“锐角三角函数”问题中的难点解析
2014-03-11齐新
齐新
1. 根据题意,准确构造直角三角形
例1 如图1,一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东45°的方向,已知以小岛C为中心,周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,若这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区的可能?
【解析】本题的关键在“如何判断这艘渔船是否有进入危险区的可能”,通过分析题意,可以发现:这艘渔船继续向东追赶鱼群的过程中,和小岛C有一个最近距离,通过计算最近距离与10海里危险区进行比较,进而得到判断:如果最近距离大于10海里,说明没有危险,反之,则有危险. 因此只需考虑小岛C到渔船航线的最近距离,进而添加辅助线,作CD⊥AB,此时CD就是最近距离. 只要算出CD的大小,问题就解决了. CD被同时放在两个直角三角形中,利用AB=AD-BD列方程求解.
解:设CD=x,则可得BD=x.
在Rt△ACD中,可得AD=x.
∵AD-BD=AB,而AB=20,
∴x-x=20,解得x=10+10.
∵10+10>10, ∴渔船继续向东追赶鱼群,没有进入危险区的可能.
同类问题:(2009·山东青岛)如图2,一艘轮船自西向东航行,在A处测得北偏东68.7°的方向上有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上. 之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?(参考数据:cos68.7°=, tan68.7°=,cos26.5°=,tan26.5°=)
【解析】本题的关键在“如何理解距离小岛C最近”,通过分析题意,可以发现:这艘船继续向东航行的过程中,和小岛C有一个最近距离,作CD⊥AB于D,此时CD就是最近距离. 但是本题的问题是:“轮船继续向东航行多少海里?”一些同学会误以为本题是求CD的大小而出错.
解答提示:利用直角三角形解决此类实际问题时,仔细审题很重要. 根据题意,通过添加辅助线,转化为直角三角形,从而解决问题.
2. 积累基本图形
例2 如图3所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=2,求△ABC的面积.
【解析】在这个问题的解决过程中,同学们一看到题中有AB=2,就通常以AB为底,但高求不出来. 其实,本题中的图形是一基本图形,解决此类问题的前提是:一般情况下不破坏特殊角. 因此通常不经过B点或C点作高,而是经过A点作高,以BC为底.
解:AB=2,则可得BD=AD=. 在Rt△ACD中,可得CD=.
变式:如图3所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,BC=2,求△ABC的面积.
【解析】方法类似上文,关键在于求高AD. 这个图形在有关锐角三角函数应用的题目中较为常见,很多的中考题都以这张图为原型,设计了很多新颖的题目.
同类问题:(2011·江苏苏州)如图4所示,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于______. (结果保留根号)
【解析】这道题的失分率较高,主要原因在于同学们对这道题不知如何分析,很多同学没有认清这道题的本质. 其实,本题就是源于例2的基本图形,解决问题的方法类似于以上变式的解题方法. 如果同学们能够积累这些基本图形,对提高解决问题的能力有很大帮助.
【解答提示】积累并熟练掌握一类问题的基本图形,并形成解决此类问题的基本方法,对解决此类问题起到事半功倍的作用.
3. 注意计算的合理性和简便性
例3 (2009·贵州黔东南州)如图5,在某广场上空飘着一只气球P,A、B是地面上相距90米的两点,它们分别在气球的正西和正东,测得仰角∠PAB=45°,仰角∠PBA=30°,求气球P的高度. (精确到0.1米,=1.732)
【解析】本题的结果要求精确到0.1米,很多同学在结果的处理上失分明显,主要是计算出错,一部分同学因为没有达到精确要求而失分.
解:设PH=x,则可得AH=x.
在Rt△PBH中,可得HB=x.
∴x+x=90,解得x=.
对于接下来的计算,大部分同学主要用以下3种计算方式:
(1) 把=1.732直接代入计算.
(2) x===45(-1)=45-45,再把=1.732代入.
(3) x=45(-1)≈45×(1.732-1)=45×0.732=32.94≈32.9.
显然,第1种计算方式较复杂,增加了计算的难度,容易出错,应该先分母有理化,然后再代入计算;第2种和第3种计算比较,第3种计算方式较为简便:先计算-1≈0.732,再计算45×0.732,结果较为简单. 在计算中注意计算的合理性和简便性,可以减少计算出错.
在运用锐角三角函数解决问题的过程中,对基本概念的认识一定要清晰,对基本图形的掌握一定要深刻,对计算过程中的数据处理一定要体现计算的合理性和简便性,再加上同学们细心审题,相信一定能够突破“难点”,收获成功!
