插值方向的研究

陈智远

摘 要：信号处理中常使用基于DFT的插值算法来进行频率估计。而插值方向一般是由DFT变换后的谱线幅度来决定。但在低信噪比条件下，用a幅度判断的插值方向常常出错。文章提出一种新的判断插值方向的方法来改进原算法，并且用仿真证明改进的算法能更可靠的判断插值方向，并且能提高估计精度。

关键词：插值；方向；研究

引言

在低信噪比的条件下的频率估计被广泛用于通信、雷达、声纳以及深空探测等领域。常用的方法是对输入信号做DFT变换，并寻找变换后频谱谱峰。这就是DFT算法。在对精度要求不高的时候，DFT算法是适用的。但是由于DFT本身存在因为“栅栏效应”所造成的频谱泄漏，所以当对估计精度要求较高的时候，我们一般会在DFT的基础上做插值来满足要求。Rife算法是最常用的一种基于DFT的插值算法。

插值算法是通过计算一个插值量来提高估计精度的。在这个过程中，插值方向的判断起到了十分重要的作用。插值方向错误将会导致估计精度降低。下文将分析Rife算法如何判断插值方向，并且提出一种新的判断插值方向的方法来改进Rife算法。最后通过仿真比较这两种方法。

1 Rife算法

可以看出，Rife算法是通過比较谱峰两侧谱线的大小来确定插值方向的。这种方式实现简单并且在高信噪比条件下有比较高的判断正确率。但是当估计频率非常接近真实频率的时候，谱峰两侧的两条谱线落在主瓣边沿，此时这两条谱线的幅度十分接近。在低信噪比条件下这就十分容易导致插值方向判断错误。

2 新的插值方向确定方法

实际上，除了幅度外，谱线虚部也可以得到插值方向。在仿真中，有这样的现象：当插值方向为正时，第k条谱线的虚部与第k+1条谱线的虚部的乘积小于0；当插值方向为负时，第k条谱线的虚部与第k-1条谱线的虚部的乘积小于0。上述现象可以总结为一个假设。

假设：FFT变换后，距离初始频率位置最接近的两条谱线的虚部之积总小于0。

下面我们来证明这个假设。

3 仿真实验

通过上面的论证，谱线虚部的符号变化是可以判断插值方向的。与幅度相比，用谱线的虚部来判断有一个优点，当估计频率非常接近真实频率的时候，谱峰两侧的谱线幅度几乎是一样的，利用幅度就很难判断插值方向；但是两侧谱线的虚部却是一正一负。很明显，此时谱线虚部符号的变化要比谱线幅度的变化明显许多。所以谱线的虚部应该比谱线的幅度更适合判断插值方向。实际上在对随机初始频率的信号做10000次仿真中，幅度判断插值方向错误1297次，虚部判断插值方向只错误597次。不难看出，利用虚部判断插值方向更加可靠。

更准确的插值方向判断自然会提高估计精度。我们在Rife方法基础上做一些改进，利用新方法判断插值方向，然后按照Rife算法的步骤计算插值量的大小，最终得到估计频率。仿真条件如下：采样率为200K，采样时间为1秒的信号，信号的初始频率是50K到100K范围内随机数，信噪比以1dB步长，由-35dB逐渐变化到-15dB，在每个信噪比下做500次仿真。得到改进的Rife算法与原本Rife算法比较改进的Rife算法与原本Rife算法的平均估计偏差和均方根误差（RMSE）如下所示。可以看出，新算法虽然只是提高了插值方向判断的准确性，但是也间接提高了算法的估计精度和稳定性。

图1 改进Rife算法与原Rife算法平均估计偏差的比较

最后我们来看看这种改进算法的实现难度。新的算法只在插值方向判断上做了改变。由于只是判断谱线虚部的正负，所以不需要得到很准确的数值，知道符号即可。所以这种改进算法十分容易实现。

4 结束语

文章提出了一种新的判断插值方向的方法，并且利用这种新方法对Rife算法进行了改进。从仿真结果来看，新的方法在低信噪比条件下，能够更好的判断插值方向，有更准确、稳定的估计结果，并且方便实现。