选好题 用好题

郑日锋

在高三数学复习教学中存在这样的现象：重题型，轻视问题的联系；重技巧，轻视思想方法的提炼；重资料，轻视课本. 在这种教学状况下，学生的学习效率低下. 具体表现在：虽然做了大量的习题，但是只会做熟悉题；遇到陌生的问题或背景新颖的问题，不能转化为已经做过的问题.

奥苏贝尔（D. P. Ausubel）在其提出的意义学习理论中指出，意义学习所必需的两个内部条件：一是学习者具有同化新材料的认知结构；二是学习者具有学习新材料的学习心向.

前者涉及教学的认知维度，即教材内容为学生可接受性；后者则涉及教学的情感维度，即教材内容为学生乐接受性. 因此在习题教学中，需要解决好两个问题：一是选择有价值的问题，符合学生的认知水平；二是如何用好题，发挥问题的应有教学价值. 以问题为载体，发展学生的思维能力，培养学生分析问题与解决问题的能力. 笔者在高三教学中在如何选题与用题方面作了一些尝试，现与各位同行分享.

一、选好题——高三数学有效复习的助推器

1. 选好题的三个视点

（1）从高考命题的特点看

自各省自主命题以来，每个省逐渐形成自己的命题风格. 如浙江卷具有“入手容易、阶梯递进、拾级而上”的特点. 立足双基考查，沉稳而厚实，多数试题源于课本题的移植和改编，质朴无华，似曾相识，给人以“题在书外、根在书中”的感觉；试卷充分考虑了解题方法的大众化与常规化，不在冷僻的技巧上设置问题；将数学思想方法和素养作为考查的重点，提高了试题的层次和品质，平平淡淡中考能力、稳扎稳打中见功力；熟悉而不俗套，简约而不简单，深刻而不深奥. 这就要求我们选择的问题应该符合高考命题特点.

（2）从学生认知水平的角度看

奥苏贝尔认为，影响学习的重要因素就是要探明学习者知道了什么，并据此进行教学. 因此选题要认清学生的知识基础与能力水平，选择的问题是大部分学生经过教师点拨并通过自身努力能够解决的问题.

（3）从发展学生能力的角度看

数学教学的重要任务是发展学生的思维能力，培养创新潜质. 这与提高学生解决新颖问题的能力是一致的. 因此选题要考虑该问题的解决是否有助于培养学生的能力.

2. 好题的五个标准

（1）问题是否来源于课本、围绕考纲

许多高考试题源于课本而高于课本，课本中的例、习题是教材编写专家的集体智慧结晶，具有基础性、典型性，将课本中的问题进行适当地改编，有助于落实双基.

（2）问题是否能帮助学生消化和强化方法

选题应该避免问题的简单重复，为了让学生切实掌握一些比较难的方法，可以设置相关问题，从而帮助学生消化和强化方法.

（3）问题对学生的思维水平提高是否有益

设计的问题之间应该具有一定的梯度，应遵循从思维的较低水平向较高水平发展，能让学生拾级而上. 问题太简单、太难均不利于培养学生的思维水平. 需要把握的尺度是跳一跳能够得着.

（4）问题是否蕴含重要的数学思想

数学思想是知识转化为能力的桥梁，重视数学思想的教学是提升学生数学素养的重要途径，因此选题需考虑是否蕴含重要的数学思想.

（5）问题是否有利于变式、拓展

一个有价值的问题其基本特征是可探究性，掌握探究、变式、拓展的方法，以达到解一题，通一类，带一串的目的.

3. 选题的策略

（1）设置台阶——升华思维

超量或过长的时间讲综合性问题，会使学生产生厌烦情绪. 根据学生的认知规律，遵循循序渐进、螺旋式提高的教学原则，“化大为小”、“化难为易”设计例题，不仅可以降低综合性问题的梯度，突破教学难点，而且还能面向全体学生，有利于提高整体教学质量.

（2）一题多变——拓展思维

对例题进行广泛的变换引申，尽可能引申出更多相关性、相似性、相反性的新问题，进一步发展学生思维的灵活性，培养学生良好的思维品质.

