RC框架结构pushover方法顶点位移的敏感性分析＊

张望喜，张 勇，易伟建，肖 岩

（湖南大学土木工程学院，湖南长沙 410082）

基于性能（performance－based）的抗震设计思想［1］自从被提出后就引起了各国学者和工程师的广泛关注，该方法基于“投资－效益”准则，以结构抗震性能为基础，强调结构安全可靠和经济合理的优化平衡，指明了未来结构抗震设计的发展方向.美国联邦紧急救援署（FEMA）［2］报告指出：基于性能的抗震设计思想应该基于可靠度理论.pushover分析方法作为该思想的核心方法，也应该基于概率论和可靠度理论.

目前国内外学者对基于概率论的pushover分析方法做了大量研究，取得了一些成果，如欧进萍等［3］结合我国抗震规范和地震作用统计参数，提出了概率pushover分析方法.但是该方法理论非常复杂，要运用于工程实践还需要进行大量研究.如果对结构进行概率pushover分析时，仅考虑对分析结果影响较大的几个因素，不仅可以大大简化分析复杂程度，并且仍然可保证分析结果的精度.

针对该问题，本文采用一次二阶矩法、Tornado图形法和数理统计方法分析框架结构pushover分析顶点位移的敏感性，本文pushover分析方法就是能力谱方法.

1 敏感性分析方法

1.1 一次二阶矩法

一次二阶矩法在可靠度理论中具有非常重要的地位，是我国建筑结构可靠度设计统一标准推荐的可靠度计算方法，该方法的基本思想见参考文献［4］.本文分析pushover方法中顶点位移对各种不确定性因素的敏感性时不考虑各个因素的交叉影响，把除Xi以外的所有随机变量都设置成均值，将输出变量Y重新表示为式（1）.

将式（1）按泰勒级数展开后可以求得Y的均值和方差，见式（2）和（3）.

式中：μY和σY分别表示Y的均值和方差，将σY作为反映Y对X的敏感性的参量.σY越大，说明Y对X越敏感，反之则表明Y对X敏感程度越小.

本文通过pushover分析方法得到输入、输出参数间的函数关系g（.），函数g（.）关于随机变量的梯度采用以下有限差分法确定：式中：ΔXi表示第i个输入随机变量Xi的扰动量，取标准差σXi的某个分位点，ΔXi＝Cp×σXi（其中Cp为扰动参数）.

1.2 Tornado图形法

Tornado图形法［5］因其摆幅按从大到小的顺序排列后形状像龙卷风而得名，Tornado图形由一系列被称为幅摆的横杠组成，每一条横杠对应一个随机变量，该图形体现了各个变量的变异性.若某个输入变量对输出结果影响较大，则其幅摆也就较宽，反之则较窄.本文采用Tornado图形法分析顶点位移的敏感性的具体步骤如下：

1）选取对平面框架经pushover分析得到的结构顶点位移为Tornado输出参数.

2）任选1个输入变量Xi，根据其概率分布上限（90%）和下限（10%）确定与之相应的输入变量的上限值XUB和下限值XLB.若输入变量不能用简单的概率密度函数描述，采用下面介绍的数理统计方法确定其上限值和下限值.

3）将除Xi之外的其他随机变量全部设置为均值，将XLB和XUB分别输入结构模型进行pushover分析，得到输出结果的下限值SLB和上限值SUB.

4）取SUB－SLB为Xi对应的摆幅宽度，将其表示在初始图形中，然后重复上述步骤直到获得所有不确定性因素对应的摆幅宽度，并将其自上而下按降序重新排列，排序后的图形即为Tornado图，图中的摆幅宽度反映结构顶点位移对不确定性因素的敏感性，自上而下的排列顺序反映了顶点位移对各不确定性因素的敏感程度.

1.3 数理统计方法

对于不能用概率密度函数描述的不确定因素，如场地运动的特征（即指地面运动记录中除强度以外的其他特性）和加载模式等，一次二阶矩法不再适用.本文将采用Tornado图形法结合数理统计方法研究pushover分析方法顶点位移对这些不确定性因素的敏感性.

