高中数学数列中易忽视的几个问题

罗定汨

高中数学中的数列一直是考试中考查的一个重点知识，学生在学习的过程中要加强对知识点的掌握。下面就数列中同学们容易忽视的几个问题通过例题的分析，希望能对该知识点的掌握起到促进作用。

一、忽视等差、等比数列概念的掌握

例1.在数列〖JB（{〗an〖JB）}〗中，a1=1，an+1=〖SX（〗an〖〗c·an+1〖SX）〗〖JB（（〗c为常数〖JB））〗，求证：〖JB（{〗〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗〖JB）}〗是等差数列.

证明：由a1=1，an+1=〖SX（〗an〖〗c·an+1〖SX）〗〖JB（（〗c为常数〖JB））〗，∴an≠0

∴〖SX（〗1〖〗an+1〖SX）〗-〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗=〖SX（〗can+1〖〗an〖SX）〗-〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗=c为常数 所以〖JB（{〗〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗〖JB）}〗是等差数列.

例2.设数列〖JB（{〗an〖JB）}〗前n项和为Sn，且〖JB（（〗3-m〖JB））〗Sn+2man=m+3，其中m为常数，m≠-3且

m≠0.求证：〖JB（{〗an〖JB）}〗是等比数列.

证明：由〖JB（（〗3-m〖JB））〗Sn+2man=m+3 ①

∴ 〖JB（（〗3-m〖JB））〗Sn+1+2man+1=m+3 ②

②-①得：〖JB（（〗3-m〖JB））〗an+1+2man+1-2man=0〖JB（（〗m+3〖JB））〗an+1=2man

又m≠-3且m≠0 ∴ 〖SX（〗an+1〖〗an〖SX）〗=〖SX（〗2m〖〗m+3〖SX）〗为常数 即〖JB（{〗an〖JB）}〗是等比数列

评析：有些同学处理例1时就会这样计算，由a1可以求得a2、a3，发现〖SX（〗2〖〗a2〖SX）〗=〖SX（〗1〖〗a1〖SX）〗+〖SX（〗1〖〗a3〖SX）〗，就说明〖JB（{〗〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗〖JB）}〗是等差数列，或说明〖JB（{〗an〖JB）}〗是等比数列，就只要找到a22=a1·a3就可以了，这样做都是错误的。由定义有〖JB（{〗an〖JB）}〗满足an+1-an=d为常数，这里n∈〖WTHZ〗N〖WTBX〗*都成立，才说明

〖JB（{〗an〖JB）}〗是等差数列，若满足〖SX（〗an+1〖〗an〖SX）〗=q为常数，就说明〖JB（{〗an〖JB）}〗是等比数列.

二、忽视n=1的情况

例3.已知〖JB（{〗an〖JB）}〗中a1=1，an=3n-1+an-1，求〖JB（{〗an〖JB）}〗的通项公式.

解：由已知有an-an-1=3n-1

∴a2-a1=3 a3-a2=32 …… an-an-1=3n-1〖JB（（〗n≥2〖JB））〗

上n-1个式子叠加得：an-a1=3+32+…+3n-1∴an=〖SX（〗3n-1〖〗2〖SX）〗〖JB（（〗n≥2〖JB））〗

又n=1时a1=1=〖SX（〗31-1〖〗2〖SX）〗满足上式 ∴〖JB（{〗an〖JB）}〗的通项公式为an=〖SX（〗3n-1〖〗2〖SX）〗

评析：在求〖JB（{〗an〖JB）}〗的通项公式过程中，很多同学直接利用an=Sn-Sn-1，忽视了出现n-1就得满足n≥2的这个条件，未包含n=1的情况，所以在解题中必须对n=1进行检验.

三、忽视q=1的情况

例4.已知Sn是等比数列〖JB（{〗an〖JB）}〗的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2、a8、a5成等差数列.

证明：由条件有S3+S6=2S9

这里有q≠1，因为若q=1，则S3+S6=3a1+6a1=9a1，2S9=18a1

此时S3+S6≠2S9不满足题意

所以由S3+S6=2S9〖SX（〗a1（1-q3）〖〗1-q〖SX）〗+〖SX（〗a1（1-q6）〖〗1-q〖SX）〗=〖SX（〗2a1（1-q9）〖〗1-q〖SX）〗q3+q6=2q9

又q≠0 ∴ 1+q3=2q6

从而a2+a8=a1q+a1q3=a1q〖JB（（〗1+q3〖JB））〗=a1q·2q6=2a1q7=2a8

即a2、a8、a5成等差数列.

评析：许多同学看到等比数列的前n项和就自然只想到Sn=〖SX（〗a1〖JB（（〗1-qn〖JB））〗〖〗1-q〖SX）〗，根本就忘记这个公式的前提是q≠1，所以我们必须不可忽视对q=1情况的分析.

四、忽视数列中项的符号的问题

例5.已知四个数-9，a1，a2，-1成等差数列，五个数-9，b1，b2，b3，-1成等比数列，则

b2〖JB（（〗a2-a1〖JB））〗=〖ZZ（Z〗 〖ZZ）〗

解：由-9，a1，a2，-1成等差数列，设其公差为d，则d=〖SX（〗-1-〖JB（（〗-9〖JB））〗〖〗3〖SX）〗=〖SX（〗8〖〗3〖SX）〗即a2-a1=〖SX（〗8〖〗3〖SX）〗 又-9，b1，b2，b3，-1成等比数列 ∴ b22 = -9×〖JB（（〗-1〖JB））〗 = 9b2 = ±3

又b21=-9b2 ∴b2<0 即b2=-3 所以b2〖JB（（〗a2-a1〖JB））〗=-8

评析：若a、G、b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项。且G2=abG=±〖KF（〗ab〖KF）〗，

也就是说两个数a、b同号时才存在等比中项，该题中有同学就会忽视-9，b1，b2这三个成等比，有b21=-9b2，应有b2<0，所以结果是-8，而不是±8.

通过以上例题的分析，希望同学们能加深对数列知识的掌握，尽可能做到考虑问题细心周到。其实高中数学的学习并非是件很难的事情，只要我们平时能做到足够认真，积极向上，善于积累，学习成绩肯定会更好的。

（作者单位：湖南省浏阳市第三中学 410300）