灰色理论用于遥测数据中长期预测

任国恒，王 健，朱 海

周口师范学院计算机科学与技术学院，河南 周口 466001

随着在轨卫星数量的增加和战略意义的增强，维持卫星安全稳定运行变得越来越重要，在轨管理的难度也相应加大[1].在轨卫星运行期间，受各种空间环境因素的影响，反映其功能与性能的遥测参数会发生变化[2]，而这种变化是某点或短时间内的遥测数据无法反映的.如果卫星运行期间发生异常，相应的遥测数据的变化趋势也会随之改变[3]，因此开展卫星遥测数据中长期预测研究，对卫星遥测数据的变化趋势进行建模，预测未来时段的遥测数据变化趋势，可以提前预测卫星潜在的故障，增强诊断系统的故障早期发现能力，为指挥人员与控制中心进行实时决策提供有力的参考，对保障在轨卫星的安全稳定运行、开展卫星性能研究等方面具有非常重要的意义.

常用的中长期预测方法有支持向量机法[4-5]、反向传播(Back Propagation,以下简称：BP)神经网络法[6]、灰色预测法[7-9]等，其中灰色预测法是一种基于灰色系统理论的方法.灰色系统理论的主要研究对象是部分信息已知，部分信息未知的灰色系统[10].由于影响遥测数据变化的因素具有不确定性，表现似乎无规律，具有一定的模糊性和灰色不确定性，遥测数据系统恰好可以看作是一个灰色系统，因此利用灰色预测模型对遥测数据进行中长期预测是一种非常有效的方法.

1 灰色系统理论

灰色系统理论是由华中科技大学邓聚龙教授于1982年提出的，以样本小、信息少的不确定系统为主要研究对象，基于少量已知数据，对原始信息概念量化，通过构建的模型来预测未知数据.该理论由于需要的样本数据少，建模原理简单，预测精度高，计算方便，不需要考虑分布规律等优点而被广泛应用[11-12].对信息不完全的卫星遥测数据采用灰色预测模型可实现对遥测数据变化趋势、变化规律的正确描述和有效监测.

1.1 灰色系统理论的基本方法

1.1.1累加生成 GM(1,1)模型是使用最多的灰色模型，其实质是对原始数据序列做一次累加生成.累加生成作为灰色建模的基础，灰色预测过程中可使数据由灰变白，是灰色系统中占有极为重要地位的理论.累加生成使灰量累积过程的发展趋势变得明显，它把任意波动的、非负的数据序列通过累加算法转化为递增的数据序列，累加生成后的数据序列其规律性更强.

累加过程如下:

有原始时间数列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)} ，∀x(0)(i)∈R+,n∈N,对其做一次累加生成计算，即令：

(1)

从而可得新的生成数列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)} ，新的生成数列X(1)一般近似的服从指数规律，则称X(1)为X(0)的一次累加生成，即如果有原始数据序列X(0)={3,5,6,2,8}，其一次累加生成序列为X(1)={3,8,14,16,24}.

1.1.2 累减还原 累减还原对累加生成起还原作用，主要作用是把通过累加生成进行建模预测后的数据进行还原.

设X(0)为原始序列,X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n)} ，∀x(0)(i)∈R+,n∈N，a(1)X(0)={a(1)X(0)(1),a(1)X(0)(2),…,a(1)X(0)(n)} ，其中：

a(1)X(0)=X(0)(k)-X(0)(k-1),

k=1,2,…,n,

(2)

则称a(1)X(0)为X(0)的一次累减还原.

1.2 灰色GM(1,1)预测模型的构建

灰色系统理论通过关联空间、光滑离散函数等概念定义了灰导数和灰微分方程，用离散的数据序列来建立微分方程的动态模型. GM(1,1)模型是灰色问题建模使用最多的灰色模型.

灰色GM(1,1)预测模型建立步骤如下：

(2)根据均值序列建立灰色微分方程模型.令z(1)为x(1)的均值序列，z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))，z(1)的计算方式为z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)，k=2,3,…,n，建立白化方程:

(3)

将白化方程离散化，微分变差分，则GM(1,1)的灰色微分方程为：

x(0)(k)+az(1)(k)=b.

(4)

灰色微分方程中的待定系数a、b分别为发展系数和灰作用量.