2 结构模型

本文分析的结构为8层4跨的平面钢筋混凝土框架结构，如图1所示.其跨度为6m，底层层高为3.9m，其余楼层层高3m，建筑总高度为24.9m.梁、柱混凝土强度为C30，梁、柱纵筋等级为HRB335，箍筋等级为HPB300，位于八度（0.2g）Ⅱ类场地，地震分组为2组.结构设计采用中国建筑科学研究院研发的PKPM软件，平面框架梁柱截面尺寸及配筋见表1.

图1 8层平面框架结构布置图Fig.1 Layout plan of the 8－story plane frame structure

表1 平面框架梁柱截面尺寸及配筋Tab.1 Size of the sections and reinforcing bars of plane frame structure

3 不确定性因素

3.1 地震烈度

随机地震作用模型主要有2种［3］：第一种是确定地震烈度下的随机地震作用模型；第二种是50年基准期内的随机地震作用模型.本文选用第一种随机地震作用模型，该模型的概率分布符合极值Ⅰ型分布，见式（5）.

其中i＝j表示确定性地震烈度为j度，分布参数a和b可由式（6）计算.

将式（7）带入式（6）可得分布参数a和b：

3.2 场地特征

从美国太平洋地震工程研究中心强震数据库（http：／／peer.berkeley.eud／smeat）中随机选取50条Ⅱ类2组场地地震波.关于场地的分类方法，国内外各不相同，参考吕红山等［6］提出的分类方法即：剪切波速大于510m／s相当于我国Ⅰ类场地；剪切波速介于260～510m／s之间，相当于我国Ⅱ类场地；剪切波速介于150～260m／s之间，相当于我国Ⅲ类场地；剪切波速小于150m／s，相当于我国Ⅳ类场地.关于地震分组，参考王文［7］提出方法：将0～20km定义为近震，20～50km为中震，50km以上为远震，分别对应于我国抗震规范中的设计地震分组第1，第2和第3组.

将这50条地震记录加速度峰值（PGA）调整到8度（0.2g）设防烈度对应的地震加速度最大值196 mm／s2后，采用实际需求谱pushover分析方法求解这50条地震记录对应的性能点.对这些性能点进行数理统计，近似谱位移概率密度函数见图2，将超越概率为90%的性能点定义为下限SLB，将超越概率为10%性能点定义为上限SUB，见图3.

图2 谱位移近似概率密度函数Fig.2 Approximate probability density function of spectral displacement

图3 谱位移下限值和上限值Fig.3 The lower limit and the upper limit of spectral displacement

实际需求谱pushover分析方法是将实际地震记录通过数值计算建立需求谱的pushover分析方法，本文需求谱曲线采用等延性强度需求谱，通过SeismoSignal软件采用非线性积分法计算出一簇延性系数间隔为0.1的弹塑性需求谱曲线.将这一簇需求曲线与能力曲线画在一张图上，若某一交点在能力曲线上的延性系数与在需求曲线上的延性系数差值在允许范围内，则认为该点为平面框架在这条地震波作用下的性能点.求解示意图见图4.

3.3 抗力不确定性因素

本文探讨的抗力不确定性因素有结构重量、加载模式、混凝土强度、钢筋强度、混凝土弹性模量、钢筋弹性模量.其中加载模式取倒三角加载模式、均布加载模式、抛物线加载模式、模态自适应加载模式和MPA法加载模式.本文pushover分析程序采用美国纽约州立大学Buffalo分校开发的IDARC 2D程序，各种加载模式对应的pushover能力曲线见图5.采用Tornado图形法分析顶点位移对加载模式的敏感性时，其输出变量下限值取5种加载模式结果最小值，上限取最大值.其他不确定性因素的概率特征见表2.

图4 实际需求谱pushover分析方法性能点Fig.4 Performance point of the pushover analysis method with actual demand spectrum

图5 5种加载模式pushover分析能力曲线Fig.5 Capacity curve of pushover analysis with five loading modes

表2 不确定性因素的概率分布类型及统计参数Tab.2 Probabilistic distribution type and statistical parameter of uncertainties

4 分析结果及结论

本文采用一次二阶矩法分析顶点位移的敏感性时，变量Xi的扰动系数Cp分别取0.1，0.2和0.3，其他参数全部取平均值，分析结果见表3.对于场地特征和加载模式，仅用Tornado图形法探讨顶点位移对这些输入变量的敏感性，分析结果见图6.

