渐开线直齿圆柱齿轮模态分析研究

罗云松

（中铁四局集团 钢结构有限公司，安徽 合肥 230023）

0 引言

渐开线直齿圆柱齿轮广泛应用于各种机器传动，在工作时，齿轮的工作状态是动态的。 在外部和内部的激励下将发生共振，产生较大的振动和噪声，过早地出现扭转和弯曲疲劳，影响其动态性能，所以在齿轮设计初期，应充分考虑到其固有频率，尽可能地避免接近其工作频率。 本文通过建立渐开线直齿圆柱齿轮模型，利用计算机仿真技术计算其各阶模态，为齿轮机构的动态设计与优化分析提供理论依据与技术支持。

1 模态分析理论

由模态分析理论基础，可得齿轮系统的运动微分方程为：

式中：[M]，[C]，[K]——齿轮的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵；

{x¨}，{x˙}，{x}——齿轮的振动加速度向量，速度向量，位移向量；

{F（t）}——外界的激励向量。

略去阻尼项并令外加激励项为零，即{F（t）}=0 时，可得无阻尼自由振动运动微分方程为：[M]{x¨}+[K]{x}={F（t）}=0，其对应的特征方程为：

式中：ωi——系统第i 阶模态固有频率，i=1,2,3…， 此时的振动系统一般存在n 个固有频率和n 个振型，每一个固有频率和振型都代表一个单自由度系统的自由振动，而多自由度振动是n 个单自由度模态振动的线性叠加，是一种合成振动。其中低阶振型对结构的影响最大，即阶数越低，系统的影响越大。 本文选取某机器齿轮传动系统中渐开线圆柱直齿轮，对其前6 阶模态进行分析与研究。

2 渐开线齿轮实体模型的建立

利用Pro-E 强大的建模软件， 对该渐开线齿轮进行三维实体建模。 齿轮结构参数：齿数Z=40，模数m=2mm，压力角 α=20°，齿宽 b=20mm，轮毂孔径Φ=20mm；物理参数：齿轮材料选用中碳钢，其弹性模量设置 E=2.06×105MPa，泊松比 μ=0.27。 渐开线直齿圆柱齿轮实体模型如图1 所示。

图1 渐开线直齿圆柱齿轮实体模型

3 渐开线齿轮有限元模态分析

利用Pro-E 自带的有限元分析插件Pro/Mechanica 进行分析。 对于模态分析，根据模态分析理论，求齿轮的各阶固有频率及其对应的主振型，只要对其进行自由度约束，不需要对模型进行加载。约束条件在这里设置为齿轮轮毂孔径和键槽表面全约束。采用Pro/MECHANICA自带模式下的网格划分器自动划分。 结果为：Points：2056，Edges：9661，Faces： 13440，Solids： 5835。 渐开线直齿圆柱齿轮有限元模型如图2 所示，运行模态分析模块，计算前6 阶的固有振型的云图结果如图3 所示。

图2 渐开线直齿圆柱齿轮有限元模型

图3 渐开线直齿圆柱齿轮的各阶振型

表1 渐开线直齿圆柱齿轮各阶振动频率

从图中可以看出，渐开线齿轮的主要振动为端面上的对折振动和扭转振动。 各模态振型不同在于轮齿的圆周振动方向不同。

4 结论

利用Pro-E 三维建模软件建立了渐开线直齿圆柱齿轮实体模型，运用Pro-E 自带的有限元分析插件Pro/Mechanica 进行了仿真计算，得到了齿轮的有限元模型，通过模态分析，求解了渐开线直齿圆柱齿轮的前6 阶固有频率及对应的主振型，通过结果可以直观发现各个振型的剧烈特征，因而在齿轮系统的设计中要尽可能地避免齿轮的低阶固有频率，以此可降低齿轮机构在运行中由于振动破坏而发生的故障率。

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