(作者单位:苏州工业园区星湾学校)
1. 根据题意,准确构造直角三角形
例1 如图1,一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东45°的方向,已知以小岛C为中心,周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,若这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区的可能?
【解析】本题的关键在“如何判断这艘渔船是否有进入危险区的可能”,通过分析题意,可以发现:这艘渔船继续向东追赶鱼群的过程中,和小岛C有一个最近距离,通过计算最近距离与10海里危险区进行比较,进而得到判断:如果最近距离大于10海里,说明没有危险,反之,则有危险. 因此只需考虑小岛C到渔船航线的最近距离,进而添加辅助线,作CD⊥AB,此时CD就是最近距离. 只要算出CD的大小,问题就解决了. CD被同时放在两个直角三角形中,利用AB=AD-BD列方程求解.
解:设CD=x,则可得BD=x.
在Rt△ACD中,可得AD=x.
∵AD-BD=AB,而AB=20,
∴x-x=20,解得x=10+10.
∵10+10>10, ∴渔船继续向东追赶鱼群,没有进入危险区的可能.
同类问题:(2009·山东青岛)如图2,一艘轮船自西向东航行,在A处测得北偏东68.7°的方向上有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上. 之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?(参考数据:cos68.7°=, tan68.7°=,cos26.5°=,tan26.5°=)
【解析】本题的关键在“如何理解距离小岛C最近”,通过分析题意,可以发现:这艘船继续向东航行的过程中,和小岛C有一个最近距离,作CD⊥AB于D,此时CD就是最近距离. 但是本题的问题是:“轮船继续向东航行多少海里?”一些同学会误以为本题是求CD的大小而出错.
解答提示:利用直角三角形解决此类实际问题时,仔细审题很重要. 根据题意,通过添加辅助线,转化为直角三角形,从而解决问题.
2. 积累基本图形
例2 如图3所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=2,求△ABC的面积.
【解析】在这个问题的解决过程中,同学们一看到题中有AB=2,就通常以AB为底,但高求不出来. 其实,本题中的图形是一基本图形,解决此类问题的前提是:一般情况下不破坏特殊角. 因此通常不经过B点或C点作高,而是经过A点作高,以BC为底.
解:AB=2,则可得BD=AD=. 在Rt△ACD中,可得CD=.
变式:如图3所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,BC=2,求△ABC的面积.
【解析】方法类似上文,关键在于求高AD. 这个图形在有关锐角三角函数应用的题目中较为常见,很多的中考题都以这张图为原型,设计了很多新颖的题目.
同类问题:(2011·江苏苏州)如图4所示,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于______. (结果保留根号)
【解析】这道题的失分率较高,主要原因在于同学们对这道题不知如何分析,很多同学没有认清这道题的本质. 其实,本题就是源于例2的基本图形,解决问题的方法类似于以上变式的解题方法. 如果同学们能够积累这些基本图形,对提高解决问题的能力有很大帮助.
【解答提示】积累并熟练掌握一类问题的基本图形,并形成解决此类问题的基本方法,对解决此类问题起到事半功倍的作用.
3. 注意计算的合理性和简便性
例3 (2009·贵州黔东南州)如图5,在某广场上空飘着一只气球P,A、B是地面上相距90米的两点,它们分别在气球的正西和正东,测得仰角∠PAB=45°,仰角∠PBA=30°,求气球P的高度. (精确到0.1米,=1.732)
【解析】本题的结果要求精确到0.1米,很多同学在结果的处理上失分明显,主要是计算出错,一部分同学因为没有达到精确要求而失分.
解:设PH=x,则可得AH=x.
在Rt△PBH中,可得HB=x.
∴x+x=90,解得x=.
对于接下来的计算,大部分同学主要用以下3种计算方式:
(1) 把=1.732直接代入计算.
(2) x===45(-1)=45-45,再把=1.732代入.
(3) x=45(-1)≈45×(1.732-1)=45×0.732=32.94≈32.9.
显然,第1种计算方式较复杂,增加了计算的难度,容易出错,应该先分母有理化,然后再代入计算;第2种和第3种计算比较,第3种计算方式较为简便:先计算-1≈0.732,再计算45×0.732,结果较为简单. 在计算中注意计算的合理性和简便性,可以减少计算出错.
在运用锐角三角函数解决问题的过程中,对基本概念的认识一定要清晰,对基本图形的掌握一定要深刻,对计算过程中的数据处理一定要体现计算的合理性和简便性,再加上同学们细心审题,相信一定能够突破“难点”,收获成功!
