声矢量阵阵元姿态误差自校正算法研究

梁国龙，张柯，安少军，范展

(1.哈尔滨工程大学 水声技术重点实验室，黑龙江 哈尔滨150001;2.哈尔滨工程大学 水声工程学院，黑龙江 哈尔滨150001)

0 引言

近20年来，声矢量传感器一直是国内外水声技术的研究热点之一。与标量传感器相比，声矢量传感器能够同步、共点测量声场中任一点处的声压和质点振速信息，这为新的信号处理方法提供了可能;单个声矢量传感器即可对目标进行全空间无模糊定向;声矢量传感器具有抗各向同性噪声干扰的能力。基于以上各点，声矢量传感器阵列得到了国内外学者广泛的关注和研究，基于声矢量阵的波束形成器及高分辨方位估计算法等研究成果不断涌现［1-7］，其中包括Capon 算法［1-3］、ML 算法［4］、MUSIC 类算法［5］和ESPRIT 算法［6-7］等。但是，以上算法均是在理想的声矢量阵阵列流形的基础上进行研究的。在实际的工程应用中，由于声矢量阵阵列误差如阵元位置误差、幅相误差、互耦及阵元姿态误差的存在，这些算法的波达方向(DOA)估计性能将会严重下降，甚至失效。所以，在使用声矢量阵进行DOA估计之前，阵列误差的校正工作是不可避免的。

在声矢量传感器阵列误差校正方面，国内外学者的研究成果并不多见［8-11］。文献［8］推导了存在阵元位置误差、幅相误差及阵元姿态误差情况下声矢量阵波束响应的理论表达式，并就各类阵列误差对声矢量阵测向性能的影响做了简要的理论分析，但未给出任何阵列误差校正的方法。文献［9］通过设置方位精确已知的辅助声源对声矢量阵相位误差进行校正，其基本原理与标量阵有源校正算法相同。针对声矢量阵阵元位置误差校正问题，文献［10］利用单矢量传感器测向技术得到两个方位未知的Disjoint 源的方位，然后运用特征分解法构造方程组求解阵列位置误差参数，该方法误差参数估计性能取决于单矢量传感器对Disjoint 源的方位估计精度。在可查阅的文献中，仅文献［11］对声矢量阵特有的阵元姿态误差进行了研究，文中建立了二维声矢量阵平面旋转扰动产生的阵元姿态误差模型，并提出了阵元姿态误差的有源校正算法。但是，在实际的工作环境中，校正源方位不可能精确已知，且某些特殊阵列(如拖曳阵及柔性阵)的阵元姿态误差受风浪的影响几乎是时变的，故有源校正方法并不能满足实际的工程需求。

针对声矢量阵阵元姿态误差校正问题，本文就阵元姿态误差对声矢量阵测向性能的影响进行了理论研究，并提出一种阵元姿态误差的自校正算法，该方法能够实现声矢量阵阵元姿态误差和信源DOA的联合估计。

1 阵元姿态误差有源校正算法

考虑二维平面中，M 个阵元构成的声矢量传感器阵列放置于各向同性的噪声环境中，远场有K 个方位角为θk(k =1，2，…，K)的窄带平面波入射，则声矢量阵理想的阵列输出为

式中:X(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xM(t)］T为M×1 维观测的数据向量;S(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sK(t)］T为零均值复高斯信号向量;N (t )=［n1(t)，n2(t)，…，nM(t)］T为M×1 维零均值高斯白噪声向量，且信号与噪声相互独立;A(θ)=［a(θ1，r)，a(θ2，r)，…，a(θK，r)］为3M×K 维理想的阵列导向矢量矩阵，其中a(θk，r)=ap(θk，r)⊗uk，⊗表示Kron 积，ap(θk，r)为声矢量阵声压通道的导向矢量，r 为声矢量阵的阵元位置矢量，uk=［1 cos θksin θk］T为第k 个声源的单矢量传感器响应矢量。

图1 阵元姿态误差示意图Fig.1 The attitude error of array sensor

当声矢量阵中的阵元受到外力而产生二维平面旋转扰动时，其第m(m=1，2，…，M)个阵元将出现扰动角度为αm姿态误差，如图1中所示。此时，第m 个声矢量传感器的响应矢量将变为

式中:fc(αm)和fs(αm)分别表示cos αm和sin αm泰勒展开式的高阶项。当声矢量阵存在阵元姿态误差时，其实际的阵列输出为

式中:

根据MUSIC 算法原理，可得

式中:H 为共轭转置;Un为噪声子空间，由声矢量阵协方差矩阵的M-K 个小特征值对应的特征向量构成。(7)式可表示为

由(8)式可得到如下关系式:

