基于能量最优的局部优化光顺处理

2014-02-28司昆明樊留群赵建华

机械设计与制造工程 2014年5期

司昆明，樊留群，朱蓓，赵建华

在数控加工中，粗加工时，为实现高速高效加工，需要对待加工的曲线曲面进行光顺处理;精加工时，为了得到较光滑的曲面，也要对CAD/CAM处理后拟合的曲线进行光顺处理。可见，光顺处理在数控加工中发挥着举足轻重的作用。

目前，针对曲线的光顺处理方法大致可以分为以下两类:选点修改法和优化法。选点修改法［1－2］指的是逐次找出造成不光顺的数据点(即“坏点”)并对其进行修正处理。而优化法则分为两种:整体优化法和局部优化法。整体优化法［3］一次对所有的型值点进行修正，可以起到很好的整体光顺作用，但其计算量过大，且操作速度较慢。局部优化法［4－6］则兼具选点修改法和整体优化法的优点，该方法不仅计算量小，而且整体光顺效果好。

在对“坏点”判定时，文献［1］、［7］仅从曲率的角度来考虑，这种判定“坏点”的方法在数控加工中是不合理的，会导致修正后的曲线越来越往直线的趋势发展。因此，本文提出一种同时考虑相邻弦间夹角和曲率的“坏点”判定方法。文献［8］～［10］仅对“坏点”的位置做了修正处理，却都没有对“坏点”处的切向量进行修改。一般如果控制点的位置有问题，那么它所对应的切向量也应该进行修正处理。针对以上情况，本文提出了针对“坏点”的位矢和切矢同时进行修正处理的局部光顺算法。

1 “坏点”的判定

已知型值点列为 Qi(i=0，1，2，…，n)，设Q(t)是插值于{Qi}的非均匀三次样条曲线，ki是样条曲线Q(t)在型值点Qi处的相对曲率。为满足曲线光顺性的要求，选点修改法一般分两个步骤进行，即粗光顺和精光顺两个阶段。

1.1 粗光顺阶段“坏点”的判定

在粗光顺阶段，通常按以下方法判定“坏点”［7］:

a.相对曲率的符号序列{sign(ki)}中连续变号的点，即但凡满足条件

成立的型值点Qi称为“潜在坏点”。

b.对于已知的样条曲线，设允许的相邻弦间夹角的最小值为θmin，Qi点与相邻的两个型值点Qi－1，Qi+1构成的弦夹角记为 θi，若 θi＜ θmin且满足式(1)，则称点 Qi为“坏点”。

c.由于在同一条曲线上存在出现多个“坏点”的可能，为减少工作量并获得理想的光顺效果，首先应找出“坏点”中的“最坏点”进行修正。此处令

1.2 精光顺阶段“坏点”的判定

在精光顺阶段，通常将ki的一阶差分符号序列{sign(Δki)}中连续变号的点，即满足条件

成立的点称作“坏点”。同时，令

式中:li= ‖Qi－ Qi－1‖，为弦长;Si为曲线 Q(t)在点Qi处的剪力跃度。在精光顺阶段，把剪力跃度最大处的点Qi称为“最坏点”。

2 “坏点”的修正

2.1 非均匀三次样条曲线

设插值于给定型值点Qi的参数三次非均匀样条曲线为:

根据条件

可求出

式中:Δi=ti+1－ti。

由于累加弦长参数化能够如实地反映出数据点弦长的分布情况，并一直被认为是最佳参数化法，因此本文采用累加弦长参数化，即

式中:ΔQi－1=Qi－ Qi－1，为向前差分矢量，即弦线矢量。

2.2 基于能量最优的光顺算法

样条曲线的应变能为 E=C∫(Q″(t))2d t，其中C为与样条刚度有关的系数。记光顺前后样条曲线的应变能分别为E和E*，光顺前后样条曲线的应变能的变化量记ΔE。可求得

式中:Δk=tk+1－tk。要使得光顺后的应变能最小，将式(9)分别对 ΔQk和 ΔQ'k求偏导，并令偏导分别为零，即

带入数值，求得:

最后，将“坏点”的位置矢量和切矢分别修正为:

使用该种方法对“坏点”进行修正时，要考虑一种情况:位矢修正量ΔQk大到一定程度，而超出数控加工时所允许的误差公差带。在纯粹进行曲线光顺处理时该种情况可以不加考虑，但在数控加工时，该类情况却不容忽视。否则，会在提高工件光滑性的同时降低加工精度。因此，在保证加工精度的前提下，为使得数控加工出的工件尽可能光滑，本文引入位矢最大允许修正量ΔQmax，其值由数控加工时允许的误差公差带决定。当ΔQk≥ΔQmax时，令ΔQk=ΔQmax。这样处理虽会使得样条曲线的光顺性较引入ΔQmax之前有所降低，却能在保证加工工件精度的前提下，尽可能使加工出的工件光滑。

2.3 “坏点”修正的流程

步骤1，过型值点构造三次非均匀样条插值曲线C0(t)。

步骤2，按照能量最优原则分别将“坏点”的位矢和切矢分别修正为Q*k和。

步骤3，若“坏点”位矢修正量ΔQk大于最大允许修正量 ΔQmax，则取 ΔQk=ΔQmax，而切矢修正大小仍取ΔQ'k。

步骤4，对修正后的型值点重新进行样条插值，若仍旧有“坏点”则继续按照以上步骤进行修正，反之，输出得到修改后的参数样条曲线C(t)。

光顺处理流程如图1所示。

3 仿真验证

下面通过一组算例来验证本算法的有效性。选取如表1所示的实验数据点，对表中的数据点进行三次非均匀样条曲线拟合，设定允许的相邻弦间夹角的最小值 θmin为45°，允许的最大修正量ΔQmax设为0.5(单位量纲为1)。找出造成样条曲线不光顺的点，并按本文介绍的“坏点”修正方法进行光顺处理。经MATLAB仿真得出光顺前后的4幅图，其中，图2和图3分别表示光顺处理前后的样条曲线;图4和5分别表示光顺处理前后的样条曲线曲率。通过对比可看出采用本文算法对原拟合曲线进行光顺处理后，曲线的斜率更均匀了，曲线也比原来光滑了，从而验证了本文算法的有效性。