表3 一次二阶矩法分析结果Tab.3 Results of the FOSM method

通过上面的分析可以得到如下结论：

1）对于能用概率密度函数描述的不确定性因素，一次二阶矩法和Tornado图法虽然表述方法完全不同，但是两种分析方法得到的不确定性因素排列顺序相同，此外，Tornado图形法还考虑了顶点位移对场地特征和加载模式的敏感性（见图6）.

图6 Tornado图形法分析结果Fig.6 Results of tornado diagram method

2）平面框架结构pushover分析顶点位移对各个不确定性因素的敏感性按从高到底的排列顺序是：地震烈度、结构质量、钢筋强度、混凝土强度、混凝土弹性模量、钢筋弹性模量，即地震烈度的随机性对平面框架的顶点位移的影响最大，而钢筋弹性模量的随机性对顶点位移影响最小.

3）平面框架pushover分析顶点位移对地震烈度和场地特征的敏感程度远远大于其他不确定性因素，即顶点位移对需求曲线的敏感性远远强于对能力曲线的敏感性.因此，研究概率pushover分析方法时，仅考虑地震作用的不确定性，结构抗力不确定性因素取均值，可大大简化分析复杂程度，并且仍然可以保证分析结果的精度.

［1］ BERTERO R D，BERTERO V V.Performance－based seismic engineering：the need for a reliable conceptual comprehensive approach［J］.Earthquake Engineering and Structure Dynamics，2002，31（7）：627－652.

［2］ FEMA273／274.NEHRP commentary on the guidelines for the rehabilitation of building［R］.Washington，DC：Federal E－mergency Management Agency，1996.

［3］ 欧进萍，侯钢领，吴斌，等.概率Pushover分析方法及其在结构体系抗震可靠度评估中的应用［J］.建筑结构学报，2001，22（6）：81－86.OU Jing－ping，HOU Gang－ling，WU Bin，et al.Random pushover analysis method and its application in earthquake－resistant reliability evaluation of structural systems［J］.Journal of Building Structures，2001，22（6）：81－86.（In Chinese）

［4］ 尹犟，胡其高，李鹏，等.混凝土结构地震需求参数敏感性分析［J］.中南大学学报：自然科学版，2012，43（5）：1954－1962.YIN Jiang，HU Qi－gao，LI Peng，et al.Sensitivity analysis of earthquake demand parameters［J］.Journal of Central South University：Science and Technology，2012，43（5）：1954－1962.（In Chinese）

［5］ PORTER K A，BECK J L，SHAIKHUTDINOV R V.Sensitivity of building loss estimate to major uncertain variables［J］.Earthquake Spectra，2002，18（4）：719－743.

［6］ 吕红山，赵凤新.适用于中国场地分类的地震动反应谱放大系数［J］.地震工程学报，2007，29（1）：67－76.LV Hong－shan，ZHAO Feng－xin.Site coefficients suitable to China site category［J］.Acta Seismologica Sinica，2007，29（1）：67－76.（In Chinese）

［7］ 王文.基于能力谱方法的结构非概率可靠度［D］.长沙：湖南大学土木工程学院，2010：31－32.WANG Wen.The non－probabilistic reliability of structure based on capacity spectrum method［D］.Changsha：College of Civil Engineering，Hunan University，2010：31－32.（In Chinese）

［8］ 高小旺，鲍霭斌.地震作用的概率模型及统计参数［J］.地震工程与工程振动，1985，5（1）：13－21.GAO Xiao－wang，BAO Ai－bin.Probabilistic model and its statistical parameters for seismic load［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1985，5（1）：13－21.（In Chinese）

［9］ 李国强，黄宏伟，吴迅，等.工程结构荷载和可靠度设计原理［M］.3版.北京：中国建筑工业出版社，2005：124－128.LI Guo－qiang，HUANG Hong－Wei，WU Xun，et al.Engineering structural load and reliability design principle［M］.3rd ed.Beijing：China Architecture ＆Building Press，2005：124－128.（In Chinese）

［10］MIRZA S A，HATZINIKOLAS M，MACGREGOR J G.Statistical descriptions of strength of concrete［J］.Journal of Structural Division，1979，105（6）：1021－1037.

［11］MIRZA S A，MACGREGOR J G.Variability of mechanical properties of reinforcing bars［J］.Journal of Structural Division，1979，105（5）：921－937.