ART算法中关于松弛因子的研究

冷骏

摘要： 工业CT技术是目前最常用的一种先进无损检测手段。其中最常用的图像重建算法是代数重建法（ART），它重建图像的质量和时间受到许多因素的影响。在重建图像时加入松弛因子可以加快算法的收敛速度，并且还能有效克服迭代过程中的椒盐噪声。利用计算机仿真实验对比分析了松弛因子在不同投影数下的重建质量，结果表明，在不同的情况下选择适当的松弛因子，可以大大地改善重建图像的质量。

关键词： 图像重建； 代数重建算法； 松弛因子

中图分类号： TP 391文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.01.010

引言

计算机断层扫描（Computed Tomography，CT）[12]是计算机与X线检查技术相结合的产物，它能够得到被检测物体的断层灰度图像并且不损伤原物体，然后根据这些灰度值检测出断层面的内部结构。实际应用中常用滤波反投影算法（FBP）和代数重建算法（ART）这两大类方法来实现CT图像重建。其中滤波反投影算法具有重建速度快，重建质量好的优点，但它的局限在于重建前必须有完备的投影数据，可完备的投影数据在实际操作中却往往不容易得到。ART算法却能很好地克服这一缺点，它是运用迭代的方法解线性方程组，实现了在投影数据较少的情况下同样重建出高质量的图像的目的。虽然ART算法重建的速度较慢，但随着计算机技术的发展，计算速度不再是需要考虑的问题，只需把精力集中在如何提高图像的重建质量上。

本文简单地介绍了ART算法的基本原理，分析了引入松弛因子的原因和松弛因子的有无对重建图像质量的影响，借助仿真实验来研究不同投影数下选择松弛因子的标准，尽可能用最短的时间得到最优的重建图像，为实际重建时选择合适的松弛因子提供理论上的参考依据。

1ART算法理论

所以实际上用ART算法重建图像的过程就变成了解一个带有松弛因子的线性方程系统的过程，因此，提高算法的重建速度和重建质量都与如何选择合适的松弛因子有很大的关系，特别是在实际的重建过程中。但是目前只有一些基本的标准来规定如何选择松弛因子，完整规范的理论依据还有待进一步研究。

2松弛因子对重建图像质量的影响

2.1松弛因子的引入

2.2动态松弛因子

上述提及到的方法虽然能够达到不错的效果，但该方法却存在很大的局限性，因为不断变化的实际环境在实验室中是不可能模拟出来的，所以需要寻找一种新的选取松弛因子的算法。从ART算法的迭代式（4）可以看出，投影数据值和图像被修正的程度存在着正比例的关系，即投影数据值越大，图像向量被修正的程度也就越大，而且由式（1）可以知道投影值与物体强度衰减的大小也是成正比例关系的。通常选用的常数松弛因子相当于对所有的投影值都采用了同一个低通滤波器，重建图像的边缘看起来比较模糊，因为低通滤波器在抑制高频噪声的同时也抑制了图像本身的高频成分。基于上述所说的正比例关系，文献[9]提出了一种能够反映投影数据变化特点的动态选择松弛因子的方法。

3实验分析

3.1常数形式的松弛因子实验分析

实验中选用经典的SheppLogan[1011]头模型作为重建对象，改变投影角数和松弛因子对其进行迭代，然后分析结果，研究松弛因子λ对重建图像质量的影响。该实验中选取的重建图像大小为128×128。分别选取λ=1，λ=0.2和λ =1.5在投影角数θ为60个，90个和180个进行一次迭代，所得到的重建图像如图2所示。

为了更加客观地评价重建图像和原图像之间存在的误差，实验还计算了重建图像的归一化平均绝对距离判据r。实验中将迭代初值F取为0，松弛因子分别取0.02，0.08，0.2，0.5，1.0和1.5进行实验仿真。ART算法迭代后的重建图像与原始图像的误差如图3所示。观察图3可以得出结论：ART重建算法进行迭代时，如果投影数比较多时，可以选取稍小一点的松弛因子；随着投影数的减少，就要逐渐选取稍大的松弛因子，但一般不会超过1。如果松弛因子选取过大，则对图像向量的修正程度就会偏大，重建出的图像与原图像有比较大的偏差。如图中所示当投影数θ为180个时，松弛因子选择0.2最佳。一般在有松弛因子的情况下，仅需要4～6次迭代就可以得到比较满意的重建图像了。

