具阻尼项的高阶中立型泛函微分方程的振荡性*

杨甲山

(梧州学院数理系, 广西 梧州 543002)

考虑如下一类高阶非线性变时滞阻尼泛函微分方程

Q(t)f(φ(x(δ(t))))=0，t≥t0

(1)

其中n≥2为偶数，t0≥0为常数，z(t)=x(t)+P(t)x(τ(t))，A(t),P(t),Q(t)∈C([t0,+∞),R)，φ(u)=|u|γ-1u，γ>0为常数；f(u)∈C(R,R)且uf(u)>0(u≠0)。本文总假设下列条件成立：

关于方程(1)的特殊情形及其振荡性结果见文[1-4]。若方程(1)中P(t)≡0，f(u)=u，则可简化为

[A(t)φ(x(n-1)(t))]′+b(t)φ(x(n-1)(t))+

Q(t)φ(x(δ(t)))=0

(2)

而方程(2)的振荡性在文[5]也作了仔细研究，并给出了3个非常有价值的振荡准则。本文的目的是研究方程(1)振荡性，并给出当文[5]中定理3的条件(C9)(文[6-16]也有类似的条件)不成立时的一些新的振荡准则。

1 几个引理

引理1[6]设u在[t0,+∞)上是正的n次可微函数，u(n)(t)最终定号，则存在t*≥t0和整数l(0≤l≤n)，当u(n)(t)≥0时，n+l为偶数；当u(n)(t)≤0时，n+l为奇数，使得

当l>0时，有u(k)(t)>0，t≥t*，k=0,1,…,l-1;

且当l≤n-1时，有(-1)l+ku(k)(t)>0，t≥t*，k=l,l+1,…,n-1

引理2[7]设u满足引理1的条件，且u(n-1)(t)u(n)(t)≤0(t≥t*)，则对任何θ∈(0,1)，存在常数M>0， 使得对一切充分大的t有u′(θt)≥Mtn-2u(n-1)(t)。

引理3[8]设a,b为非负实数，则λabλ-1-aλ≤(λ-1)bλ，λ>1，等号成立当且仅当a=b。

引理4 设x(t)是方程(1)的最终正解，则z(t)>0,z′(t)>0,z(n-1)(t)>0,z(n)(t)≤0。

证明完全类似于文[5]中的引理4，在此从略。

2 主要结果和证明

为了叙述方便，考虑集合D={(t,s)|t≥s≥t0}，D0={(t,s)|t>s≥t0}。称函数H∈Y，如果函数H(t,s)∈C(D,R)，当t≥t0时H(t,t)=0; 当(t,s)∈D0时H(t,s)>0且H(t,s)对第二个变量有连续非正的偏导数。

引入记号

Φ(s)=αQ(s)[1-P(δ(s))]γ，

(3)

定理1 若存在函数H∈Y及ζ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

(4)

证明设方程(1)存在非振荡解x(t)。不失一般性，设x(t)>0,x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，t≥T≥t0。由方程(1)并注意到条件(H3)，得

[A(t)φ(z(n-1)(t))]′+b(t)φ(z(n-1)(t))≤

-αQ(t)φ(x(δ(t)))<0

(5)

由引理2，对0<θ<1，存在常数M>0，有

z′(θδ(t))≥Mδn-2(t)z(n-1)(δ(t))≥

Mδn-2(t)z(n-1)(t)

(6)

由x(t)≤z(t)及引理4知，z(t)≤x(t)+P(t)z(τ(t))≤x(t)+P(t)z(t)，即

x(t)≥[1-P(t)]z(t)≥0

(7)

定义函数

(8)

则V(t)>0(t≥T)，注意到式(5)-(7)，可以得到

注意到式(3)的第一个式子，于是由上式，当t≥T时，有

上式两边同乘H(t,s)，并从T到t(t≥T)积分，可得

(9)

现取

代入引理3中的不等式，得

|h(t,s)|V(s)-

(10)

将式(10)代入式(9)，有

(11)

即

H(t,t0)V(T)

(12)

于是

注1 通过选择恰当的不同的函数H(t,s)和ζ(s)就能导出许多关于方程(1)及其特殊情形的不同类型的其它具体振荡准则。如，若方程(1)中n=2，P(t)≡0，f(u)=u，δ(t)=t，并在定理1中取ζ(s)=1，于是由定理1，我们可得如下结果。