(3)参数a、b的求解.把k=2,3,…,n代入GM(1,1)的基本形式x(0)(k)+az(1)(k)中，有

x(0)(2)+az(1)(2)=b

x(0)(3)+az(1)(3)=b

⋮

x(0)(n)+az(1)(n)=b

上述方程组可转化为下述矩阵方程：

yN=BP

(5)

yN=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T

称矩阵B为数据矩阵，向量yN为数据向量，向量P为参数向量.

根据最小二乘法yN=BP的解为：

(6)

式(6)称为GM(1,1)参数a，b的矩阵辨识算式，矩阵(BTB)-1BT是数据矩阵B的广义逆矩阵.

(7)

GM(1,1)预测模型x(0)(k)+az(1)(k)=b相应的时间序列为：

k=1,2,…,n.

(8)

(5)累减还原.还原后的预测值为：

k=1,2,…,n.

(9)

(6)误差检验.GM(1,1)模型的误差检验一般有残差的检验、关联度的检验和后验差的检验这3种检验误差方法.

(10)

(11)

(12)

记S1为原始数据序列方差，有

(13)

记S2为残差的方差，有

(14)

2 遥测数据灰色GM(1,1)模型工程实例分析

2.1 预测数据样本的选择

鉴于灰色预测模型少样本的特点，笔者选用了某地球同步卫星配电器壳温度2013年1月至12月的遥测数据值，共12组数据.

原始数据序列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}为X(0)=(25.3,36.1,29.2,34.9,18.5,21.3,15.8,26.0,32.7,35.8,16.2,23.8).

2.2 一次累加生成

原始数据序列一次累加生成为X(1)=(25.3,61.4,90.6,125.5,144,165.3,181.1,207.1,239.8,275.6,291.8,315.6).

2.3 根据均值序列建立灰色微分方程模型

令z(1)为x(1)的均值序列，z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)，z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))=(43.35,76,108.05,134.75,154.65,173.2,194.1,223.45,257.7,283.7,303.7)，则GM(1,1)的灰色微分方程模型为：x(0)(k)+az(1)(k)=b，k=1,2,…,12.

2.4 求解参数a和b

通过把灰色微分方程组化为矩阵的形式，用最小二乘法得到参数a，b的值为：a=0.028 7，b=31.480 9.

2.5 白化方程

2.5 累减还原，得到预测值

图1为温度遥测数据原始曲线与灰色预测数据曲线、RBF神经网络预测曲线比较图，图中横坐标为2013年的12个月份，单位为月，纵坐标为温度数值，单位为摄氏度.

图1 温度实测曲线与预测曲线对比图Fig.1 Comparison of predicted and measured curve

2.6 预测效果评价

某卫星配电器壳温度遥测数据灰色预测结果和预测精度见表1，同时表1中也给出了基于RBF神经网络预测模型的预测结果.

表1 预测值与实测值比较Table 1 Comparison of predicted and measured values

表2 预测效果对比Table 2 Comparison of evaluation predicted

相对实际值的预测精度计算发现，灰色预测的精度优于神经网络的预测精度.因此，灰色预测GM(1,1)模型对遥测数据的中长期预测结果与实际吻合效果较好，预测精度高，满足卫星遥测数据中长期变化趋势预测分析需要.

3 结 语

在遥测数据短期预测的基础上，根据遥测数据中长期预测的意义和目的，笔者基于灰色理论，采用灰色预测GM(1,1)模型对卫星某器件温度遥测数据进行了预测研究.基于遥测数据中长期预测目的，构建了遥测数据灰色预测模型，并依据模型进行了实例分析验证.通过后验差比值、小误差概率的计算，模型预测精度级别的判定，以及灰色预测GM(1,1)模型预测精度和RBF神经网络预测精度的对比，说明灰色预测GM(1,1)模型符合卫星遥测数据中长期工程预测的要求.基于预测结果能够提前预测遥测数据的变化趋势和潜在故障趋势，为地面测控人员较早发现异常变化、有效避免可能出现的故障、降低在轨卫星运行的风险提供科学决策依据.

致 谢

西安工业大学于帆教授在本研究开展、实验验证分析过程和论文撰写过程中提出了很多宝贵的建议，谨致谢意.感谢国家自然科学基金委员会对本研究提供的资金支持.

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