从实验结果中可以看出越小的松弛因子重建的图像越平滑，伪影越少。但是加入松弛因子后，重建图像的边缘却趋于模糊了。

3.2动态形式的松弛因子实验分析

用256×256的SheppLogan头模型来研究动态松弛因子对图像重建的影响，式（5）中的λ0通常选择0.2。选用动态因子和常数因子为0.2的图像重建结果如图4所示。

由图4的实验结果表明：按照文献[9]所提出的方法选择动态松弛因子进行重建，与常数的松弛因子进行重建结果相对比，动态松弛因子重建的图像更清晰，边界效果更好。

4结论

如上述实验结果所示，在ART算法中如何选择松弛因子会直接影响到图像的重建质量。判断选择的松弛因子是否合适时还需要考虑以下两个因素：投影数据的采集方式和测量环境的噪声类型。在用ART算法进行图像重建时，选择合适的松弛因子可以达到用比较少的迭代次数得到同等质量的图像的目的。如果用动态的方法来选择松弛因子则可以使重建图像的边界效果比较好。今后将进一步实验研究出更多有效的松弛因子的选取方法，这对工业CT上实现不完全投影重建具有重要的意义。

参考文献：

[1]杜磊，徐伯庆，韩彦芳，等.一种CT图像的肺实质分割方法[J].光学仪器，2011，33（1）：2933.

[2]WU C C，CHENG Y，DING Y L，et al.A novel Xray computed tomography method for fast measurement of multiphase flow[J].Chemical Engineering Science，2007，62（16）：432535.

[3]张顺利，张定山，李山，等.ART算法快速图像重建研究[J].计算机工程与应用，2006，42（24）：13.

[4]HERMAN G L.Image reconstruction from projections：the fundamentals of computerized tomography[M].New York：Academic Press，1980：1825.

[5]侯慧杰，白剑，杨国光.全景环形透镜三维空间成像展开算法的研究[J].光学仪器，2005，27（6）：4347.

[6]GUAN H，GORDON R.A projection access order for speedy convergence of ART：a multilevel scheme for computed tomography[J].Physics in Medicine and Biology，1994，39（11）：20052022.

[7]孔繁华，潘晋孝.带有松弛因子的迭代法在图像重建中的应用[J].华北工学院学报，2004，25（6）：472475.

[8]MUELLER K，YAGEL R，CORNHILL J F.The weighted distance scheme：a globally optimizing projection ordering method for the Algebraic reconstruction technique（ART）[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，1997，16（2）：223 230.

[9]徐培凤，李正明，孙俊.基于图像的自动曝光算法研究[J].光学仪器，2005，27（2）：5961.

[10]王亮，寿永熙，秦俊平.图像重建迭代算法的研究[J].黑龙江科技信息，2011（21）：72，241.

[11]吴琨.锥束CT迭代算法中投影排序与子集划分的研究[D].太原：中北大学，2011.

摘要： 工业CT技术是目前最常用的一种先进无损检测手段。其中最常用的图像重建算法是代数重建法（ART），它重建图像的质量和时间受到许多因素的影响。在重建图像时加入松弛因子可以加快算法的收敛速度，并且还能有效克服迭代过程中的椒盐噪声。利用计算机仿真实验对比分析了松弛因子在不同投影数下的重建质量，结果表明，在不同的情况下选择适当的松弛因子，可以大大地改善重建图像的质量。

关键词： 图像重建； 代数重建算法； 松弛因子

中图分类号： TP 391文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.01.010

引言

计算机断层扫描（Computed Tomography，CT）[12]是计算机与X线检查技术相结合的产物，它能够得到被检测物体的断层灰度图像并且不损伤原物体，然后根据这些灰度值检测出断层面的内部结构。实际应用中常用滤波反投影算法（FBP）和代数重建算法（ART）这两大类方法来实现CT图像重建。其中滤波反投影算法具有重建速度快，重建质量好的优点，但它的局限在于重建前必须有完备的投影数据，可完备的投影数据在实际操作中却往往不容易得到。ART算法却能很好地克服这一缺点，它是运用迭代的方法解线性方程组，实现了在投影数据较少的情况下同样重建出高质量的图像的目的。虽然ART算法重建的速度较慢，但随着计算机技术的发展，计算速度不再是需要考虑的问题，只需把精力集中在如何提高图像的重建质量上。