式中:Π 和Ψ 分别表示(9)式中左边和右边的已知矩阵。由(10)式计算出，继而可得到平面扰动角度正、余弦值的估计值sin和sin(n=1，2，…，∞)，由cos和sin构造姿态误差矩阵即可对声矢量阵阵元姿态误差进行校正，故cos和sin的估计精度决定了阵元姿态误差校正算法的性能。

2 阵元姿态误差对波束图的影响

波束图是单位功率平面波的空间响应，它只与阵列的导向矢量有关，能够反映波束形成器及子空间类算法的测向性能。对于存在阵元姿态误差的声矢量阵而言，其波束响应为

注意，此时αm是弧度。当αm较小时，可去掉三角函数泰勒级数展开的高阶项，可得

若{α1，α2，…，αM}服从均值为δ、方差为σ2的高斯分布，则(13)式可化简为

由(14)式可得以下结论:

1)声矢量阵波束图的主瓣位置及幅度都会受到阵元姿态误差的影响;

2)当δ=0 时，波束图的主瓣位置不变，其幅度仅受方差σ2的影响;

3)若δ 和σ2不变，当M 增加时，阵元姿态误差对波束图主瓣位置的影响将降低。

3 阵元姿态误差自校正算法

利用MUSIC 算法的思想，本文提出一种声矢量阵阵元姿态误差自校正算法。当声矢量阵存在阵元姿态误差且信源方位未知时，可通过将(15)式最小化实现信源方位和阵元姿态误差参数的联合估计。

(15)式为自校正算法的目标函数，由子空间原理可知:无噪声情况下，当J=0 时，可准确得到方位角θk(k=1，2，…，K)和阵元姿态误差矩阵Φ;当有噪声存在时，最小化J，可得到相应的估计值和下面给出阵元姿态误差自校正算法的迭代过程:

1)初始化:设i =0，令α1=α2=… =αM=0 或由已知的阵元扰动信息得到{α1，α2，…，αM}，由此得到阵元姿态误差向量及阵元姿态误差矩阵;

2)通过MUSIC 算法由下式获得K 个信源角度的估计值(k=1，2，…，K)，由此可得到相应的理想导向矢量a(，r)和Ω)，从而得到和，

4)计算

由以上迭代过程可知，当^J 收敛时，其迭代过程才会终止，且该迭代算法的性能和收敛速度取决于步骤2 中信源方位的初始估计值，初始估计值越接近真值，则算法的收敛速度越快，初始估计值与真值偏差的大小取决于阵元姿态误差的大小。由(14)式可知，当M≫max (δ，σ)时，声矢量阵方位估计偏差不大，上述迭代算法将具有较快的收敛速度。从另一个角度考虑，由于阵元姿态误差只存在于声矢量阵的振速通道中，对声压通道并无影响，当阵元姿态误差较小时，声矢量阵的方位估计的偏差不大，此时该自校正算法具有较高的参数估计精度和较快的收敛速度。该自校正算法的迭代过程是非线性的，其适用条件很难用理论推导进行详细的说明，经大量仿真实验表明，本文算法拥有较为宽松的适用条件:

1)由于声矢量阵的导向矢量不具有范德蒙特性［12］，故本文算法适用于声矢量均匀线列阵;

2)信源数目(非Disjoint 源)需满足2≤K ＜M.

4 计算机仿真

4.1 阵元姿态误差对波束图及MUSIC 算法的影响

图2表示不同阵元姿态误差及阵元数情况下声矢量阵的波束图，目标方位θ0= 0°，波束响应取20lg (|P(θ)|).在图2(a)中，6 元声矢量阵阵元扰动角度的均值δθ=50°，标准差σθ=50°，从图中可以看出，在该误差条件下，声矢量阵波束图主瓣的幅度将下降明显，并且主瓣的极大值点偏差了0.7°;在图2(b)中，δθ=0°，其他仿真条件不变，图中波束图主瓣幅度略有下降，而主瓣的极大值点几乎无偏差;在图2(c)中，声矢量阵阵元数为10，其他条件同图2(a)，如图所示，声矢量阵波束图主瓣极大值点只偏差了0.2°.上述仿真结果表明，δθ对主瓣极大点值偏差的影响较大，当阵元数增加时，主瓣极大值点偏差将减小，这与文中的结论一致。

