基于偏微分方程图像修补BSCB模型的应用

张琳娜,赵凤群

（1.陕西国防工业职业技术学院，陕西户县,710300;2.西安理工大学，陕西西安,710032）

基于偏微分方程图像修补BSCB模型的应用

张琳娜1,赵凤群2

（1.陕西国防工业职业技术学院，陕西户县,710300;2.西安理工大学，陕西西安,710032）

本文在Matlab7.0的环境下，利用相关随机初始化方案与BSCB模型的结合，修补小尺度污损图像，并且指出了该方案修补人工与自然图像的效果。针对同一幅污损图像，通过三种初始化方案组合BSCB模型对其进行修补，按照修补结果对相关随机初始化方案对修补效果与效率进行改善方面产生的优势进行论证。

偏微分方程；图像修补；BSCB模型；应用

0 引言

在文艺复兴时期出现了图像修补技术，当时主要是在艺术品修补中进行应用。由于不断变迁的时代，大部分早期的艺术品都存在着各种程度的损伤与裂痕，人们对翻新一些艺术品主要是利用手工对裂缝进行描绘填补。可是由于需要在原作品上直接进行修补，具有极高的风险，因此负责这项工作的主要是具有丰富馆藏经验的专业人员手工进行。

Bertalmio等人由于得到专业人员手工修补方法的启发，在2000年提出了BSCB图像修补模型，同时对他们的研究成果进行了发表，明确指出了图像修补的概念、预期目标以及应用类型，并且应用了偏微分方程的分析方式。

1 BSCB修补原理

由于BSCB模型的建立基础是手工修补。在对它的修补原理进行讨论之前，Bertalmio等人对艺术馆藏人员总结的有关手工修补的原则进行访问。

1.1 手工修补原则

（1）整体图片明确了怎样对图片中的裂痕进行填补，修补的主要目的就是重新形成图片的统一性；

（2）污损区A四周的信息区域将要延伸至污损区域之内，实现这一目标主要是依靠延伸至边缘区域的等照度线；

（3）针对无损区域内部产生的等照度线对不同区域进行区分，填充相应的颜色以便对污损区域的边缘进行匹配；

（4）最后是细节添加信息，也就是纹理。

Bertalmio等人通过分析专业修补工作人员应用的原则得到启发，进一步提出了BSCB修补模型。在这个模型之中，同时重复实施步骤(2)和(3)，在污损区域内部逐渐传播信息，尽量将污损区域进行缩小，达到修补目的。

图1 信息从边缘向修补区域扩散Fig.1 Information from edge spread to the repair area

1.2 BSCB基本原理

在BSCB方法中，修补的过程就是一个将扩散作为基础的过程，它的基本思想是凭借原本的角度将修补区域边缘进一步延伸至区域内部，也就是沿着边缘逐渐进行切向扩散。

需要特别关注的是，这一迭代过程仅是对存在于修补区域中的像素，对其它区域的像素数值不会进行改变，也就是只修补等待修补区域内的点。伴随着进行的迭代过程，图像修补也会获得更好的效果，下一幅迭代图像就是凭借对应的更新量对本幅图像不断更新的结果。因此，怎样设计更新量非常关键。

按照人工修补的基本原则，需要把等待修补外围区域A的边界线延伸到内部，也就是我们要把修补外部的有用信息通过平滑的方式传送至内部。传播信息用表示，传播的方向则是用表示，则有：

伴随着逐渐增加的迭代次数，沿着扩散方向传播量逐渐进入等待修补区域，直到两次相邻的修补效果没有较大差别时结束，这时候.

接下来需要对传播方向进行确定。在这个模型中，传播方向选择等照度线方向。图像最大灰度变化的方向与梯度相对应，而最小的变化灰度方向则与梯度互相垂直。因此，等照度线方向选择体现为旋转90度的梯度方向。在修补中，只需要按照等照度线的方向实施修补就行，梯度旋转方向是顺时针还是逆时针对修补效果不会造成较大影响，只需要确保最小灰度值的变化方向即可。

