新技术背景下微积分课堂教学的思考＊

张长勤，吴 坚

（安徽农业大学理学院，安徽合肥230036）

新技术背景下微积分课堂教学的思考＊

张长勤，吴 坚

（安徽农业大学理学院，安徽合肥230036）

在新技术背景下，围绕培养高素质创新人才这一中心，如何进行微积分课堂教学，是值得探索与研究的问题。微积分的教学目的，不仅是要让学生掌握基本知识和方法，提高运算能力，还需要培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、应用创新能力，为学习相关专业打好数学基础。微积分课堂应当成为数学文化传播的场所；微积分的教学活动应当有意识地进行数学思想的教育；微积分的教学应当与现代技术相结合，以发展学生的数学能力为重。微积分课程应当真正成为培育人才的基础课程。

微积分；数学文化；数学思想；数学能力

微积分［1］作为一门独立的数学学科自诞生之日起，三百年来已为人类的科学技术发展提供了良好的数学基础，做出了巨大的贡献。时至今日，微积分的应用已遍及自然科学、工程技术、社会经济等许多领域。因此，微积分是高等教育中基础教学不可或缺的一部分。在我国，教授微积分知识的课程分为《数学分析》和《高等数学》，《数学分析》是针对数学系学生而开设的，强调微积分的理论基础，教学偏重于概念和形式推理；《高等数学》是针对非数学类专业学生而开设的，主要强调微积分的基本理论和方法，教学偏重于计算技巧和应用。本文所讨论的是《高等数学》对于微积分的教学问题。由于电子技术、信息技术的飞速发展与应用，与以往时代相比，对于微积分的知识需求也发生了变化，微积分的教学应当为培养创新人才服务，应当体现与现代技术的结合。而今天的教学技术条件和环境能够让这些要求得以实现。建国以来，我国微积分教学的发展经历了不同阶段，特别是由于新技术的应用，今天微积分的教学相对于几十年前已大为改观。但微积分的教学仍延续着传统教学模式［2］，仍然是老师讲授，学生听讲，大量习题训练。课堂教学的内容比较抽象，形式也较为单一，难免让学生感到枯燥、沉闷，使得相当一部分学生对于微积分的学习没有兴趣。这也影响了教师的授课情绪，久而久之，教师的热情被磨灭，只是把授课当作任务。这种状况显然影响了微积分的教学质量，进而影响了人才培养的质量。这种状况困扰着大多数高校微积分的教学。因此，在新的技术背景下，如何进行微积分的课堂教学，是亟待解决的问题。

一、微积分课堂应当成为数学文化传播的场所

数学作为一门科学，一直以自己独特的形象和能力现身于人类历史的长河。经过4000多年世界各个民族的共同努力，数学才发展到今天这样的规模和水平。正是有了数学的发展，人类才进入了今天的电子时代、信息时代，人类的生活品质才有了极大的提高。数学是人类文明非常重要的组成部分，数学文化［3］陪伴人类走过了几千年（考古发现了古代埃及和巴比伦比较系统的数学文献）。数学文化的狭义定义为：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展［4］。数学文化还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展史中的人文成分和数学文化与其他各种文化的关系等。笔者认为，微积分是高等教育体系中优秀的数学要素，负载着丰富的数学文化元素。数学教师应当是数学文化的传播者，要让学生在微积分的课堂上感受到数学文化的魅力，提升其数学素质。例如，微积分所创立的“ε－N”“ε－δ”描述方法，是数学语言的具体表现形式，是数学思维的载体，它的简约、抽象向我们传达了数学的精准、严谨，也向我们展示了数学推理的奇妙之美。积分是在极限思想的作用下，由近似值到精确值的转化，这正是量变到质变这一哲学思想的体现。著名的斐波纳契数列不仅可以描述兔子的繁衍，也可以描述植物叶片排列的规律等，这说明斐波纳契数列揭示了自然界中的增长模式，人类已经将这种增长模式用于多种场合，包括用于经济问题的研究。微积分的发展史是数学文化中重要篇章之一。这些都充分体现了微积分的数学文化价值。

