函数与方程思想在数学解题中的应用

袁海军

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，是高中数学的一条主线，也是历年高考的重点.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，函数思想使常量数学进入了变量数学，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系，建立方程或方程组，运用方程的性质去解决问题.对于函数y=f（x），可转化到二元一次方程y-f（x）=0.如解方程f（x）=0求函数y=f（x）的零点.因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决.

函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考

一、函数与方程两者之间的相互转化

例1 若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a-8=0有解，则a的取值范围是__________.

解析 令t=3sinx，则t∈[，3]，方程可转化为：2at2+4at+a-8=0……①

（方法一）记f（t）=2at2+4at+a-8，则原问题转化为f（x）=0在[，3]内有解（即有一解或两解），留意到f（t）的对称轴t=-1[，3]，

∴f（t）=0在[，3]内不可能有两根，

∴f（t）=0在[，3]有一根只须f（）·f（3）≤0，

即（++a-8）·（18a+12a+a-8）≤0，

∴（-8）·（31a-8）≤0，∴≤a≤.

（方法二）由①转化为a==.

∵t∈[，3]，∴2（t+1）2-1∈[，31]，

∴a∈[，].

点评 本题先通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下来再转化到二次函数的零点问题，并结合二次函数图像性质，再釆用两种方法计算出答案，前者方程思想，后者函数思想，明显看出利用分离常数求函数值域更为简单，这更加体现函数思想在解题中的实效性.

二、函数与方程思想在集合中的应用

例2 设A={x│x2+4x=0}，B={x│x2+2（a+1）x+a2-1=0}，若BA，求实数a的取值范围.

解析 由A={x│x2+4x=0}={x│x=0或x=-4}={0，-4}.

∵BA，∴B=或B={0}或B={-4}或B={0，-4}.

当B=时，即x2+2（a+1）x+a2-1=0无实根，由△<0，

即4（a+1）2-4（a2-1）<0，解得a<-1；

当B={0}时，由根与系数的关系：0+0=-2（a+1），0×0=a2-1a=-1；

当B={-4}时，由根与系数的关系：-4-4=-2（a+1），（-4）×（-4）=a2-1a∈；

当B={0，-4}时，由根与系数的关系：0-4=-2（a+1），0×（-4）=a2-1a=1；

综上所得a=1或a≤-1.

点评 对于稍复杂的某些集合题目，一定要全面考虑并仔细审题，防止解的取值扩大或缩小.本题考查了方程思想、分类讨论思想.首先要确定对集合B多种情况的讨论，千万不能遗忘B=这一特殊情形；再分别利用方程求根公式及韦达定理求解，最后答案必须进行检验，否则解的取值可能扩大.

三、函数与方程思想在不等式中的应用

例3 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c.

（1）若a>b>c，且f（1）=0，证明f（x）的图像与x轴有2个交点；

（2）在（1）的条件下，是否存在mR，使当f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；

（3）若x1，x2∈R，且x1

解析 （1）∵ f（1）=a+b+c=0且a>b>c，∴a>0且c<0，∴△=b2-4ac>0，∴f（x）的图像与x轴有两个交点.

（2）∵ f（1）=0，∴1为f（x）=0的一个根，由韦达定理知另一根为.又∵a>0且c<0，∴<0<1.

又a>b>c，b=-a-ca>0，a>-a-c-2<<0，

则a（m-）（m-1）=-a<0，∴

∴m+3>+3>-2+3=1.

∵f（x）在（1，+∞）单调递增，∴f（m+3）>f（1）=0.

即存在这样的m使f（m+3）>0.

（3）令g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]，则g（x）是二次函数.

∵g（x1）·g（x2）=[f（x1）-][f（x2）-]=-[f（x1）-f（x2）]2≤0，又∵f（x1）≠f（x2），g（x1）·g（x2）<0，∴g（x）=0的根必有一个属于（x1，x2）.

点评 本题是典型的函数、方程、不等式交汇的综合题.考查考生的读题，审题，计算，推理，阅读理解的数学能力.此题虽然解题思路较为清晰，但涉及到的变量较多，难度偏大；侧重考查考生能够充分利用二次函数与一元二次方程相互转化，观察二次函数图像性质，函数零点存在定理，同时考查不等式基本性质的灵活应用和数形结合思想.

四、函数与方程思想在函数与导数中的应用

例4 已知函数f（x）=x+b的图像与函数g（x）=x2+3x+2的图像相切，记F（x）=f（x）g（x）.

（Ⅰ）求实数b的值及函数F（x）的极值；