为了正确演化修补中的图像，一定在修补中实施扩散。同时为了保证锐利的边缘，在扩散中利用下式(3)的同性各向非线性扩散方程。

2 BSCB数值离散方案

利用BSCB模型组织计算时，迭代方程为

等照度线的单位方向矢量为：

对梯度模值进行计算时，假如直接应用中心差分，极可能出现不稳定的迭代。因此可以应用坡度限制法，定义如下：

综合分析，BSCB模型修补图像的基本步骤：

1)传播信息的步骤：首先估计一种图像变化的信息，之后在等照度线方向投影这一变化信息，将投影数值作为内部修补区域的像素更新量。

2)扩散具体步骤：通过各向同性非线性扩散模型的组织扩散。修补过程中，先将步骤1进行一定次数，再将步骤2进行一定次数，反复进行，直到图像不会出现较大变化为止。

修补图像就是一个整体迭代过程。每一次迭代是先利用公式实行A次传播，再利用公式进行B次扩散。迭代总次数主要是由图像缺损区域大小决定的。

3 改进污损区域的初始化方案

修补图像过程中，为了顺利进行计算，需要赋予等待修补区域内部点的初始数值，也就是初始化污损区域。截止到目前，在修补经典模型中出现了几种初始化方案。

3.1 初始化纯色方案

在BSCB修补模型中出现了初始化纯色方案。在这个模型中，研究人员对污损区内的初始化并没有进行明确。可是他们认为已经损坏了等待修补区域内的信息，修补具体是指周围信息按照等照度线方向延伸到修补区域内部，见图3-2。

图2 初始化纯色图像修补

Fig.2 Initializes a solid color image inpainting

从图3-2能够看出，初始修补图片需要修补区域是全白，伴随着不断进行的迭代过程，信息按照等照度线方向逐渐延伸到污损区域，最终实现了修补。

4 实验结果

本文在Matlab7.0的环境下，利用相关随机初始化方案与BSCB模型的结合，修补小尺度污损图像，并且指出了该方案修补人工与自然图像的效果。针对同一幅污损图像，通过三种初始化方案组合BSCB模型对其进行修补，按照修补结果对相关随机初始化方案对修补效果与效率进行改善方面产生的优势进行论证。

1)人工图像进行修补

图4 有关随机初始化方案的人工图像修补Fig.4 Random initialization, artificial images fix

2)自然图像进行修补

图5 有关随机初始化方案的自然图像修补Fig.5 Random initialization scheme natural image patch

从图4和图5可以看出，图像尺度比较小的污损可以获得较为自然的修补结果；在某些区域能够看到较为模糊的痕迹。

修补结构模型应当遵守以下方式：当对小尺度的一般污损图像进行修补时，可以直接应用修补模型积极修补；当对大尺度的污损图像进行修补时，需要把图像划分为结构与纹理内容，针对结构图像应用结构修补方法进行，纹理图像则需要应用合成纹理方法。

本文分析了最早把偏微分方程引入到图像修补BSCB模型，同时从基本原理、离散化方案等方面实施了有效分析。接着指出了BSCB与CDD算法在初始化过程中产生的不足，提出了相关随机初始化方案。进而得出了实验结果，从修补结果与效率分析，相关随机初始化方案产生了显著的优势，可以将其与其它扩散方程共同应用，可以获得良好的修补效果。

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[2] Chan T F,Shen J H.Non-texture inpainting by curvature-driven diffusions[J].Journal of Visual Communication and Image Representation.2001, 12(4):436-449.

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[5] 张帆.基于偏微分方程与边缘检测的图像去噪算法[J].计算机工程与设计.2014.6

张琳娜，女,陕西富平人，（1981— ），硕士，讲师， 陕西国防工业职业技术学院,主要从事高等数学研究工作

赵凤群，女，教授，西安理工大学理学院数学系，主要从事计算数学研究工作。

The application of partial differential equations of image inpainting based on BSCB model

Zhang Linna1,Zhao Fengqun2
(1.Shaanxi Vocational and Technical College of National Defense Industry,Huxian,Shaanxi,710300,China 2.Xian University of Technology,Xi’an,Shaanxi,710048,China)

In this paper,in Matlab7.0 environment,using a combination of correlated random initialization scheme with BSCB model,the repair of small scale defaced image,and pointed out that the scheme of repair of artificial and natural image effect.In accordance with an defaced image,through its three initialization scheme combined BSCB model repair,in accordance with the repair results on related random initialization schemes on the repair effect and efficiency of improving the advantage

Partial differential equation;Image inpainting;BSCB model;Application