]陈丹.关于如何对待数学学习错误的思考[J].教育探索，2006（1）:75-76.

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[6][8][14][20][22]胡望秋.怎样对待初中生数学解题错误[J].时代教育，2007（6）:102-106.

[9][10][15]李允.教学错误资源:理性认识与有效开发[J].中国教育学刊，2011（4）:40-42.

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[12][17]黄兴丰，程龙海.初中生在几何解题中所出现错误的调查研究[J].数学教育学报，2003，12（3）:74-76.

[18]赵雪飞，黄彩祥.高中数学解题逻辑性错误分析[J].中学教研（数学），2005（7）.

[19][21]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社，2001（2）:498-500.

[24][25]孙四周.“错误”是一种重要的教学资源[J].中国教育学刊，2012（3):80.

（责任编辑：金传宝）

马文杰/华东师范大学博士研究生，主要研究方向为数学课程与教学论