（3）由此及彼——广阔思维

在教学中，为了加强新旧知识内在联系的对比，挖掘知识的本质，把握知识的结构，通过设计相关问题，引导学生比较、分析、综合，这不仅有利于学生抓住知识的共性与个性，而且有利于培养学生思维的广阔性.

二、用好题——高三数学有效复习的强心剂

教学中应从有效教学的角度，从反思学习的角度，从策略的高度，去寻找问题的本质，并通过优化方法、错因分析、归纳总结、拓展探究，逐步完善学生的认知结构.

1. 揭示本质——回归本源

教学中经常会碰到这样的数学问题，它的解题方法非常独特新颖，教师需要展示这种方法是怎么想到的，并揭示隐藏在“怎么这么巧”的解题背后的数学本质，这样才能撩开解题神秘的面纱，还巧法为通性通法，易于学生接受.

2. 多方探索——激活思维

让学生用已掌握的知识开启思维的大门，从不同的思维角度获取不同的解题方法. 这样做，能使学生从题海中解脱出来，做一题得多法，从而达到触类旁通、举一反三的目的，进而培养学生良好的思维品质.

3. 错因分析——矫正思维

通过暴露学生的错误，剖析错因，寻求合理成分，从而实现从错误向正确的过渡，进而培养学生的批判性思维能力.

4. 归纳小结——升华思维

学生对知识的学习必须要有优化的过程，教学中要注重让学生自己总结解题方法，让学生自己能在知识的学习中进行高层次思维. 这体现了把学习的主动权交给学生，让学生自己剖析自己的思维，自主“构建”符合其认知水平的知识体系. 通过总结、提炼，使学生的认识上升到数学思想的层面.

5. 合情推理——创新思维

通过对原问题进行广泛联想——一般化，类比，拓展，发展学生的思维能力，完善知识结构，将学生引入到一个更广阔的领域，去体验数学探究与发现的乐趣.

三、一个教学案例

问题：设数列an的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+tSn-1=n.

（1）若t=2，求a2，a3及S2013；

（2）求an的通项公式.

此题涉及数列的通项、前n项和及等差数列、等比数列的基本知识，是一道数列综合题，适合于中等水平的学生.

1. 一题多解

思考角度1：将和、项共存的关系式转化为仅含项的关系式.

略解（1）由条件得an+1+an=1（n≥2），又a1=1可得a2=0，因此an+1+an=1（n∈N*），于是a3=1，S2013=1007.

（2）由条件得an+1=（1-t）an+1（n≥2），又a1=1可得a2=2-t，因此an+1=（1-t）an+1（n∈N*）.

当t=0时，an+1=an+1=1（n∈N*）. 于是，有an=n.

当t≠0时，an+1-■=（1-t）（an-■），于是，有an-■=（1-■）（1-t）n-1，an=■[1-（1-t）n].

思考角度2：先猜后证.

略解2（1）由a1=1及条件得a2=0，a3=1，a4=0，由此猜想an=1（n为奇数），0（n为偶数），可用数学归纳法证明. 从而S2013=1007.

（2）由a1=1及条件得a2=2-t，a3=3-3t+t2，

a4=4-6t+4t2-t3，由此猜想an=n（t=0），■[1-（1-t）n]（t≠0）.可用数学归纳法证明.

2. 方法归纳

两种解法都比较自然，解法1利用了转化思想，将和、项共存的关系式转化为仅含项的关系式. 很容易得到第（1）小题的结果，利用待定系数法也不难得到第（2）小题的结果，需要注意的是分类讨论；解法2则利用试验、归纳、猜想、证明的方法，想法自然，但书写稍繁些.

3. 易错分析

部分学生利用解法1，没有检验n=1的情况就以为an+1=an+1（n∈N*）或an+1=（1-t）an+1（n∈N*），在此题的条件下，碰巧做对了结果，这是偶然的.

4. 变式训练

变式1 将条件a1=1改为a1=2，其他均不变，结论如何？

答案：（1）a2=-2，a3=3，S2013=1008. （2）当t=0时，an=n+1；当t≠0时，an=2（n=1），■+（2-t-■）（1-t）n-2]（n≥2）.

变式2 在原题条件下，若t=-1，（1）求数列nan的前n项和；（2）求证：■+■+…+■<■.