(作者单位:苏州工业园区星湾学校)
1. 根据题意,准确构造直角三角形
例1 如图1,一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东45°的方向,已知以小岛C为中心,周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,若这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区的可能?
【解析】本题的关键在“如何判断这艘渔船是否有进入危险区的可能”,通过分析题意,可以发现:这艘渔船继续向东追赶鱼群的过程中,和小岛C有一个最近距离,通过计算最近距离与10海里危险区进行比较,进而得到判断:如果最近距离大于10海里,说明没有危险,反之,则有危险. 因此只需考虑小岛C到渔船航线的最近距离,进而添加辅助线,作CD⊥AB,此时CD就是最近距离. 只要算出CD的大小,问题就解决了. CD被同时放在两个直角三角形中,利用AB=AD-BD列方程求解.
解:设CD=x,则可得BD=x.
在Rt△ACD中,可得AD=x.
∵AD-BD=AB,而AB=20,
∴x-x=20,解得x=10+10.
∵10+10>10, ∴渔船继续向东追赶鱼群,没有进入危险区的可能.
同类问题:(2009·山东青岛)如图2,一艘轮船自西向东航行,在A处测得北偏东68.7°的方向上有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上. 之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?(参考数据:cos68.7°=, tan68.7°=,cos26.5°=,tan26.5°=)
【解析】本题的关键在“如何理解距离小岛C最近”,通过分析题意,可以发现:这艘船继续向东航行的过程中,和小岛C有一个最近距离,作CD⊥AB于D,此时CD就是最近距离. 但是本题的问题是:“轮船继续向东航行多少海里?”一些同学会误以为本题是求CD的大小而出错.
解答提示:利用直角三角形解决此类实际问题时,仔细审题很重要. 根据题意,通过添加辅助线,转化为直角三角形,从而解决问题.
2. 积累基本图形
例2 如图3所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=2,求△ABC的面积.
【解析】在这个问题的解决过程中,同学们一看到题中有AB=2,就通常以AB为底,但高求不出来. 其实,本题中的图形是一基本图形,解决此类问题的前提是:一般情况下不破坏特殊角. 因此通常不经过B点或C点作高,而是经过A点作高,以BC为底.
解:AB=2,则可得BD=AD=. 在Rt△ACD中,可得CD=.
变式:如图3所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,BC=2,求△ABC的面积.
【解析】方法类似上文,关键在于求高AD. 这个图形在有关锐角三角函数应用的题目中较为常见,很多的中考题都以这张图为原型,设计了很多新颖的题目.
同类问题:(2011·江苏苏州)如图4所示,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于______. (结果保留根号)
【解析】这道题的失分率较高,主要原因在于同学们对这道题不知如何分析,很多同学没有认清这道题的本质. 其实,本题就是源于例2的基本图形,解决问题的方法类似于以上变式的解题方法. 如果同学们能够积累这些基本图形,对提高解决问题的能力有很大帮助.
【解答提示】积累并熟练掌握一类问题的基本图形,并形成解决此类问题的基本方法,对解决此类问题起到事半功倍的作用.
3. 注意计算的合理性和简便性
例3 (2009·贵州黔东南州)如图5,在某广场上空飘着一只气球P,A、B是地面上相距90米的两点,它们分别在气球的正西和正东,测得仰角∠PAB=45°,仰角∠PBA=30°,求气球P的高度. (精确到0.1米,=1.732)
【解析】本题的结果要求精确到0.1米,很多同学在结果的处理上失分明显,主要是计算出错,一部分同学因为没有达到精确要求而失分.
解:设PH=x,则可得AH=x.
在Rt△PBH中,可得HB=x.
∴x+x=90,解得x=.
对于接下来的计算,大部分同学主要用以下3种计算方式:
(1) 把=1.732直接代入计算.
(2) x===45(-1)=45-45,再把=1.732代入.
(3) x=45(-1)≈45×(1.732-1)=45×0.732=32.94≈32.9.
显然,第1种计算方式较复杂,增加了计算的难度,容易出错,应该先分母有理化,然后再代入计算;第2种和第3种计算比较,第3种计算方式较为简便:先计算-1≈0.732,再计算45×0.732,结果较为简单. 在计算中注意计算的合理性和简便性,可以减少计算出错.
在运用锐角三角函数解决问题的过程中,对基本概念的认识一定要清晰,对基本图形的掌握一定要深刻,对计算过程中的数据处理一定要体现计算的合理性和简便性,再加上同学们细心审题,相信一定能够突破“难点”,收获成功!
(作者单位:苏州工业园区星湾学校)