本文简单地介绍了ART算法的基本原理，分析了引入松弛因子的原因和松弛因子的有无对重建图像质量的影响，借助仿真实验来研究不同投影数下选择松弛因子的标准，尽可能用最短的时间得到最优的重建图像，为实际重建时选择合适的松弛因子提供理论上的参考依据。

1ART算法理论

所以实际上用ART算法重建图像的过程就变成了解一个带有松弛因子的线性方程系统的过程，因此，提高算法的重建速度和重建质量都与如何选择合适的松弛因子有很大的关系，特别是在实际的重建过程中。但是目前只有一些基本的标准来规定如何选择松弛因子，完整规范的理论依据还有待进一步研究。

2松弛因子对重建图像质量的影响

2.1松弛因子的引入

2.2动态松弛因子

上述提及到的方法虽然能够达到不错的效果，但该方法却存在很大的局限性，因为不断变化的实际环境在实验室中是不可能模拟出来的，所以需要寻找一种新的选取松弛因子的算法。从ART算法的迭代式（4）可以看出，投影数据值和图像被修正的程度存在着正比例的关系，即投影数据值越大，图像向量被修正的程度也就越大，而且由式（1）可以知道投影值与物体强度衰减的大小也是成正比例关系的。通常选用的常数松弛因子相当于对所有的投影值都采用了同一个低通滤波器，重建图像的边缘看起来比较模糊，因为低通滤波器在抑制高频噪声的同时也抑制了图像本身的高频成分。基于上述所说的正比例关系，文献[9]提出了一种能够反映投影数据变化特点的动态选择松弛因子的方法。

3实验分析

3.1常数形式的松弛因子实验分析

实验中选用经典的SheppLogan[1011]头模型作为重建对象，改变投影角数和松弛因子对其进行迭代，然后分析结果，研究松弛因子λ对重建图像质量的影响。该实验中选取的重建图像大小为128×128。分别选取λ=1，λ=0.2和λ =1.5在投影角数θ为60个，90个和180个进行一次迭代，所得到的重建图像如图2所示。

为了更加客观地评价重建图像和原图像之间存在的误差，实验还计算了重建图像的归一化平均绝对距离判据r。实验中将迭代初值F取为0，松弛因子分别取0.02，0.08，0.2，0.5，1.0和1.5进行实验仿真。ART算法迭代后的重建图像与原始图像的误差如图3所示。观察图3可以得出结论：ART重建算法进行迭代时，如果投影数比较多时，可以选取稍小一点的松弛因子；随着投影数的减少，就要逐渐选取稍大的松弛因子，但一般不会超过1。如果松弛因子选取过大，则对图像向量的修正程度就会偏大，重建出的图像与原图像有比较大的偏差。如图中所示当投影数θ为180个时，松弛因子选择0.2最佳。一般在有松弛因子的情况下，仅需要4～6次迭代就可以得到比较满意的重建图像了。

从实验结果中可以看出越小的松弛因子重建的图像越平滑，伪影越少。但是加入松弛因子后，重建图像的边缘却趋于模糊了。

3.2动态形式的松弛因子实验分析

用256×256的SheppLogan头模型来研究动态松弛因子对图像重建的影响，式（5）中的λ0通常选择0.2。选用动态因子和常数因子为0.2的图像重建结果如图4所示。

由图4的实验结果表明：按照文献[9]所提出的方法选择动态松弛因子进行重建，与常数的松弛因子进行重建结果相对比，动态松弛因子重建的图像更清晰，边界效果更好。

4结论

如上述实验结果所示，在ART算法中如何选择松弛因子会直接影响到图像的重建质量。判断选择的松弛因子是否合适时还需要考虑以下两个因素：投影数据的采集方式和测量环境的噪声类型。在用ART算法进行图像重建时，选择合适的松弛因子可以达到用比较少的迭代次数得到同等质量的图像的目的。如果用动态的方法来选择松弛因子则可以使重建图像的边界效果比较好。今后将进一步实验研究出更多有效的松弛因子的选取方法，这对工业CT上实现不完全投影重建具有重要的意义。

参考文献：

[1]杜磊，徐伯庆，韩彦芳，等.一种CT图像的肺实质分割方法[J].光学仪器，2011，33（1）：2933.