推论1 若存在函数H∈Y, 使得

[H(t,s)Q(s)-

[A(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+b(t)|x′(t)|γ-1·

x′(t)+Q(t)|x(t)|γ-1x(t)=0

是振荡的。

这是Li等[9]将Philos型振荡准则推广到了二阶半线性阻尼微分方程所得到的结果。本文将其推广到了具有阻尼项的高阶非线性中立型变时滞微分方程(1)。又如取H(t,s)=(t-s)k，由定理1，可得如下结果。

推论2 如果存在常数k>γ及函数ζ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

其中常数θ∈(0,1)和M>0如引理2，函数Φ(s),Ψ(s)定义如式(3)。则方程(1)是振荡的。

若方程(1)中n=2，P(t)≡0，b(t)≡0，f(u)=u，δ(t)=t，并在推论2中取ζ(t)=1，则有

则方程[A(t)φ(x′(t))]′+Q(t)φ(x(t))=0(t≥t0)是振荡的。

推论3就是文[8]中的定理4.7.5，也是Li等[2]推广了Kamenev的结果所得到的结论。

若方程(1)中P(t)≡0，f(u)=u，则定理1即为文[5]中的定理3。其它相关结果可参见文献[10-14]及其参考文献。若式(4)不成立，我们有下面的判别准则。

定理2 若存在函数H∈Y及ζ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，ξ1(t),ξ2(t)∈L2([t0,+∞),R)使得对任意的s≥T，有

(13)

(14)

并且ξ1和ξ2满足

+∞

(15)

其中T≥t0为某常数，常数θ∈(0,1)和M>0如引理2，[ξ1(τ)-ξ2(τ)]+=max{[ξ1(τ)-ξ2(τ)],0}，函数Φ(s)，ψ(s)及h(t,s)定义如定理1，则方程(1)是振荡的。

证明设方程(1)存在非振荡解x(t)。不失一般性，设x(t)>0,x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，t≥T≥t0。 定义函数V(t)如式(8)，则由定理1的证明可得式(9)和式(11)。由式(11)，当t≥s≥T≥t0时，有

(16)

由式(16)，进一步可得

注意到式(13)、式(14)，由上式即得

ξ1(s)-ξ2(s)≤V(s)，s≥T≥t0

(17)

另一方面，由式(9)，有

|h(t,τ)|V(τ)}dτ≤

上式蕴含着

|h(t,τ)|V(τ)}dτ≤V(T)-ξ1(T)≤C0

(18)

式中C0为某常数，并能断言

(19)

于是由式(18)，知

(20)

所以，对充分大的正整数n，

于是，对充分大的正整数n及ε∈(0,1)，有

1-ε>0

(21)

由上式并注意到式(21)，得

由式(14)知，上式右边是有界的，这与式(20)矛盾！所以式(19)是成立的。

由式(19)，并注意到式(17)，我们有

这与式(15)矛盾! 定理证毕。

适当选取函数H(t,s)和ζ(t)，就可以从定理2得到方程(1)的一系列具体振荡准则。例如，取H(t,s)=(t-s)k，ζ(t)≡1，就有

推论4 如果存在函数ξ1(t),ξ2(t)∈L2([t0,+∞),R)及常数k>γ使得

注2 若方程(1)中P(t)≡0，f(u)=u，则本文定理2及推论4得到了文[5]中定理3的条件(C9)不成立时方程(2)的振荡准则。

3 例子

显然条件(H1)-(H5)是满足的。现取ζ(t)=1，H(t,s)=(t-s)3，则此时定理1即为推论2，故有

因此推论2的条件全部满足，于是由推论2知此时方程是振荡的。

即此时式(4)是不成立的，也就是说文[5]中定理3的条件(C9)不满足，因此，文[5]中定理1-定理3和本文定理1及其推论均不能用。现改用本文定理2(此时定理2即为推论4)，则

所以

→+∞(t→+∞)

显然，定理2(推论4)的条件是满足的。于是，由定理2(推论4)知，此时方程是振荡的。但文[5-14]中的定理均不能判定例1和例2中方程的振荡性。

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