值得一提的是，微积分不仅追求了真理，而且还创造了数学之美。例如，微积分以函数描述客观事物的运动变化规律，展现了数学的简洁美。而函数各种特征的相互协调与统一，体现了数学的和谐统之美。与和谐之美对立的，微积分中还有奇异之美，大多表现于微积分中的反例之中。著名的微积分学基本公式——牛顿－莱布尼茨公式以及它在多元函数积分学中的推广：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，就公式本身已经呈现了形式美、结构美，更蕴藏着高度的和谐统一之美。牛顿—莱布尼茨公式构建了积分学与微分学之间的桥梁；格林公式建立了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系；高斯公式建立了空间闭区域上的三重积分与其边界上的曲面积分之间的关系；斯托克斯公式则建立了曲面∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分之间的关系。这些公式既有联系又有区别，后面三个公式在向量场中都有重要而实际的应用美。现代技术并没有湮灭数学之美，而是使其发扬光大。例如，以微积分中构造“点点连续且点点不可导函数”为起点，于上世纪七十年代产生了数学领域一个新的分支“分形学”，计算机技术使得分形图形能够完美实现，进一步展示了数学的生长美、蜿蜒美，这同时也成为现代艺术设计的源泉之一。

可见，微积分是数学文化的集合体，笔者这里仅是珠海拾贝。如果授课教师在教学过程中适当为学生进行文化层面的分析，让他们领悟到数学所蕴含的人文精神光辉，这显然有益于他们思想的培育，品格的形成。同时，这种做法也将增加微积分学习的趣味性，受到学生欢迎是毋庸置疑的。能在有限的课堂教学时间内，让学生汲取更全面、更深厚的数学文化营养，这应该是数学教育的目标之一吧［5］。

二、微积分的教学活动应当有意识地进行数学思想方法的教育

李大潜先生曾撰文［5］指出：学生在学校学习数学，日后受益更多的是所接受的数学训练，所领会的数学思想和精神，所积累的数学素养，并不一定是具体的数学知识。数学思想方法是数学的灵魂，是数学知识的本质。微积分所阐述的“有限与无限”“直与曲”“静与动”“近似与精确”等充满了“对立统一”的辩证思想。微积分中的数学思想包括函数思想、极限思想、化归思想、类比思想、数形结合思想、数学建模思想等。其中极限思想最具有微积分的鲜明特色。有了极限的思想，让我们能够以有限的目光去研究无限过程。这些数学思想是人类重要的精神财富，为其他学科提供了丰富的数学营养。如果加以引导，让学生在学习微积分过程中逐步将这些数学思想转化为自己的思维方式，学生将因此而受益终生。而目前微积分的教学中，偏重于符号推演，偏重于计算技能的训练，忽视了对于数学思想的灌输，使得学生不能够全面深入地理解微积分，无法以更为积极主动的方式吸收数学思想，当然也就谈不上以微积分的思想培养自己的创新思维。笔者认为，作为数学教师，不仅是授业者、解惑者，也是传道者。除了一般意义的传道者外，更是数学的传道者，有责任传播数学思想和数学精神。在数学教学过程中加强育人意识，培养自己的学生成为具有良好数学素质、良好科学品质的现代人才。

数学思想方法比数学知识更抽象，往往隐于数学概念、法则、公式和定理的生成过程之中，这就需要我们在教学过程中及时点拨，进行挖掘，否则将失去数学思想方法教育的良机，学生也就不能感悟和领会数学知识中隐含的思想方法。因此，在进行数学教学过程中，要有意识地把隐含在知识背后的数学思想方法显现出来，使之明朗化、条理化。数学思想方法是一种后天形成的心理特征，不可能像数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。例如，微积分中在极限基础上产生了微分的概念，累积微分，则产生了积分的概念［6］。在现代技术中，“化整为零”“以直代曲”“无限求和”等这些微积分思想方法的身影随处可见。因此，在引入微分、积分的概念以及它们的计算时，我们不能仅把教学的重心放在计算上，应该注重学生对微积分思想的把握，这就需要授课教师将微积分的思想提炼出来进行引导。当然，这并不能一蹴而就，数学思想的教育是系统化的，是要在微积分的整个教学过程中不断地深化、递进，在由极限⇒一元函数的微分⇒不定积分⇒定积分⇒微元法⇒重积分、曲线积分、曲面积分的教学过程中让微积分的思想真正植根于学生的心田，影响他们的思维。要为学生创造互动的教学环境，使学生积极主动地参与教学活动，让他们在数学知识的学习过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。