[2]WU C C，CHENG Y，DING Y L，et al.A novel Xray computed tomography method for fast measurement of multiphase flow[J].Chemical Engineering Science，2007，62（16）：432535.

[3]张顺利，张定山，李山，等.ART算法快速图像重建研究[J].计算机工程与应用，2006，42（24）：13.

[4]HERMAN G L.Image reconstruction from projections：the fundamentals of computerized tomography[M].New York：Academic Press，1980：1825.

[5]侯慧杰，白剑，杨国光.全景环形透镜三维空间成像展开算法的研究[J].光学仪器，2005，27（6）：4347.

[6]GUAN H，GORDON R.A projection access order for speedy convergence of ART：a multilevel scheme for computed tomography[J].Physics in Medicine and Biology，1994，39（11）：20052022.

[7]孔繁华，潘晋孝.带有松弛因子的迭代法在图像重建中的应用[J].华北工学院学报，2004，25（6）：472475.

[8]MUELLER K，YAGEL R，CORNHILL J F.The weighted distance scheme：a globally optimizing projection ordering method for the Algebraic reconstruction technique（ART）[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，1997，16（2）：223 230.

[9]徐培凤，李正明，孙俊.基于图像的自动曝光算法研究[J].光学仪器，2005，27（2）：5961.

[10]王亮，寿永熙，秦俊平.图像重建迭代算法的研究[J].黑龙江科技信息，2011（21）：72，241.

[11]吴琨.锥束CT迭代算法中投影排序与子集划分的研究[D].太原：中北大学，2011.

摘要： 工业CT技术是目前最常用的一种先进无损检测手段。其中最常用的图像重建算法是代数重建法（ART），它重建图像的质量和时间受到许多因素的影响。在重建图像时加入松弛因子可以加快算法的收敛速度，并且还能有效克服迭代过程中的椒盐噪声。利用计算机仿真实验对比分析了松弛因子在不同投影数下的重建质量，结果表明，在不同的情况下选择适当的松弛因子，可以大大地改善重建图像的质量。

关键词： 图像重建； 代数重建算法； 松弛因子

中图分类号： TP 391文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.01.010

引言

计算机断层扫描（Computed Tomography，CT）[12]是计算机与X线检查技术相结合的产物，它能够得到被检测物体的断层灰度图像并且不损伤原物体，然后根据这些灰度值检测出断层面的内部结构。实际应用中常用滤波反投影算法（FBP）和代数重建算法（ART）这两大类方法来实现CT图像重建。其中滤波反投影算法具有重建速度快，重建质量好的优点，但它的局限在于重建前必须有完备的投影数据，可完备的投影数据在实际操作中却往往不容易得到。ART算法却能很好地克服这一缺点，它是运用迭代的方法解线性方程组，实现了在投影数据较少的情况下同样重建出高质量的图像的目的。虽然ART算法重建的速度较慢，但随着计算机技术的发展，计算速度不再是需要考虑的问题，只需把精力集中在如何提高图像的重建质量上。

本文简单地介绍了ART算法的基本原理，分析了引入松弛因子的原因和松弛因子的有无对重建图像质量的影响，借助仿真实验来研究不同投影数下选择松弛因子的标准，尽可能用最短的时间得到最优的重建图像，为实际重建时选择合适的松弛因子提供理论上的参考依据。

1ART算法理论

所以实际上用ART算法重建图像的过程就变成了解一个带有松弛因子的线性方程系统的过程，因此，提高算法的重建速度和重建质量都与如何选择合适的松弛因子有很大的关系，特别是在实际的重建过程中。但是目前只有一些基本的标准来规定如何选择松弛因子，完整规范的理论依据还有待进一步研究。

2松弛因子对重建图像质量的影响

2.1松弛因子的引入

2.2动态松弛因子

上述提及到的方法虽然能够达到不错的效果，但该方法却存在很大的局限性，因为不断变化的实际环境在实验室中是不可能模拟出来的，所以需要寻找一种新的选取松弛因子的算法。从ART算法的迭代式（4）可以看出，投影数据值和图像被修正的程度存在着正比例的关系，即投影数据值越大，图像向量被修正的程度也就越大，而且由式（1）可以知道投影值与物体强度衰减的大小也是成正比例关系的。通常选用的常数松弛因子相当于对所有的投影值都采用了同一个低通滤波器，重建图像的边缘看起来比较模糊，因为低通滤波器在抑制高频噪声的同时也抑制了图像本身的高频成分。基于上述所说的正比例关系，文献[9]提出了一种能够反映投影数据变化特点的动态选择松弛因子的方法。

