趣题与作图

丁学明

丁丁一直喜欢看书。他读小学中低年级时，很多数学杂志上的内容都看不懂，只能看看画刊等简单的报纸和杂志。五六年级时，学到的知识多了，一些课外书就成了丁丁的精神食粮。有一天，他在一本书上看到下面这道趣味数学题：

请用1～10这10个自然数组成5个不同的乘法算式，使它们相加之和是121。

这个问题并不难，丁丁略加思索就得出了答案：1×6+2×10+3×9+4×7+5×8=121。

做完后，丁丁准备去复习了，到了高年级，学习任务重，没时间浪费的。可是，丁丁的脑海还是不停地浮现出这个问题。121……121……这个数非常熟悉，它不就是11的平方吗？11的平方可以表示边长为11的正方形的面积，那么5个不同的乘法算式不就表示5个不同的长方形面积嘛！这样一想，这道趣题就可表示为：把5个长方形拼成边长为11的正方形。想到这儿，丁丁又拿出纸笔动手作起图来，嘿，没想到还真能作出如图1所示的正方形图形来！

这还真应了我国著名数学家华罗庚说的：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家事万休。”

作完此图，虽然这个问题不是很难，但丁丁心里还是挺高兴的，毕竟这样的数形结合的例子很少。

一不做二不休，根据这个例子，丁丁展开了思考。“还可以作出其他的图形吗？”丁丁这样想，“由图1观察可知，两个数相加为正方形边长，那么答案应该不止这一种。”经过探索，丁丁又作出了一张图（如图2所示）。1×9+2×8+3×6+4×7+5×10=121。

丁丁继续探索下去，可是没有找出第三种答案。

于是，丁丁又转换思维。结果能不能不是11的平方，而是10、12、13、14、15、16……的平方呢？

如果边长为10，那么只有一种结合情况：9+1=8+2=7+3=6+4。分析发现，不能找到5个长方形构成边长为10的正方形。

如果边长为14或更大，则更不能找到5个长方形构成的正方形了。如为14，那么边长的组合情况只能为：10+4=9+5=8+6。只能找到三组和为14的数字，满足不了四组。更大的边长就不用说了。

这样一来，能符合题目要求做正方形边长的只能为11、12、13了。11的情况上面已经有了。经过探索，丁丁发现边长为12的正方形作不出来，而边长为13的也有两种构图。

即上题可改为：请用1～10这10个数，组成5个乘式，使它们相加之和等于169，你能写出这5个算式，并作出5个长方形拼成一个正方形吗？

方法一：作出如图3所示的正方形。不难看出，符合要求的答案是：2×1+10×5+9×8+6×4+7×3=169。

方法二：作出如图4所示的正方形。不难看出，符合要求的答案是：2×1+10×6+9×7+5×4+8×3=169。

啊哈！发现这个奥秘后丁丁立即告诉了老爸。老爸和丁丁都笑开了花！