三、微积分教学应当以发展学生的数学能力为重

对于非数学类专业而言，微积分教学的重要目的之一是培养学生的应用能力。传统的微积分教学是以传授微积分的理论与方法为主，而弱化了微积分的应用。大多数学生不知道为什么要学习微积分，因此在学习的时候并无多少兴趣，这大大降低了学习的质量。另一方面，由于考研需要，目前我国的微积分教学几乎成为应试教学。这都导致了微积分教学失去了它原本的出发点之一：微积分作为一种重要的数学技术，让掌握它的人能够描述信息，分析问题，建立数学模型［7］，以解决问题。所以笔者认为，在遵循微积分认知规律进行教学的过程中，应当始终贯穿以模型带动教学这一条线。对于数学概念和数学原理的学习，这样的教学模式可以让学生了解所学知识的源头，由形象思维逐步过渡到抽象思维，更好地掌握所学的数学知识。以模型带动教学，意味着整个教学过程从一开始就有意识地培养学生用微积分来处理各种问题的习惯和能力，使他们学会在处理实际问题中观察、提取、分析其中的数学关系，找出其数学本质，建立数学模型并检验其合理性和可应用性。而让学生认识到：数学是关于模式的科学而不仅仅是关于数的科学。数学教学应当让学生从大量、反复的解题训练中走出来，以理论学习与实践活动相结合的方式打好基础，开拓视野，发展能力。这个能力指的是学生的数学能力。

具体地说，在微积分教学过程中，我们首先要从具有重要实际意义的背景问题出发，用数学建模观点，自然引入微积分中的重要概念。如，极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分等都是从具有重要实际意义的背景问题中抽象出的数学模型。其次，要以学生的认知规律，从研究数学模型的观点出发，循序渐进、深入浅出地建立微积分的基本理论，阐述微积分的基本思想方法，发展学生的心智［8］。在全面学习了微积分知识的前提下，应当从学生所学专业的领域中给出综合应用实例，结合实践教学，强化数学建模的训练，进一步提升学生的数学能力。

四、微积分的教学应当与现代技术相结合

数学能力应当包含与数学建模能力同样重要的求解数学模型的能力。其中也包括了微积分中的解题能力，但这仅仅是一方面。在学习微积分时，课本中所给出的例题和习题是经过许多人的筛选和锤炼而形成的，都能够给出非常漂亮的解。因为导数或积分是对连续变量所建立的概念，利用它们所建的数学模型——微分方程，也是连续类型的。然而利用微积分知识由实际问题所建立的连续数学模型往往让学生无法用微积分教材中的方法进行求解。如果就此搁浅，学生对于微积分的感受和认识就会大打折扣。遗憾的是目前微积分的教学机制却无法解决这个问题。笔者认为，在微积分的教学中应当增加如何利用现代技术求解数学模型的环节，以此作为微积分课程的实践教学主要部分［9］。这里所说的现代技术，指的是计算机技术。这需要从以下两个方面解决问题：

（一）教学内容方面

我们在现有的微积分教学中已经让学生充分感受到微积分知识体系的完备性，我们也可以让学生从另一个侧面去理解微积分。仍以极限思想为基础，连续概念的离散化处理是利用计算机技术求解连续数学模型的前提。例如，以差商或差分近似表示导数；以矩形法或梯形法近似表示定积分等。这里特别要说的是Taylor级数和Fourier级数，Taylor级数能够将复杂运算近似转化成有限次的加、减、乘、除四则运算，使得复杂运算在计算机上得以实现；Fourier级数能够用有限多个简谐波近似表示复杂波形，这是现代信号处理的数学基础。正是有了这些，让我们能够用计算机技术去求解数学模型。向学生简单介绍这些内容，不需要其他更深奥的数学知识，也不需要占用太多的时间，只需要在讲授相关内容时，一并介绍。笔者多年来一直以这种方式向学生介绍微积分与现代计算技术的关系，收到了良好的效果。