3实验分析

3.1常数形式的松弛因子实验分析

实验中选用经典的SheppLogan[1011]头模型作为重建对象，改变投影角数和松弛因子对其进行迭代，然后分析结果，研究松弛因子λ对重建图像质量的影响。该实验中选取的重建图像大小为128×128。分别选取λ=1，λ=0.2和λ =1.5在投影角数θ为60个，90个和180个进行一次迭代，所得到的重建图像如图2所示。

为了更加客观地评价重建图像和原图像之间存在的误差，实验还计算了重建图像的归一化平均绝对距离判据r。实验中将迭代初值F取为0，松弛因子分别取0.02，0.08，0.2，0.5，1.0和1.5进行实验仿真。ART算法迭代后的重建图像与原始图像的误差如图3所示。观察图3可以得出结论：ART重建算法进行迭代时，如果投影数比较多时，可以选取稍小一点的松弛因子；随着投影数的减少，就要逐渐选取稍大的松弛因子，但一般不会超过1。如果松弛因子选取过大，则对图像向量的修正程度就会偏大，重建出的图像与原图像有比较大的偏差。如图中所示当投影数θ为180个时，松弛因子选择0.2最佳。一般在有松弛因子的情况下，仅需要4～6次迭代就可以得到比较满意的重建图像了。

从实验结果中可以看出越小的松弛因子重建的图像越平滑，伪影越少。但是加入松弛因子后，重建图像的边缘却趋于模糊了。

3.2动态形式的松弛因子实验分析

用256×256的SheppLogan头模型来研究动态松弛因子对图像重建的影响，式（5）中的λ0通常选择0.2。选用动态因子和常数因子为0.2的图像重建结果如图4所示。

由图4的实验结果表明：按照文献[9]所提出的方法选择动态松弛因子进行重建，与常数的松弛因子进行重建结果相对比，动态松弛因子重建的图像更清晰，边界效果更好。

4结论

如上述实验结果所示，在ART算法中如何选择松弛因子会直接影响到图像的重建质量。判断选择的松弛因子是否合适时还需要考虑以下两个因素：投影数据的采集方式和测量环境的噪声类型。在用ART算法进行图像重建时，选择合适的松弛因子可以达到用比较少的迭代次数得到同等质量的图像的目的。如果用动态的方法来选择松弛因子则可以使重建图像的边界效果比较好。今后将进一步实验研究出更多有效的松弛因子的选取方法，这对工业CT上实现不完全投影重建具有重要的意义。

参考文献：

[1]杜磊，徐伯庆，韩彦芳，等.一种CT图像的肺实质分割方法[J].光学仪器，2011，33（1）：2933.

[2]WU C C，CHENG Y，DING Y L，et al.A novel Xray computed tomography method for fast measurement of multiphase flow[J].Chemical Engineering Science，2007，62（16）：432535.

[3]张顺利，张定山，李山，等.ART算法快速图像重建研究[J].计算机工程与应用，2006，42（24）：13.

[4]HERMAN G L.Image reconstruction from projections：the fundamentals of computerized tomography[M].New York：Academic Press，1980：1825.

[5]侯慧杰，白剑，杨国光.全景环形透镜三维空间成像展开算法的研究[J].光学仪器，2005，27（6）：4347.

[6]GUAN H，GORDON R.A projection access order for speedy convergence of ART：a multilevel scheme for computed tomography[J].Physics in Medicine and Biology，1994，39（11）：20052022.

[7]孔繁华，潘晋孝.带有松弛因子的迭代法在图像重建中的应用[J].华北工学院学报，2004，25（6）：472475.

[8]MUELLER K，YAGEL R，CORNHILL J F.The weighted distance scheme：a globally optimizing projection ordering method for the Algebraic reconstruction technique（ART）[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，1997，16（2）：223 230.

[9]徐培凤，李正明，孙俊.基于图像的自动曝光算法研究[J].光学仪器，2005，27（2）：5961.

[10]王亮，寿永熙，秦俊平.图像重建迭代算法的研究[J].黑龙江科技信息，2011（21）：72，241.

[11]吴琨.锥束CT迭代算法中投影排序与子集划分的研究[D].太原：中北大学，2011.