算子Dn＋p－1在亚纯p叶星象函数上的性质

袁 媛，杨恋波

（马鞍山师范高等专科学校，安徽马鞍山243041）

DOI：10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.02.013

算子Dn＋p－1在亚纯p叶星象函数上的性质

袁 媛，杨恋波

（马鞍山师范高等专科学校，安徽马鞍山243041）

在复分析中，亚纯叶函数有很好的性质和应用。利用Hadamard卷积为f（z）∈∑p定义了一个新的线性算子Dn＋p－1f（z）＝φp（n＋p，1；z）＊f（z），然后研究线性算子Dn＋p－1在亚纯p叶星象函数上的一些性质。

复分析；线性算子Dn＋p－1；亚纯p叶星象函数

1 线性算子Dn＋p－1的定义

用∑p表示在D＝｛z：0＜｜z｜＜1｝内是解析和p叶的，且具有形式f（z）＝z－p＋∑∞k＝1ak－pzk－p的全体函数组成的类。

根据函数f（z），定义fj（z）（j＝1，2）

用f1（z）和f2（z）表示Hadamard卷积（或乘积）

随后定义函数φp（n＋p，1；z）

其中，（x）k是Pochhammer符号。记

对应函数φp（n＋p，1；z），用Hadamard卷积为f（z）∈∑p定义一个新的线性算子Dn＋p－1

Dn＋p－1f（z）＝φp（n＋p，1；z）*f（z）

2 线性算子Dn＋p－1定义在亚纯p叶星象函数上的性质

为了给出相关性质定理，需下列引理。

引理1［1，2］若f（z）∈∑p，则有>

其中，n是大于－p的任意整数。

引理2［3，4］令Ω是复平面C上的一个集合，b是一个满足Re b＞0的复数。假设函数Ψ：C2×E→C满足条件其中，所有的实数x，y≤－｜b－ix｜2／（2Re b），且所有的z∈E。若函数p（z）满足p（z）＝b＋a1z＋a2z2＋…在E上解析且Ψ（p（z），zp′（z）；z）∈Ω，则在E上Re p（z）＞0。

由此可以导出线性算子Dn＋p－1的一些性质。

推出

证明：由（1）和（3），有

即

令

p（z）＝[zpDn＋p－1f（z）]－1／2（1－α），

则（5）可写为

对（6）使用［5，6］中的已知结论，可发现

即

其中，ω（z）在E上解析，ω（0）＝0且当z∈E时｜ω（z）｜＜1。

相应地，Re（t1／β）≥（Re t）1／β其中Re t＞0且β≥1，由（7）推出进一步，我们发现这一结果对函数

是精确的。证毕。

推出

则p（z）在E上解析且p（0）＝1。对（11）求微分并根据引理1，推出其中，β∈［α，＋∞）是下列等式的正根证明：令

其中，

根据（8）和（12），有｛Ψ（p（z），zp′（z））：z∈E｝⊂Ω＝｛ω∈C：Reω＜α｝。

其中，β是等式（10）中的正根。

记0≤λ＜n＋p＋1和f（α）＝－λ（2α－1）（α－1）≤0，则有β∈［α，＋∞。因此，对任意的z∈E，Ψ（ix，y）∉Ω。由引理2，我们得到Re p（z）＞0。（9）得证。

性质3令λ，α是实数且λ≥0，α＞1，n是大于－p的任意整数。设g（z）∈∑p满足

若f（z）∈∑p满足

则有

函数u（z）在E上解析且u（0）＝1。设B（z）＝Dn＋p－1g（z）／Dn＋pg（z），则Re B（z）＞δ。对u（z）求微分并使用引理1，有

则根据（14）式，我们推出

｛Ψ（u（z），zu′（z））：z∈E｝⊂Ω＝｛ω∈C：Reω＜α｝。

现在对所有实数x，y≤－（1＋x2）／2得

因此，对每一个z∈E，Ψ（ix，y）∉Ω。根据引理2，在E上Re u（z＞0）。证毕。

［1］Abramowita M and Stegun IA.Hand book ofmathematical functions［M］.Dover Publications.Inc，NewYork，1972.

［2］Bernardi SD.New distortion theorems for functions of positive real part and applications to the partial sums do univalent convex functions［J］.Proc.Amer.Math.Soc.1974（45）：113－118.

［3］Miller SSand Mocanu PT.Differential subordination and univalent functions［J］.Michigan Math.J.，1981（21）：157－171.

［4］Liu J L，Srivastava H M.A linear operator and associated families of meromorphically multivalent functions［J］. Math.Anal.Appl，2001，259：566－581.

［5］Suffridge T J.Some remarks on convexmaps of the unit disk［J］.Duke Math，1970（37）：775－777.

［6］Aouf M K and Hossen H M.New criteria formeromorphic p－valent starlike functions［J］.TsukubaJ，Math，1993（17）：481－486.

［责任编辑 贺小林］

Nature of Operator Dn＋p－1on M eromorphic p－Valent Starlike Functions

YUAN YUAN，YANG Lian-bo
（Maanshan Teachers College，Maanshan 243041，China）

In complex analysis，meromorphic p leaf function has the well properties and application.Hadamard product is defined a new linear operator Dn＋p－1for f（z），and to study the new linear operator Dn＋p－1on some properties ofmeromorphic p－valent starlike function.

complex analysis；linear operator Dn＋p－1；meromorphic p－valent starlike function

O177.99

A

1004－602X（2014）02－0013－03

2014 01 10

袁 媛（1984—），女，安徽芜湖人，马鞍山师范高等专科学校讲师，硕士。