追不上乌龟的长跑英雄

王娟

古希腊哲学家们曾讨论过这样一个话题：阿基里斯是当时的一位长跑英雄，能否追赶上和他相距100米的乌龟。毋庸置疑，阿基里斯能在很短的时间内追上乌龟。但爱利亚学派的代表人物芝诺却提出了完全相反的意见。

他的推理是这样的：假定赛跑开始的时候，乌龟在阿基里斯前方的100米，并假设阿基里斯的速度是乌龟爬行速度的10倍。当阿基里斯跑了100米到达乌龟原来所在的位置时，乌龟又向前跑了10米。当他再跑完10米去追赶乌龟时，发现乌龟还在他前面1米。他再跑1米，乌龟还在他前面10厘米。如此下去，他似乎只能一次次到达乌龟所经过的地点，而永远追不上乌龟。

芝诺的推论看似荒谬，但从纯数学的角度来看，芝诺的推论却没有任何问题，因为任何两点之间都有无数个点，根本无法逾越。这一现象告诉我们：无限并不遥远，有限之中蕴含着无限。

如果让人计算无穷数列S=1-1+1-1+1-1……的结果，很多人会说，结果是0，因为每两项一组，每一组都是0，无穷个0相加，结果自然是0；也有人会说，结果应该是1，因为把第一项独立出来，后面每两项一组，每一组都是0，1与无穷个0相加，结果自然是1；还有人说，结果应该是1/2，因为上面的等式可以改写作S=1-（1-1+1-1+1-1……）=1-S，移项后得出S=1/2。

这三种结果似乎都有道理。但是，根据现代无穷级数理论，这个式子没有结果。因为人们习惯了1+1=2这类精确数学，却不知道数学中的确存在没有结果的“无限”算式。