答案： （1） （n-1）·2n+1+2-■. （2）提示：当n≤2时，结论成立；当n≥3时，由二项式定理得an=2n-1=（1+1）n-1≥1+2n，■+■+…+■≤■+■+■+■+…+■=■+■（■-■）<■+■×■=■.）

本案例中，通过一道较基础的数列问题出发，让学生尝试解决，得到两种解法后，帮助学生归纳解题策略，从而优化思维；展示学生解题的纰漏或错误，从和项共存的等式转化为仅含项（或和）的等式时，容易忽略n≥2的条件，对n=1时是否适合需要检验，培养学生的思维严谨性；设计变式练习，让学生加深对解决此类问题的易错点的认识，并将问题进一步发展为数列不等式的证明问题，培养学生解决综合问题的能力. 从知识的角度复习了等差、等比数列、二项式定理等基础知识，从思想方法的角度，解决这些有联系的问题，需要运用分类讨论思想、转化思想、特殊化思想、一般化思想.

选好题、用好题是解题教学的“左臂右膀”，选好题是解题教学的根本和保障，用好题是解题教学的重点和难点. 解题教学的目标就是通过问题载体，感悟解题过程，领悟解题方法，最终清晰提炼出隐含在解题中的数学思想方法.

三、一个教学案例

问题：设数列an的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+tSn-1=n.

（1）若t=2，求a2，a3及S2013；

（2）求an的通项公式.

此题涉及数列的通项、前n项和及等差数列、等比数列的基本知识，是一道数列综合题，适合于中等水平的学生.

1. 一题多解

思考角度1：将和、项共存的关系式转化为仅含项的关系式.

略解（1）由条件得an+1+an=1（n≥2），又a1=1可得a2=0，因此an+1+an=1（n∈N*），于是a3=1，S2013=1007.

（2）由条件得an+1=（1-t）an+1（n≥2），又a1=1可得a2=2-t，因此an+1=（1-t）an+1（n∈N*）.

当t=0时，an+1=an+1=1（n∈N*）. 于是，有an=n.

当t≠0时，an+1-■=（1-t）（an-■），于是，有an-■=（1-■）（1-t）n-1，an=■[1-（1-t）n].

思考角度2：先猜后证.

略解2（1）由a1=1及条件得a2=0，a3=1，a4=0，由此猜想an=1（n为奇数），0（n为偶数），可用数学归纳法证明. 从而S2013=1007.

（2）由a1=1及条件得a2=2-t，a3=3-3t+t2，

a4=4-6t+4t2-t3，由此猜想an=n（t=0），■[1-（1-t）n]（t≠0）.可用数学归纳法证明.

2. 方法归纳

两种解法都比较自然，解法1利用了转化思想，将和、项共存的关系式转化为仅含项的关系式. 很容易得到第（1）小题的结果，利用待定系数法也不难得到第（2）小题的结果，需要注意的是分类讨论；解法2则利用试验、归纳、猜想、证明的方法，想法自然，但书写稍繁些.

3. 易错分析

部分学生利用解法1，没有检验n=1的情况就以为an+1=an+1（n∈N*）或an+1=（1-t）an+1（n∈N*），在此题的条件下，碰巧做对了结果，这是偶然的.

4. 变式训练

变式1 将条件a1=1改为a1=2，其他均不变，结论如何？

答案：（1）a2=-2，a3=3，S2013=1008. （2）当t=0时，an=n+1；当t≠0时，an=2（n=1），■+（2-t-■）（1-t）n-2]（n≥2）.

变式2 在原题条件下，若t=-1，（1）求数列nan的前n项和；（2）求证：■+■+…+■<■.

答案： （1） （n-1）·2n+1+2-■. （2）提示：当n≤2时，结论成立；当n≥3时，由二项式定理得an=2n-1=（1+1）n-1≥1+2n，■+■+…+■≤■+■+■+■+…+■=■+■（■-■）<■+■×■=■.）

本案例中，通过一道较基础的数列问题出发，让学生尝试解决，得到两种解法后，帮助学生归纳解题策略，从而优化思维；展示学生解题的纰漏或错误，从和项共存的等式转化为仅含项（或和）的等式时，容易忽略n≥2的条件，对n=1时是否适合需要检验，培养学生的思维严谨性；设计变式练习，让学生加深对解决此类问题的易错点的认识，并将问题进一步发展为数列不等式的证明问题，培养学生解决综合问题的能力. 从知识的角度复习了等差、等比数列、二项式定理等基础知识，从思想方法的角度，解决这些有联系的问题，需要运用分类讨论思想、转化思想、特殊化思想、一般化思想.