图3表示阵元姿态误差对MUSIC 算法的影响，仿真条件为:6 元声矢量均匀线阵，阵元间距为半波长，两个相互独立的窄带高斯信号，中心频率为2 000 Hz，带宽为40 Hz，它们的方位分别为θ1=-15°和θ2=20°，噪声是与信号相互独立的高斯白噪声，信噪比为20 dB，快拍数为100.图3(a)中，δθ=0°，σθ∈［0°，90°］，从图中可以看出，MUSIC 谱的峰值随着σθ的增大而减小。在图3(b)中，δθ=20°，其他条件同图3(a)，如图所示，MUSIC 谱的峰值同样随着σθ的增大而减小，但是MUSIC 谱的初始峰值(σθ=0°时)仅为1.5 dB.在图3(c)与图3(d)中，δθ∈［0°，90°］，σθ分别为0°和20°，δθ∈［0°，90°］，MUSIC 谱随δθ的变化情况分别与图3(a)与图3(b)中MUSIC 谱随σθ的变化情况相似。从图3可以看出，当δθ和σθ较大时，MUSIC 谱的峰值下降严重，但是MUSIC 算法估计的方位变化不大，故自校正算法DOA 估计的初始值偏差不大，所以本文自校正算法能够拥有较快的收敛速度和DOA 估计精度。

4.2 阵元姿态误差自校正算法性能仿真分析

图2 不同条件下的声矢量阵波束图Fig.2 Beam patterns of AVSA in different conditions

在图4中，δθ=80°，σθ=20°，信噪比为10 dB，其他仿真条件同图3.在图4(a)中，当i =0 时，阵列处于未校正状态，MUSIC 谱峰值约为-9 dB，此时MUSIC 算法估计出的方位偏差较大;当i =1 时，MUSIC 谱峰值约为14 dB，谱峰较尖锐，方位估计偏差较小;当i =2 时，MUSIC 谱峰值上升为19 dB，谱峰已非常尖锐，方位估计精度与有源校正基本相同;当i=3 时，自校正算法收敛，自校正算法(i =3)、自校正算法(i=2)以及有源校正后的阵列MUSIC 谱图曲线已经重合在一起，在图4(b)(图4(a)中G 处放大图)中可以非常清楚地看出这3 条曲线。另外，当σθ不变，δθ减小时(如δθ=30°)，自校正算法只需4 次迭代就能够收敛，这表明该自校正算法具有较快的收敛速度。

图3 阵元姿态误差对MUSIC 算法的影响Fig.3 The influence of attitude errors on MUSIC algorithm

图4 有源校正与自校正MUSIC 谱Fig.4 MUSIC spectra of off-calibration andself-calibration

为分析自校正算法对声矢量阵阵元姿态误差参数及DOA 的估计性能，定义阵元扰动角度正、余弦估计值及DOA 估计值的均方根误差(RMSE)分别为

式中:N 为蒙特卡洛仿真次数。

图5表示不同信噪比条件下有源校正及自校正算法的RMSEsc随快拍数变化的曲线图。其中，N =100，信噪比分别为5 dB、10 dB、15 dB 和20 dB，快拍数从20 变化到200，间隔为20，其他仿真条件同图4.从图中可以看出，在不同信噪比及快拍数的条件下，两种算法的RMSEsc曲线几乎完全重合，这表明自校正算法拥有与有源校正算法相同的阵元姿态误差参数估计性能，这与图4中的仿真结果一致。

图5 RMSEsc随快拍数的变化曲线图Fig.5 RMSEsc versus SNR and the number of snapshots

图6表示不同信噪比情况下不存在阵元姿态误差时MUSIC 算法及存在阵元姿态误差(δθ=80°，σθ=20°)时自校正算法的RMSEθ随快拍数的变化曲线图，其中N=200，其他仿真条件同图5.从图中可以看出，在不同信噪比和快拍数条件下，自校正算法(存在阵元姿态误差时)的DOA 估计精度略逊于无阵元姿态误差时的MUSIC 算法，这表明本文自校正算法具有良好的信源DOA 估计性。

图6 RMSEθ 随快拍数的变化曲线图Fig.6 RMSEθ versus SNR and the number of snapshots

5 结论

针对声矢量阵阵元姿态误差校正问题，理论分析了阵元姿态误差对声矢量阵波束图的影响，得到了一些有价值的结论，并提出了一种声矢量阵阵元姿态误差自校正算法。该算法能够实现阵元姿态误差参数和信源方位的联合估计，适用于声矢量均匀线阵且具有较快的收敛速度。更重要的是，该自校正算法拥有与有源校正算法相近的阵元姿态误差参数估计性能，并且该算法的DOA 估计精度与无误差时的MUISC 算法相差无几。在实际工程中，校正源方位很难准确获得，对于某些特殊阵列(如拖曳阵及柔性阵)，阵元姿态误差是时变的，故本文提出的自校正算法更符合实际的工程需求。

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