广义Riemann积分中的Lebesgue方法

吴淑君 于娟

摘 要：在实际问题和数学分析后续课程（如概率论）中，经常出现广义Riemann积分。但是我们发现，现有教科书上对此类积分的研究都是基于定积分的思想方法，要求被积函数有一定的光滑性，这大大限制了广义积分的研究范围。该文研究Lebesgue积分方法在广义Riemann积分的收敛性判别和计算以及含参量广义Riemann积分性质等问题中的应用。通过理论与实例结合，充分说明了Lebesgue方法的简便与灵活。因此，我们在学习广义Riemann积分时，不应拘泥于教科书上的现有知识和方法，应该拓宽思路，合理结合其他的课程。

关键词：广义Riemann积分 Lebesgue积分 Lebesgue可测 一致收敛

中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（b）-0234-02

在实际问题和数学分析后续课程（如概率论）中，经常出现广义Riemann积分。一方面，现有教科书上对此类积分的研究都是基于定积分的思想方法，要求被积函数有一定的光滑性，这大大限制了广义积分的研究范围，且某些复杂的积分也无法研究[1]。另一方面，仅仅依靠现有的方法来讨论广义Riemann积分，也限制了我们的研究思路，对思维发展有害无利。文献[2-3]总结了一些解决广义Riemann积分的方法，但并未涉及到Lebesgue的思想方法。因此，该文中我们将考虑在广义Riemann积分中引入Lebesgue测度、Lebesgue积分等思想，借助Lebesgue方法的灵活性和简便性，从积分的收敛性、计算以及含参量广义Riemann积分性质这三个方面来详细说明Lebesgue方法在广义积分中的应用。

该文中，广义Riemann积分简称为广义积分，用可积和可积分别表示Riemann可积和Lebesgue可积。函数在区间上的广义积分记为，其Lebesgue积分记为。由于无穷区间的广义积分和无界函数的广义积分在一定条件下可以互化，以下均以无穷区间的广义积分为例来讨论问题。

1 主要结果

1.1 判断广义积分的收敛性

研究广义积分的第一个问题就是判断其收敛性。在数学分析中，我们可以利用定义、Cauchy判别法、Abel判别法和Dirichlet判别法等来解决。但是，我们发现这些方法都具有各自较强的使用条件，这必然限制了方法的使用范围。可积是实变函数的重要内容，教科书中有很多方法和技巧来判断其收敛性，相比较可积，其判别方法使用起来更加灵活多变[4，5]。利用两种积分的密切关系，例如文献[6]中定理2，可用可积判断可积。

例1：设是定义在上的有界的可积函数，如果对于每个存在极限。那么，在上可积。

证明：因为是上的有界函数，所以的不连续点是可数集，因此是零测度集。又因为在任意有界区间上可积，由文献[6]中定理2知，在上可积。

注：例1中的没有具体的表达式，在数学分析中难以判断其收敛性。借助Lebesgue测度和Lebesgue积分可以方便解决此类问题。

1.2 计算广义积分

广义积分的基本计算方法有定义法、牛顿-莱布尼兹公式法、换元积分和分布积分法等。考虑到积分范围的广泛性，可将某些广义积分看成积分来计算。另外，可将广义积分转化为重积分，然后利用Fubini定理或者Tonelli定理将其化为适当次序的累次积分来计算。下面将第二种方法以例说明。

1.3 求极限

求广义积分的极限通常需要交换极限运算和积分运算，这在积分中需要一致收敛来保证。在积分中，这种交换可以用控制收敛定理、Levi定理和Fatou引理等实现。使用控制收敛定理的关键是找到合适的控制函数，Levi定理适合于非负的单调函数列的积分，Fatou引理则对非负的可测函数列都可使用。但以上三个定理都不需要验证广义积分的一致收敛性，而可测这个条件对具体的被积函数一般都满足，因此，它们提供了比积分更加广泛和有效的方法。

2 含参量广义积分的连续性、可微性和可积性等问题

在数学分析中，一致收敛性是讨论含参量广义积分的前提，但是这一要求对很多积分来说过于苛刻。在积分的体系下我们可以适当降低这一要求。

3 结语

我们在学习广义Riemann积分时，不应拘泥于教科书上的现有知识和方法，应该拓宽思路，合理结合其他的课程，力求从更深更广的角度来体会广义Riemann积分。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系，数学分析[M].3版，北京：高等教育出版社，2001.

[2] 高建平，刘声，张蕊.反常积分收敛判别法[J].数学学习与研究，2010（19）：91-91.

[3] 陈慧婵.计算反常积分时常见的错误分析[J].高等数学研究，1996（4）：33-35.

[4] 周民强.实变函数论[M].2版.北京：北京大学出版社，2001.

[5] 那汤松.实变函数论[M].北京：人民教育出版社，1958.

[6] 陈鹏.Lebesgue积分与反常积分的关系[J].长春师范学院学报，2004，23（4）：3-4.