选好题、用好题是解题教学的“左臂右膀”，选好题是解题教学的根本和保障，用好题是解题教学的重点和难点. 解题教学的目标就是通过问题载体，感悟解题过程，领悟解题方法，最终清晰提炼出隐含在解题中的数学思想方法.

三、一个教学案例

问题：设数列an的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+tSn-1=n.

（1）若t=2，求a2，a3及S2013；

（2）求an的通项公式.

此题涉及数列的通项、前n项和及等差数列、等比数列的基本知识，是一道数列综合题，适合于中等水平的学生.

1. 一题多解

思考角度1：将和、项共存的关系式转化为仅含项的关系式.

略解（1）由条件得an+1+an=1（n≥2），又a1=1可得a2=0，因此an+1+an=1（n∈N*），于是a3=1，S2013=1007.

（2）由条件得an+1=（1-t）an+1（n≥2），又a1=1可得a2=2-t，因此an+1=（1-t）an+1（n∈N*）.

当t=0时，an+1=an+1=1（n∈N*）. 于是，有an=n.

当t≠0时，an+1-■=（1-t）（an-■），于是，有an-■=（1-■）（1-t）n-1，an=■[1-（1-t）n].

思考角度2：先猜后证.

略解2（1）由a1=1及条件得a2=0，a3=1，a4=0，由此猜想an=1（n为奇数），0（n为偶数），可用数学归纳法证明. 从而S2013=1007.

（2）由a1=1及条件得a2=2-t，a3=3-3t+t2，

a4=4-6t+4t2-t3，由此猜想an=n（t=0），■[1-（1-t）n]（t≠0）.可用数学归纳法证明.

2. 方法归纳

两种解法都比较自然，解法1利用了转化思想，将和、项共存的关系式转化为仅含项的关系式. 很容易得到第（1）小题的结果，利用待定系数法也不难得到第（2）小题的结果，需要注意的是分类讨论；解法2则利用试验、归纳、猜想、证明的方法，想法自然，但书写稍繁些.

3. 易错分析

部分学生利用解法1，没有检验n=1的情况就以为an+1=an+1（n∈N*）或an+1=（1-t）an+1（n∈N*），在此题的条件下，碰巧做对了结果，这是偶然的.

4. 变式训练

变式1 将条件a1=1改为a1=2，其他均不变，结论如何？

答案：（1）a2=-2，a3=3，S2013=1008. （2）当t=0时，an=n+1；当t≠0时，an=2（n=1），■+（2-t-■）（1-t）n-2]（n≥2）.

变式2 在原题条件下，若t=-1，（1）求数列nan的前n项和；（2）求证：■+■+…+■<■.

答案： （1） （n-1）·2n+1+2-■. （2）提示：当n≤2时，结论成立；当n≥3时，由二项式定理得an=2n-1=（1+1）n-1≥1+2n，■+■+…+■≤■+■+■+■+…+■=■+■（■-■）<■+■×■=■.）

本案例中，通过一道较基础的数列问题出发，让学生尝试解决，得到两种解法后，帮助学生归纳解题策略，从而优化思维；展示学生解题的纰漏或错误，从和项共存的等式转化为仅含项（或和）的等式时，容易忽略n≥2的条件，对n=1时是否适合需要检验，培养学生的思维严谨性；设计变式练习，让学生加深对解决此类问题的易错点的认识，并将问题进一步发展为数列不等式的证明问题，培养学生解决综合问题的能力. 从知识的角度复习了等差、等比数列、二项式定理等基础知识，从思想方法的角度，解决这些有联系的问题，需要运用分类讨论思想、转化思想、特殊化思想、一般化思想.

选好题、用好题是解题教学的“左臂右膀”，选好题是解题教学的根本和保障，用好题是解题教学的重点和难点. 解题教学的目标就是通过问题载体，感悟解题过程，领悟解题方法，最终清晰提炼出隐含在解题中的数学思想方法.