（二）计算技术方面

在学生还不具备很好的编程能力时，可采用专用的数学软件如Mathematics、MatLab等，学生经过简单培训，在教师的指导下，是能够进行一些简单数学模型求解的。亲身经历从数学建模到利用计算机求解数学模型的过程，所给予学生的数学应用能力，是任何方式都无法替代的，学生由此获得的成就感，将大大增强学生学习数学的兴趣，同时也愉悦了学生的身心。

微积分的教与学一直是数学教育者所关注的问题。微积分的教育功能，不能只是单纯的定理、公式和计算内容。在新的技术背景下，对于非数学类专业的学生，如何进行微积分的教学有着多方面的改革与探索。笔者所论及的是微积分的课堂教学，而课堂教学是任何方式都无法替代的。作为一种思考与探索，笔者所言并不全面，也不够深入。笔者所强调的是对于非数学类专业的学生，需要数学文化的滋养，需要培育数学思想。应当注重理论与实际应用相结合；注重计算方法的实际操作，特别是计算方法的计算机实现。我们应当最大程度地发挥微积分的教育功能。微积分教育更广泛的意义是培养学生做事目标的明确性、思维的条理性、过程的规范性和方法的创新性［10］。这正是高素质创新人才所应具备的特质。

［1］THOMAS G B．托马斯微积分［M］．叶其孝，王耀东，唐兢，等，译．北京：高等教育出版社，2007：1－4．

［2］柴俊．我国微积分教学改革方向的思考——兼论美国AP微积分计划给我们的启示［J］．大学数学，2006，22（3）：17－20．

［3］李大潜．数学文化与数学教养［J］．中国大学教学，2008（10）：4－81．

［4］顾沛．数学文化与大学生文化素质教育［J］．中国大学教学，2007（4）：6－7．

［5］李大潜．漫谈大学数学教学的目标与方法［J］．中国大学教学，2009（1）：7－10．

［6］张奠宙，丁传松，柴俊．情真意切话数学［M］．北京：科学出版社，2011：134－156．

［7］李大潜．数学建模与素质教育［J］．中国大学教学，2002（10）：41－43．

［8］王彦华．运用构建主义思想提升微积分教学的有效性［J］．数学学习与研究，2012（3）：15－16．

［9］袁立新．计算机在微积分教学中的作用例谈［J］．四川教育学院学报，2007（9）：108－110．

［10］李万军，微积分思想及其认识——兼论微积分思想的教育价值［J］．周口师范学院学报，2008（9）：43－45．

The Reflection of Calculus’Teaching under the Background of New Technology

ZHANG Chang－qin，WU Jian
（School of Science，Anhui Agriculture University，Hefei 230036，China）

In the background of new technology，how to carry on the calculus teaching，focusing on the training of creative talents，is an issue worthy of exploration and research．The purpose of calculus teaching is not only to make students master the basic knowledge and methods，improve the operation ability，but also to cultivate students＇abstract thinking ability，logical thinking ability and innovation ability and help them to lay the mathematical foundation for learning relevant professional knowledge．The paper holds that a calculus class should become a place spreading mathematical culture，the calculus teaching activities should consciously carry through mathematical thought education，and the calculus teaching should be combined with modern technology，focusing on developing students＇mathematical ability．A calculus course should become a basic course for cultivating talents．

calculus；mathematical culture；mathematical thought；mathematical ability

G642．40

A

1009－2463（2014）04－0123－06

2014－05－04

安徽省教育厅质量工程教学研究项目（2013jyxm052：《农林类院校工科类专业工程数学课程体系的改革与实践》）

张长勤（1955－），女，安徽萧县人，安徽农业大学理学院副教授，硕士生导师。

吴 坚（1956－），男，安徽宁国人，安徽农业大学经济技术学院院长，教授，硕士生导师。